Cha插值法与最小二乘法

第三章插值法与最小二乘法在实际问题中遇到的函数有些有解析表达式，但很复杂，有些只给出一些离散数据，这给我们求解函数值、导数值、零点、极值和积分值等带来了诸多不便。对于这些情况，自然的想法是，设法找到某个简单近似函数满足。本章介绍两种方法，即插值法和最小二乘法。

§3.1插值法3.1.1多项式的插值概念在众多的插值函数中，多项式是最简单最易计算的。设函数在区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的点上分别取值为。在多项式插值中，最基本、最简单的问题是求一个次数不超过

的代数多项式

（3-1）满足其中均为实数（3-2）称为被插值函数；称插值多项式；条件（3-2）为插值条件；为插值点。其几何意义为图3-1插值几何意义满足（3-2）式的插值多项式是存在且唯一的。原因是满足（3-2）式的多项式的未知系数行列式为著名的范德蒙德（Vardermonde）行列式故解是存在且唯一的。3.1.2拉格朗日插值多项式

在每个插值点构造插值基函数为一个

次多项式，且满足条件

（3-3）（3-4）由（3-4）式和多项式的定义以及（3-2）式的插值条件，我们有：再由（3-4）式知，是的零点，故按因式定理必含有因式：既是次多项式，可知

再由条件，得于是有因此拉格朗日插值多项式可写为

（3-5）例3-1已知特殊角，用

的近似值。解：令用为节点，有一次和二次拉格朗日插值公式求用为节点，有拉格朗日插值多项式程序设计计算公式(3-5)的程序为二重循环。由内循环（j循环）通过累乘求得基函数，然后通过外循环（i循环）得到插值结果y.下图描述了拉格朗日算法流程，对于该框图中的有关参数说明如下：N:插值多项式次数（插值点个数-1）Xi：插值点Yi:插值点上的函数值LN:拉格朗日插值结果T:存放累乘积I:外循环变量J:内循环变量STARTINPUTN,X,Xi,Yi(I=0,…N)LN=0I=0,NT=1J=0,NJ=I?NOT=(X-Xj)/(Xi-Xj)*TENDJLN=LN+Yi*TENDIOUTPUTENDYES拉格朗日算法程序DIMENSIONX(I),Y(I)REALLNREAD(*,*)NDOK=1,NREAD(*,*)X(I),Y(I)ENDDOLN=0.0DOI=0,NT=1DOJ=0,NT=T*(X-X(J))/(X(I)-X(J))ENDDOLN=LN+T*Y(I)ENDDOWRITE(*,*)‘LN=‘,LN1、插值余项对插值后，用代替必定会产生误差，其误差可表示为

称上式为插值多项式

的插值余项。

设在区间上有直到阶导数，为

上个互异的节点，为满足条件的

次插值多项式。

那么对于任何，有

(3-6)其中且依赖于。（一般取最大值

3.1.3插值多项式余项3.1.4牛顿插值多项式在插值基函数中，按这种方式来求：由线性代数性质可知，一个不高于n次的多项式可表示成的线性组合。在满足插值条件情况下，可表示为（记为）：

（3-6）上式称为牛顿（Newton）插值多项式。

3.1.4牛顿插值多项式1.1、向前差分与牛顿向前插值多项式

取节点为等距离，则

其中h为步长。在两相临节点处的函数值之差为

称为函数f(x)在节点处以h为步长的一阶向前差分（简称一阶差分）。又称一阶差分的差分为二阶差分，记为

3.1.4牛顿插值多项式为了便于计算与一目了然，用表格描述为

表3.13.1.4牛顿插值多项式在等距离节点的情况下，可以用差分来确定(3.6)式的待定系数，并将牛顿插值多项式加以简化。

在节点上，函数值是已知的，所以

3.1.4牛顿插值多项式将上式带入(3.6)式，并令，则式(3.6)可简化为

该式称为牛顿向前插值公式。其插值余项是

（3-7）（3-8）3.1.4牛顿插值多项式2、向后差分与牛顿向后插值公式a、向后差分b、中心差分

3.1.4牛顿插值多项式3、差商与牛顿插值多项式用差商来确定(3.6)式中的系数一阶差商二阶差商

依次类推

3.1.4牛顿插值多项式表3.２差商表3.1.喉4牛顿插值扶多项式x4.00024.01044.02334.0294f(x)0.60208170.60318770.60458240.6052404例3-2给出列表驾函数f(货x)=l售gx的值，如牧下表所示湿，试用牛杨顿插值法努求lg4.01的值。表3.巷3解：根据给竖定的函絮数作差武商表，勤如表3木.3所幸示。x=4.女01,察x1=4.意000统2,驳x2=4.性023处3,烤x3=4.滚029成43.1.村4牛顿插毁值多项笑式lgx=f(遭x0)+f沃(x0,x1)(x-吴x0)+f抬(x0,x1,x2)(x早-x0)(x-瓜x1)+f次(x0,x1,x2,x3)(x盼-x0)(x-若x1)(x疗-x2)表3.翅4x4.00全024.01文044.02妨334.02下940.6昏020屡8170.60斧3187泰70.60柿4582披40.60每5240撞40.1论084晃330.1量081冬160.1址078盖69-0.躺013设636-0.犬013尺0000.02断1781f(x炼)一阶差化商二阶差愤商三阶差商将以上把各插值侍点值、跟函数值习和差商窄值代入饱插值公斧式得l芝g4.01=0.60储3144冬33.1.冰5Herm帖ite插探值多项式前述的插愤值多项式赏均只要求营插值点函壁数值相等诊，为进一庆步光滑函年数曲线，构有时还要槐求其导数央值也相等躬，并等于跳已知值的染次叶多项式粮。锡该多项式君称为窜的H甜ermi堵te插值巴多项式，纺它也是一有种近似式简。求解He锁rmit巩e插值多驴项式的一启种最简单建方法就是肃直接应用狐牛顿插值混法。即已份知节点贫处赶函数值与坛导数值时，把偷视为掩重习节点，并注棉意赶个重双节点的敲阶死差商3.1敞.5Her悬mit谅e插值雹多项式例3-旬2已知函数的函数值吵、导数值悠如下，求逮其插值多口项式及误面差表达式疼。-1010-4-2056解：3.1.蛮5Herm躬ite插巩值多项式作差商宅表如下京。f(驶0,0缴)=y慢’(0舒)/1鲜!=0算,f垦(0,店0,0担)=y井”(0阻)/2企!=3卧,f抛(1,子1)=稼y’(堆1)/亏1!=羞5.秩按差商兄表3.与2有：-1000110-4-4-4-2-2-400254323-1-110213.1.雾6三次样条查插值多项耍式1、三次样将条插值助函数的烫定义对于一组霸已知的数劝据元，装且鹿，若函数浪满足押：(1)、在每一穗个子区间意上掘都可以吗用最高为宇三次的多捧项式来表妈示。⑵、艳在威上的刊二次连竞续可微盯。即累，撑，连续。⑶、插值惹条件则称为皱函数f世(x)每关于节鸣点绪的三次样爹条插值仅函数。3.1溉.6三次样条线插值多项章式2、边界条牧件问题根据定义能，在任意暂子区间上弱，三次样裂条函数可夏表示为该式中和有4个待定系旷数，故共状有4n个待定拔系数。丈由定义隶中的连乘续条件调和插值墙条件可列出下列陶方程：3.1狡.6三次样熔条插值然多项式上式共圆有4n-仔2个方程另，因此患还需要2个方程才孤能确定4n个系数我，这就蛾要用到香边界条件。镰边界条是件的类叠型很多绞，常见住的有三木种：[1]、沉在边界上追给定一阶缴导数的值禽；[2]、牲给定二阶呜导数的值接；倍（如果，称其晨为自然边界气条件[3]绕、f(x)第是以b-盏a为周期杏的函数，臂则要求S瓦(x)及茄其导数也敌是以b-阁a为周期柿的函数，尿相应边界启条件为3.1丙.6三次样条酿插值多项辅式3、三弯箭矩方程设S(x最)在某一首节点的二肿阶导数为（在力猛学上解拆释为：家Mi是细梁屡在截面宴处的弯骗矩，因砌为该弯符矩与相芝临的两皱个弯矩扁有关，刃故称三夕弯矩方寻程）因为S(研x)最高别次数不超音过三次，苗所以它的牙二阶导数州是线性函嫌数。令岭，于是3.1.匀6三次样年条插值亲多项式连续积分负两次得其中边为积蹦分常数。豆由以下插盐值条件确悟定所以（3-脑9）3.1.爷6三次样条筐插值多项西式代入(3息.9)式舱得从上式可符知，只要巨确定M值裁（M0,M1,…,义Mn共n+1甜个），就软可以完全肥确定S(进x)。在兆确定(3虎.9)式发中待定系堡数时用了疑插值点的悬条件，下井面利用节牙点一阶导蜻数连续条秧件（3-阀10）（3-1劲1）3.1.犹6三次样碑条插值肝多项式由(3弄.10佣)式得于是（3-钓12）（3-坝13）3.1伞.6三次样条克插值多项委式由(3唱.11斗)式、妨(3浊.12津)式和偿(3.敢13)日式得若记则方程允可简写圣为（3-纳14）3.1.灵6三次样究条插值勉多项式即上方程组指有n-1蚁个方程，处但有n+怎1个未知暑数。因此闻，要确定代Mi还需用厨边界条净件。[1]拐、第一种边打界问题边界条嗓件则（3-1减5）3.1询.6三次样炭条插值播多项式整理得其中（3-1旧6）3.1.慕6三次样租条插值映多项式[2]野、第二沫种边界命问题边界条件次边界条博件表明M0和Mn是已知卷的，所龟以(3.1践5)式直接改宅写为（3-1共7）3.1枝.6三次样订条插值雪多项式[2]部、第二冠种边界悟问题边界条俭件a文、b、并注意到禽，得记3.1坑.6三次样棉条插值漏多项式则方程旁可简写编成将上式疏和且与(3.筹15)式合在一米起满足第[掩1]或第吴[2]或趁第[3]商种边界条狱件的三次自样条插值兔函数S(x余)是存在元且唯一肆的。（3-冶18）3.1.姜6三次样津条插值猫多项式例3-受3：已知函准数y=f胁(x)的函数贤值如下x早-取1.5米0等1狡2y硬0.12弄5怨-1强1窄9求三次样萄条函数S(x)，使其满孤足边界条披件抄。解：这是楼第一种边幼界条件问避题，(3续-14)马式和(3析-16)则式的个参欠数为3.1惠.6三次样挣条插值画多项式方程组锁为求解后得由(3-感10)式得3.2曲线拟合3.2芒.1问题描丝式述实验的目肃的是寻找怕一些物理防量之间的跳关系，如猾一组实验导数据（xi,yi）,要寻找亦函数棍的一杜个近似男表达式军，这就趋是一个浙曲线拟尼合问题竭。插值方法界可以在一炮定程度上惧解决曲线订拟合问题壶，但有明棋显的不足谅。首先，给实验数据谋有误差，刻如果进行村插值，则半所求得的搅曲线必须爹严格通过稀所有实验色数据点，旋从而使得艳该曲线保妥留了实验速误差；其因次，实验管数据往往弄很多，用唇插值法求盐得的表达爽式因此缺泻乏实用性峰。曲线拟材合还有燥一个好然坏的标悟准问题世，标准纹不同决帐定着不雄同拟合挣的方法验。常用摸的有最见小二乘茅法，其等基本思眉想是：伯使拟合婆曲线与眯实验点倘之差的怠平方和舰最小。3.2曲线拟合3.2.筋2概述实验数溉据表实验编号自变量稿因变量1岛x1y12侧x2y23威x3y3…蒙…苹…i纤xiyi…绒…检…m咬xmym3.2曲线拟合设x和后y之间鸭为线性欣关系，透则有：通过实丧验数据潮来也确定（损3-1吓9）式宽中的常显数a和璃b，即真建立x少与y的做关系，铃此为一姿个一元毫线性拟绳合问题当（线性自回归）算。问题：命如何用然m组数礼据确定漆线性方洋程中a擦和b？教见下图割。（3-1肚9）3.2曲线拟合如何确定辫哪一条直痕线是最好子的？a.最小二淋乘法：底使回归页的残差换平方和猪最小。b.残差疲：实验数赖据yi与回归刮方程计榆算的f唤(xi)之间的尚差，用qi表示：按最小昨二乘法失的定义拘：（3-2洗0）（3-宴21）3.2曲线拟哄合2.`算初法由（3-2卫1）式可困知，Q是a和b的函数，歇即根据数学粗知识，要绢使Q最小，有收：,,将（3-2借1）式代晒入前两训式：3.2曲线拟合经过计算温得到：（3-2总2）（3-开23）3.2曲线拟合由（3副-22虎）和（惯3-2氧3）式军可验证潮：3.方悲差分析如何衡量招回归直线垮与实验数乌据之间的谁吻合程度寺？或回归谈直线的可间信度是多吵少？----棕这个问题也由方差分析秘来完成。衡量标毫准：（朽几个统殿计量）a.隶残差督平方和b.民回归平方抗和恋其中3.2曲线拟合c.剩余标准唯差该其中n=将1d.相随关系数e.综岩合检验爽值一般常用把的是：相膊关系数R违（R:耗0<=杜R<=叨1;R敬越接近通1越好）和综森合检验盲值F（F为显黑著性检丈验，它们的值越拦大越好）。3.2曲线拟合多元线性芹最小二乘其法：自变妄量个数大亲于一，如长：当Q/bi=0时，得弱到一个某线性方征程组，霸用以求驼出bi非线性最矿小二乘法分：将非线安性方程回段归转化为盛线性形式尚。如靠转化为主即相当忽于若非线性书方程不能咐回归转化串为线性形鼠式时，可久采用后面郑求根法中裳的迭代法润。3.2曲线拟合3.2渐.3毛程序设指计程序功努能是：胜由已知苹的m组峡实测数喝据（xi,yi),叫i=1彼,2纱,3,亲…,m收,按曾最小二等程序原渡理拟合肯多项式借的系数夕。其中衫用户可猜以根据庆具体问茅题预先非确定拟胆合多项训式的次蓝数，也袄可以按狮精度要闻求，使谅程序自桥动选择申多项式促的次数逃。应该析注意的聚是，无料论何种待选择，嫌其次数限都不应盗该超过完m。1、变量最及数组使建用说明M:砌实奸测数据（番xi,yi)的个数晨；N:姜拟合好多项式抓次数加惧1，例俊初值为俊2，即析为一次淋多项式艺；EPS咏:葛允许误困差；N0:董用户直接滴选择多项梁式次数，洁=0时表昨示按精度快要求自动巨选择多项镜式次数；3.2曲线拟合X(M硬):若存放喘给定点郑的值；Y(M)巴:梅存放克给定点的伏实测值；F(M)衰:羞存放仿给定点所迫拟合的函庙数值；S(2穗M):营存放运乐算中形候成的正掩规方程黑组系数学的所有竭值；A(M映,M)益:岛存放正掏规方程半组系数付增广矩推阵；B(M巧):跳存放探正规方捕程组常予系数列铺向量；Z(M兰):穿调译用解方穷程组子火程序得掩到的解控向量；C(M奏):条存放多怕项式系愉数列向沃量；Q(M)扛:雄存放残幅量之绝对蜜值。2、程序效流程图开始输入茂N0,尝M,障X(谣I),若Y(读I)N0=0?N=2

N=N0+1计算S(职K),K=1,睡2,…,修2N-霜1生成S(泛I+J-站1)=A策(I,J档)I=1慎,…N族;J用=1,叶…,N计算B(湿K)=A(K街,N+疲1),援K=魔1,…薄,N调用主办元法解皱方程组讯子程序汗，解向的量Z(怎I)X(I门)=Z材(I)I=1赢,…,冠N计算拟合材曲线在给幼定点X(兵I)上函冒数值F蹈(I)I=1毯,…,阴M计算残猜量Q(I)尖=ABS贷(F(I辉)-Y(靠I))寻找最奶大值Q应(I0)N0=0?Q(I0)/F旅(I0)<训EPS除?

N=N+1N<M输出多项饰式系数C槐(I),红I=1江,…,M结束YNYNYNYN3.2曲线拟种合3、源醉程序清债单10DIM吗ENS蕉ION鸣X(扩M),狸Y(年M),20&S(2*层M),针A(M,际M),战B(M)缩慧,30&Z(M)往,P(M睡),Q表(M)40C输入已岭知数据50像READ食N0,砖M60伴IF(汪N0=0户)TH输EN70牌READ肤EPS80胀E摧NDI券F90晕D百OI浓=1,员M100给RE伤AD(上*,*估)X防(I)吵,Y悄(I)110仔EN挨DD冰O120炕IF辞(N跟0=0袜)T粪HEN130摘N=理2140斗EL泥SE150撞N=东N0+秤1160死EN童DIF170嘴C匪生成系渴数矩阵维S(2通N-1眼)180DOI=1何,2*谊N-1190坑S(I治)=0蝇.0200DOJ=1,凯M210佩S(I)粱=S(I源)+X(衰J)**唯(I-1辰)220END榆DO230END裙DO240DOI=1,疲N3.2曲线拟合250DOJ=1包,N260宫A剖(I,J源)=S(易I+J-唤1)270END热DO280END沙DO290C产生增广峡矩阵300DOI=1碌,N310跟B(I的)=0.医0320DOJ=1,符M330这B陕(I)=锻B(I)棍+Y(J头)*X(胶J)**宣(I-1接)340END担DO350肠A(I欺,N+宅1)=谦B(I坡)360END警DO370C调用求解鼻方程子程府序380薄C山ALL鼓SOLV姐ER(*伶，Z)390C求绝对梁值最大青的残量400DOI=1正,M410错F(I陷)=0.茫0420DOJ=1,悠N430屯F纤(I)=腰F(I)显+Z(J怒)*X(妇I)**碗(J-1锣)440END停