2021年湖南省娄底市松柏中学高三数学理模拟试卷含解析

2021年湖南省娄底市松柏中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n阶幻方.记n阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么的值为（

）A.41 B.45 C.369 D.321参考答案：C【分析】推导出，由此利用等差数列求和公式能求出结果．【详解】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，，，，．故.故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的前项和公式，本题解题的关键是应用等差数列的性质来解题．2.设集合,集合为函数的定义域，则=（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D3.“非空集合不是的子集”的充要条件是（

）A．

B．C．，又

D．参考答案：D4.已知a=log0.55、b=log32、c=20.3、d=（）2，从这四个数中任取一个数m，使函数f（x）=x3+mx2+x+2有极值点的概率为（）A． B． C． D．1参考答案：B【考点】6D：利用导数研究函数的极值；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出m的范围，通过判断a，b，c，d的范围，得到满足条件的概率值即可．【解答】解：f′（x）=x2+2mx+1，若函数f（x）有极值点，则f′（x）有2个不相等的实数根，故△=4m2﹣4＞0，解得：m＞1或m＜﹣1，而a=log0.55＜﹣2，0＜b=log32＜1、c=20.3＞1，0＜d=（）2＜1，满足条件的有2个，分别是a，c，故满足条件的概率p==，故选：B．5.中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”如图1，原题为：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？后来，南宋数学家秦九韶在其著作《数学九章》中对此类问题的解法做了系统的论述，并称之为“大衍求一术”，如图2程序框图的算法思路源于“大衍求一术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为20，17，则输出的c=（）A．1 B．6 C．7 D．11参考答案：C【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序运行过程，即可得出程序运行后输出的c值．【解答】解：模拟执行程序运行过程，如下；a=20，b=17，r=3，c=1，m=0，n=1，满足r≠1；a=17，b=3，r=2，q=5，m=1，n=1，c=6，满足r≠1；a=3，b=2，r=1，q=1，m=1，n=6，c=7，满足r=1；输出c=7．故选：C．6.某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93．下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数参考答案：C【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】若抽样方法是分层抽样，男生、女生分别抽取6人、4人，由题目看不出是系统抽样，求出这五名男生成绩的平均数、方差和这五名女生成绩的平均数、方差，由此能求出结果．【解答】解：由题目看不出是抽样方法是分层抽样，故A错；由题目看不出是系统抽样，故A错；这五名男生成绩的平均数=（86+94+88+92+90）=90，这五名女生成绩的平均数=（88+93+93+88+93）=91，故这五名男生成绩的方差为=（42+42+22+22+02）=8，这五名女生成绩的方差为=（32+22+22+32+22）=6，故C正确，D错．故选：C．7.若复数是纯虚数，则实数的值为A．0或2

B．2

C．0

D．1或2参考答案：C8.执行如图所示的程序框图，输出的S值是(A)2

(B)4

(C)8

(D)16参考答案：【知识点】循环结构．L1C

解析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加的值，∵，故答案为：8【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加的值，并输出．9.已知复数z满足为虚数单位），则复数所对应的点所在象限为（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：A略10.设a=log0.70.8，b=log1.10.9，c=1.10.9，那么（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b参考答案： C【考点】对数值大小的比较；指数函数与对数函数的关系．【分析】对a、b、c三个数，利用指数、对数的性质，进行估算，和0、1比较即可．【解答】解：a=log0.70.8＞0，且a=log0.70.8＜log0.70.7=1．b=log1.10.9＜log1.11=0．c=1.10.9＞1．∴c＞1＞a＞0＞B、即b＜a＜c、故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如右图，在直角梯形ABCD中，AB//DC,AD⊥AB,AD=DC=2,AB=3,点是梯形内或边界上的一个动点，点N是DC边的中点，则的最大值是________.参考答案：612.一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是两个全等的三角形，俯视图是个圆，则该几何体的体积等于

．参考答案：9π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆锥，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆锥，其底面面积S==，高h==4，故几何体的体积V==9π；故答案为：9π【点评】本题考查的知识点是圆锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．13.若（为虚数单位），则___________．参考答案：因为，所以，即，所以，即，所以。14.若数列的通项公式为，则

．参考答案：因为，所以,，所以。15.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点的坐标为．参考答案：略16.在体积为的球的表面上有三点,两点的球面距离为,则球心到平面的距离为______________.参考答案：答案：

解析：本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离。设球的半径为,则,∴设、两点对球心张角为，则,∴,∴,∴为所在平面的小圆的直径，∴,设所在平面的小圆圆心为，则球心到平面ABC的距离为17.函数，若，则

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知函数（I）若函数在其定义域内为单调函数，求a的取值范围;（II）若函数的图像在x=1处的切线斜率为0，且，（，）证明：对任意的正整数n,当时，有.参考答案：(Ⅰ)函数的定义域是因为所以有所以………………１分

………………２分1.当时，恒成立，所以函数在上单调递减;…３分2．当时，若函数在其定义域内单调递增，则有恒成立即因为所以

且时不恒为0.

………………４分若函数在其定义域内单调递减，则有恒成立即因为所以

综上，函数在定义域内单调时的取值范围是………５分（Ⅱ）因为函数的图像在x=1处的切线斜率为0，所以即所以所以

………………６分令说明：此处可有多种构造函数的方法，通所以……７分常均需要讨论ｎ是奇数还是偶数当是偶数时，因为所以可参照答案所示每种情况酌情赋２－３分所以所以即函数在单调递减所以，即

………９分当是奇数时，令则所以函数在单调递减，所以……１０分又因为时所以所以即函数在单调递减

………………１１分所以，即综上，对任意的正整数n,当时，有.………………１２分19.（本小题满分14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（I）求椭圆C的方程；

’（II）P（2，3），Q（2，－3）是椭圆上两点，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点，（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值：（ii）当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。参考答案：20.(本小题满分13分)已知函数.(I)求的值;(II)求函数的最小正周期及单调递减区间.参考答案：解:(I).……………4分(II),得故的定义域为.因为,所以的最小正周期为.因为函数的单调递减区间为,由,得,所以的单调递减区间为.

……………13分21.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn，an，成等差数列．（1）证明数列{an}是等比数列；（2）若bn=log2an+3，求数列{}的前n项和Tn．参考答案：略22.设函数f（x）=+lnx，g（x）=x3﹣x2﹣3． （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ）如果对于任意的，都有x1f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围． 参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，对参数a讨论得到函数的单调区间． （Ⅱ）由题对于任意的，都有x1f（x1）≥g（x2）成立，则x1f（x1）≥g（x）max，然后分离参数，求出a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），， 当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增； 当a＞0时，若，则f'（x）≥0，函数f（x）单调递增； 若，则f'（x）＜0，函数f（x）单调递减； 所以，函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．… （Ⅱ），， 可见，当时，g'（x）≥0，g（x）在区间单调递增， 当时，g'（x）≤0，g（x）在区间单调递减， 而，所以，g（x）在区间上的最大值是1， 依题意，只需当时，xf（x）≥1恒成立， 即恒成立，亦即a≥x﹣x2lnx；…