2021年福建省福州市管头中学高三数学文期末试卷含解析

2021年福建省福州市管头中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知cos（π+x）=，x∈（π，2π），则cos（）=（）A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：A【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式化简已知条件以及所求表达式，通过同角三角函数的基本关系式求解即可．【解答】解：cos（π+x）=，x∈（π，2π），可得cosx=﹣，x∈（π，），cos（）=sinx=﹣=﹣．故选：A．【点评】本题考查诱导公式以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．2.函数的零点个数为A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B3.已知函数（其中为自然对数底数）在取得极大值，则的取值范围是（

）、

、

、

、参考答案：D。当求导可得在取得极小值，不符合；当令，为使在取得极大值，则有【考点】函数的极值，分类讨论。4.已知集合，，则

()A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.已知复数z满足：zi=2+i（i是虚数单位），则z对应的点在复平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由足zi=2+i，得z==1﹣2i，∴复数z在复平面内所对应的点的坐标是（1，﹣2），∴z对应的点在复平面的第四象限．故选：D．6.“命题p或q为真”是“命题p且q”为真的（

）条件A．充分

B．必要

C．充要

D．既不充分也不必要参考答案：B7.已知集合,集合,则=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A8.下列命题是真命题的是（）A．?φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数B．?α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβC．向量=（2，1），=（﹣1，0），则在方向上的投影为2D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举出反例φ=，可判断A；举出正例α=，β=﹣，可判断B；求出向量的投影，可判断C；根据充要条件的定义，可判断D．【解答】解：当φ=时，函数f（x）=sin（2x+φ）=cos2x是偶函数，故A为假命题；?α=，β=﹣∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ=1，故B为真命题；向量=（2，1），=（﹣1，0），则在方向上的投影为﹣2，故C为假命题；“|x|≤1”?“﹣1≤x≤1”是“x≤1”的充分不必要条件，故D为假命题，故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查奇数的奇偶性，特称命题，向量的投影，充要条件等知识点，难度中档．9.如图,若程序框图输出的S是126,则判断框中①应为

A．

B．

C．

D．(输出应加上S)参考答案：B10.已知为实数，为虚数单位，若为实数，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B

【知识点】复数的乘除运算L4解析：，所以，故选B．【思路点拨】先把复数化简,再求出b的之即可.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.双曲线的两条渐近线方程为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上

而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想12.过点作圆O：x2+y2=1的切线，切点为N，如果y0=0，那么切线的斜率是

；如果∠OMN≥，那么y0的取值范围是．参考答案：；﹣1≤y0≤1。考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：设切线方程为y=k（x﹣），即kx﹣y﹣k=0，圆心到直线的距离为d==1，可得k的值；∠OMN≥，则≥，可得OM≤2，即可求出y0的取值范围．解答：解：y0=0，设切线方程为y=k（x﹣），即kx﹣y﹣k=0，圆心到直线的距离为d==1，∴k=；∠OMN≥，则≥，∴OM≤2，∴3+≤4，∴﹣1≤y0≤1，故答案为：；﹣1≤y0≤1．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．13. 参考答案：略14.定义域为的函数满足，当时，

，若时，恒成立，则实数的取值范围是

参考答案：-1≤t≤315.设为第二象限角，若，则

。参考答案：略16.设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣）【考点】7C：简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，则由图可知，点（﹣m，m）在直线x=2y+2的下方，故﹣m﹣2m＞2，从而解得．【解答】解：由题意作出其平面区域，则由图可知，点（﹣m，m）在直线x=2y+2的下方，故﹣m﹣2m＞2，解得，m＜﹣；故答案为：（﹣∞，﹣）．17.已知命题p：?x∈R，x2＞x﹣1，则?p为．参考答案：?x∈R，x2≤x﹣1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|，x∈R．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a|x﹣1|恰有两个不同的实数根，求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的意义，求得不等式f（x）≤6的解集．（Ⅱ）函数f（x）的图象（图中红色部分）与直线y=a|x﹣1|有2个不同的交点，数形结合可得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣2、2对应点的距离之和，而3和﹣3对应点到﹣2、2对应点的距离之和正好等于6，故不等式f（x）≤6的解集为{x|x≤﹣2，或x≥2}．（Ⅱ）∵f（x）=|x+2|+|x﹣2|=，∴f（x）≥4，若关于x的方程f（x）=a|x﹣1|恰有两个不同的实数根，则函数f（x）的图象与直线y=a|x﹣1|（图中红色部分）有2个不同的交点，如图所示：由于A（﹣2，4）、B（2，4）、C（1，0），∴﹣2＜﹣a＜KCA，或a＞KCB，即﹣2＜﹣a＜﹣，或a＞4，求得＜a＜2，或a＞4．19.（12分）设数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an﹣a1，且a1，a3+1，a4成等差数列．（I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{an}满足an?bn=an2﹣1，求数列{bn}的前几项和Tn．参考答案：见解析【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（I）数列{an}的前n项和Sn=2an﹣a1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，可得an=2an﹣1．由a1，a3+1，a4成等差数列，可得2（a3+1）=a4+a1，代入解出a1，利用等比数列的通项公式即可得出．（II）利用（I）的结论求得{bn}的通项公式，然后由分组求和法来求Tn．【解答】解：（I）数列{an}的前n项和Sn=2an﹣a1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，∴an=2an﹣1（n≥2）．∵a1，a3+1，a4成等差数列，∴2（a3+1）=a4+a1，∴8a1+2=8a1+a1，解得a1=2，∴数列{an}是等比数列，首项与公比都为2．∴an=2n．（II）由（I）知，an=2n．∵an?bn=an2﹣1，∴2n?bn=（2n）2﹣1，∴bn=2n﹣（）n，∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=[21﹣（）1]+[22﹣（）2]+…+2n﹣（）n=（2+22+23+…+2n）﹣[+﹣（）2+（）3…+（）n]=﹣=2n+1+﹣3．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.

(13分)

已知,在区间(0，1]上的最大值．参考答案：解析：∵，∴．

…………2分∴．…………4分当(0，1]时,由于,故>0．(1)当≥1时≥0在区间(0，1]上恒成立，

∴在区间(0，1]上是增函数．∴在区间(0，1]上的最大值是．

…………8分(2)当0<<1时＞0．＜0．由于＜１，＞１，故函数在区间(0，]上是增函数，在区间（，１］上是减函数．

∴在区间(0，1]上的最大值是（）＝．…………13分21.双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．（1）若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．【分析】（1）由题意求出A点纵坐标，由△F1AB是等边三角形，可得tan∠AF1F2=tan=，从而求得b值，则双曲线的渐近线方程可求；（2）写出直线l的方程y﹣0=k（x﹣2），即y=kx﹣2k，与双曲线方程联立，利用弦长公式列式求得k值．【解答】解：（1）若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，把x=c=代入双曲线的方程可得点A的纵坐标为b2，由tan∠AF1F2=tan==，求得b2=2，b=，故双曲线的渐近线方程为y=±bx=±x，即双曲线的渐近线方程为y=±x．（2）设b=，则双曲线为x2﹣=1，F2（2，0），若l的斜率存在，设l的斜率为k，则l