2021年湖南省邵阳市永胜中学高三数学文期末试题含解析

2021年湖南省邵阳市永胜中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（07年全国卷Ⅰ文）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有A．36种

B．48种

C．96种

D．192种参考答案：答案：C解析：甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有种，选C。2.函数的零点所在的区间是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角；单位向量．【专题】计算题．【分析】设与的夹角为θ，将已知等式平方，结合向量模的含义和单位向量长度为1，化简整理可得?=﹣，再结合向量数量积的定义和夹角的范围，可得夹角θ的值．【解答】解：设与的夹角为θ，∵|+|=1，∴（+）2=2+2?+2=1…（*）∵向量、均为单位向量，可得||=||=1∴代入（*）式，得1+2?+1=1=1，所以?=﹣根据向量数量积的定义，得||?||cosθ=﹣∴cosθ=﹣，结合θ∈[0，π]，得θ=故选C【点评】本题已知两个单位向量和的长度等于1，求它们的夹角，考查了得数量积的定义、单位向量概念和向量的夹角公式等知识，属于基础题．4.如图，平面内的两个单位向量，它们的夹角是60°，与、向量的夹角都为，且||=，若，则值为（）

A．2 B．4 C． D．参考答案：B5.若P(2，-l)为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A略6.设集合则=（

）A．

B． C．

D．参考答案：B略7.若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是（

）A.4

B.

C.2

D.

参考答案：B8.在各项均为正数的等比数列中，是和的等差中项，且记是数列的前项和，则A．81

B．62

C．27

D．30参考答案：D9.已知数列满足，，则当时,为(

)

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C略10.N为圆x2+y2=1上的一个动点，平面内动点M（x0，y0）满足|y0|≥1且∠OMN=30°（O为坐标原点），则动点M运动的区域面积为（）A．﹣2 B．﹣ C．+ D．+参考答案：A【考点】J3：轨迹方程．【分析】由题意，过M作⊙O切线交⊙O于T，可得∠OMT≥30°．由此可得|OM|≤2．得到动点M运动的区域满足（|y0|≥1）．画出图形，利用扇形面积减去三角形面积求得动点M运动的区域面积．【解答】解：如图，过M作⊙O切线交⊙O于T，根据圆的切线性质，有∠OMT≥∠OMN=30°．反过来，如果∠OMT≥30°，则⊙O上存在一点N使得∠OMN=30°．∴若圆C上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMT≥30°．∵|OT|=1，∴|OM|≤2．即（|y0|≥1）．把y0=1代入，求得A（），B（），∴，∴动点M运动的区域面积为2×（）=．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设M（x0，y0）为抛物线C：y2=8x上一点，F为C的焦点，若以F为圆心，|FM|为半径的圆和C的准线相交，则x0的取值范围是

．参考答案：（2，+∞）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由条件|FM|＞4，由抛物线的定义|FM|可由x0表达，由此可求x0的取值范围．解答： 解：由条件以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，可得|FM|＞4，由抛物线的定义|FM|=x0+2＞4，所以x0＞2故答案为：（2，+∞）．点评：本题考查直线和圆的位置关系、抛物线的定义的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．12.设的内角所对边的长分别为。若，则则角_________.参考答案：13.若实数x，y满足，则的最大值为_______.参考答案：【分析】作出约束条件对应的可行域，变动直线，确定直线过可行域上的某点时z最大，求出最优解，确定z的最大值.【详解】作约束条件对应的可行域，如图三角形区域.平行移动直线，当直线过A点时z最大.,得，，所以的最大值为．【点睛】本题考查线性规划问题，准确画出约束条件对应的图形及理解目标函数的几何意义是关键，考查数形结合及运算能力，属于基础题.

14.如图茎叶图记录了甲、乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为

．参考答案：2【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据甲、乙二人的平均成绩相同求出x的值，再根据方差的定义得出乙的方差较小，求出乙的方差即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲、乙二人的平均成绩相同，即×（87+89+90+91+93）=（88+89+90+91+90+x），解得x=2，所以平均数为=90；根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小，较为稳定（方差较小），且乙成绩的方差为s2=[（88﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（92﹣90）2]=2．故答案为：2．15.在等差数列中，，，记数列的前项和为，若对恒成立，则正整数的最小值为

．参考答案：5略16.已知实数x、y满足关系，则|x﹣y|的最大值为

．参考答案：

【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，然后分＞0和分别求出其最小值和最大值，则|﹣y|的最大值可求．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），联立，解得B（﹣3，1），当时，t=过A时有最大值为；当时，t=过B时有最小值为﹣3．∴|﹣y|的最大值为．故答案为：．17.已知命题p：“?x∈R＋，x>”，命题p的否定为命题q，则q是“________________”；q的真假为________．(填“真”或“假”)参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.⑴若，，（），求证：数列是等比数列；⑵若数列是等比数列，求，的值；⑶若，且，求证：数列是等差数列.参考答案：（1）证明：若，则当(),所以，即，所以，

……………2分又由，，得，，即，所以，故数列是等比数列．……………4分（2）若是等比数列，设其公比为（），当时，，即，得，①当时，，即，得，②当时，，即，得，③②?①?，得，③?②?，得，解得．代入①式，得．…………………8分此时()，所以，是公比为１的等比数列，故．

……………………10分（3）证明：若，由，得，又，解得．…………………12分由，，，，代入得，所以，，成等差数列，由，得，两式相减得：即所以相减得：所以所以，

……14分因为，所以，即数列是等差数列.………………16分19.（本小题满分12分）中所对的边分别为,且．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若求的面积并判断的形状．参考答案：（Ⅰ），，…2分,

………4分,．

………6分（Ⅱ）由题意知，,

，，

………8分,

………10分由，得，，为等边三角形．

………12分20.已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为为参数，θ为倾斜角），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的方程为ρ﹣ρcos2θ﹣4cosθ=0．（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）点Q（a，0），若直线l与曲线C交于A、B两点，求使为定值的值．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对于关系得出直角坐标方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义化简即可得出结论．【解答】解：（1）∵ρ﹣ρcos2θ﹣4cosθ=0，∴ρ2﹣ρ2cos2θ﹣4ρcosθ=0，∴x2+y2﹣x2﹣4x=0，即y2=4x．（2）把为为参数，θ为倾斜角）代入y2=4x得：sin2θ?t2﹣4cosθ?t﹣4a=0，∴t1+t2=，t1t2=﹣，∴====，∴当a=2时，为定值．21.已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅲ）若，使（）成立，求实数a的取值范围.参考答案：解：由已知函数的定义域均为,且.（Ⅰ）函数

当且时,;当时,.所以函数的单调减区间是,增区间是.

………………3分（Ⅱ）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．所以当时，．又，故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．

…………6分（Ⅲ）命题“若使成立”等价于“当时，有”．

由（Ⅱ），当时，，．

问题等价于：“当时，有”．

………8分当时，由（Ⅱ），在上为减函数，则=