平面与平面垂直 课件高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

1.直线与平面垂直的定义平面的垂线垂足直线的垂面

⊥⊥任意=所有≠无数复习

线面垂直

线线垂直2.补充：线面垂直的推论

图形语言：

符号语言：3.直线与平面垂直的判定定理

mnP线线垂直线面垂直图形语言：符号语言：找“X”4.线面垂直的性质定理：符号语言：图形语言：

线面垂直

线线平行

垂直于同一平面的两直线平行.8.6.3平面与平面垂直第八章猜谜语：一头纤细直，一头圆又尖，砌房修墙好帮手。（打一物品）大家知道重锤线的理论根据是什么吗？它就是本节课的内容之一：平面与平面垂直的判定定理。

一、二面角及二面角的平面角的定义平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.1.半平面——2.二面角——lαl棱面3.二面角的表示方法lAB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DACDB53.二面角的表示方法思考如图8.6-22，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？3个条件：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内

以二面角的棱上

任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。10lOABAOB4.二面角的平面角5.二面角的平面角的范围[0。,180。]6.直二面角平面角是直角的二面角叫做直二面角.OAB

如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值.例1M解：如图，取CD的中点M，连接AM，BM，步步高P83如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD.由二面角的定义可知∠AMB为二面角A－CD－B的平面角.设点H是△BCD的中心，连接AH，则AH⊥平面BCD，且点H在线段BM上.求二面角的平面角的大小的步骤(1)作：作出平面角，一般在交线上找一特殊点，分别在两个半平面内向交线作垂线.(2)证：证明所作的角满足定义，并指出二面角的平面角.(3)求：将作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小.(4)结论.反思感悟简记：一作、二证、三求解利用平面角求二面角大小的步骤：（1)作二面角的平面角（2)证明该角为平面角（3)归纳到三角形求值简记：一作、二证、三求解

如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.跟踪训练1步步高P83由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.1.定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，

就说这两个平面互相垂直.二、平面与平面垂直画法：两个平行四边形的一组边画成垂直例：如图所示，在四面体A－BCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.

总结：用定义证明两个平面垂直的步骤利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是：①找出两个相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个平面互相垂直．观察如图8.6-25，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面．这种方法说明了什么道理？重锤线的理论根据是呢？为什么能通过重锤线来判断墙面是否垂直于地面呢？平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.αβaA线面垂直

则面面垂直符号:ABCD图8.6-27PABOC图8.6-28分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面．而由直线和平面垂直的判定定理，还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直．PABOC图8.6-28(第1题)练习（第158页）1．如图，检查工件的相邻两个(平)面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边和这个面是否密合就可以了．这是为什么？当曲尺的另一边在工件的另一个面上转动时，如果和另一个面密合，曲尺紧靠工件一个面的边就与另一个面内无数条相交直线都垂直，从而这边就与另一个面垂直.同时，这边紧靠工件的一个面，可看成这边在这个面内，故这两个面垂直．ababaDABCDBCAD

如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.例2∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC.∵BD⊂平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC.步步高P83

如图，已知三棱锥S－ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求证：平面ABC⊥平面ASC.跟踪训练2步步高P83如图，作SH⊥AC交AC于点H，连接BH，∵SA＝SC，∴AH＝HC.在Rt△ABC中，H是AC的中点，又SH＝SH，SA＝SB，∴△SAH≌△SBH(SSS)，∴SH⊥BH，步步高P83又AC∩BH＝H，AC，BH⊂平面ABC，∴SH⊥平面ABC，又SH⊂平面ASC，∴平面ABC⊥平面ASC.ab图8.6-29下面我们研究平面与平面垂直的性质，也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论．如果两个平面互相垂直，根据已有的研究经验，我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系．ab图8.6-30cA由此我们得到平面与平面垂直的性质定理：定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．符号语言：b面面垂直线面垂直平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。a⊂αa⊥lba图8.6-32对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论?下面的例子就是其中的一些结果．PACBE例10

如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB．分析：要证明BC⊥平面PAB，需证明BC垂直于平面PAB内的两条相交直线．由已知条件易得BC⊥PA．再利用平面PAB⊥平面PBC，过点A作PB的垂线AE，由两个平面垂直的性质可得BC⊥AE．

如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.例3步步高P83如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.反思感悟利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点(1)两个平面垂直.(2)直线必须在其中一个平面内.(3)直线必须垂直于它们的交线.

如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD.跟踪训练3步步高P83如图，在梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，∠ADC＝90°，过C作CE⊥AB，E为垂足，∴四边形AECD为正方形，∴CE＝AE＝EB＝2，∴∠ACE＝∠BCE＝45°，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，又平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ACD.练习二：如图，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1证明：∵四边形BCC1B1为梯形，∴BC1⊥B1C,又已知B1C⊥A1B,A1B∩BC1=B，∴B1C⊥平面A1BC1,又∵B1C在平面AB1C内，∴平面AB1C⊥A1BC1

练习三：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△PAD为等边三角形.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论.证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图，因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为AD中点，所以BG⊥AD。又因为BG∩PG=G，所以AD⊥平面PGB。因为PB属于平面PGB，所以AD⊥PB。（2）当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD如图设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在△PBC中，EF//PB.在菱形ABCD中GB//DE而EF属于平面DEF，DE属于平面DEF，EF∩DE=E，所以平面DEF//平面PGB，由（1）得AD⊥平面PGB，而AD属于平面ABCD，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD规律方法证明两两垂直常用的方法：(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角.(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直.(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.练习四：如图PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求证：AB⊥BC证明：如图过点A作AD⊥PB于点D,∵平面PAB垂直平面PBC,平面PAB∩平面PBC=PBAD在平面PAB内∴AD⊥平面PBC又∵BC在平面PBC内∴AD⊥BC又∵PA⊥平面ABC,BC在平面ABC内∴BC⊥PA又∵AD∩PA=A∴BC⊥平面PAB,又∵AB在平面PAB内∴BC⊥AB，探究二：设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a,直线a与平面α有什么位置关系？证明：我们知道，过一点只能做一条直线与已知平面垂直，因此，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线重合。如图，设α∩β=c,过点P在平面α内作直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理，b⊥β，因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线a与直线b重合，因此a在α内。文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面_

垂直_______符号语言a⊥l(a⊂α)⇒_a⊥β_______图形语言

作用①面面垂直⇒线面垂直②作面的垂线平面与平面垂直的性质定理例五：如图，已知平面α垂直平面β，直线a⊥β，a不在α内，判断a与α的位置关系。解：在α内作垂直于α与β的直线b∵α⊥β，∴b⊥β又a⊥β∴a//b又a不在α内∴a//α即直线a与平面α平行例六：如图，已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求证：BC⊥平面PAB证明：如图，过点A作AE⊥PB,垂足为E∵平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC∴AE⊥平面PBC∵BC在平面PBC内∴AE⊥BC∵PA⊥平面ABC,BC在平面ABC内∴PA⊥BC又PA∩AE=A∴BC⊥平面PAB例七：如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.证明（1）连接BD，如图，在菱形ABCD中，∵∠DAB=60°∴△ABD为正三角形又∵G是AD的中点∴BG⊥AD又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BG在平面ABCD内，∴BG⊥平面PAD（2）∵△PAD为正三角形，G为AD的中点