2023届上海市高考数学一轮复习模拟收官卷（二）2

2023届高考数学一轮复习收官卷（二）（上海市）一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（2022·上海市市北中学高三期中）已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点的坐标_____________．2．（2022·上海杨浦·高三期中）集合，若，则实数a的取值范围为_________．3．（2022·上海交大附中高三开学考试）若函数是奇函数，则_______.4．（2022·上海·模拟预测）已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，其解为，则_________．5．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知，且，则______.6．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知满足，则的最小值为____________．7．（2022·上海静安·模拟预测）已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前9项和为___________________．8．（2022·上海黄浦·二模）一个袋子中装有大小与质地均相同的个红球和个白球（），现从中任取两球，若取出的两球颜色相同的概率等于取出两球颜色不同的概率，则满足的所有有序数对为____________．9．（2022·上海·高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，点为平面上一动点，且满足，则满足条件的所有点围成的平面区域的面积为___________.10．（2022·上海静安·二模）已知函数，若对任意，当时，总有成立，则实数的最大值为__________.11．（2022·上海·高三专题练习）对于曲线C所在平面上的定点，若存在以点为顶点的角，使得对于曲线C上的任意两个不同的点A，B恒成立，则称角为曲线C相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C相对于点的“确界角”．曲线相对于坐标原点的“确界角”的大小是_________.

12．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的模取值范围是___________.二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（2022·上海市复兴高级中学高三期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（

）A． B． C． D．14．（2022·上海·高三专题练习）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为（

）A． B． C． D．15．（2022·上海·曹杨二中高三期中）已知函数，关于x的方程，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．其中真命题的序号为（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④16．（2022·上海市进才中学高三阶段练习）若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（e为自然对数的底数），有下列两个命题：命题：和之间存在唯一的“隔离直线”；命题：和之间存在“隔离直线”，且b的最小值为.则下列说法正确的是（

）A．命题、命题都是真命题 B．命题为真命题，命题为假命题C．命题为假命题，命题为真命题 D．命题、命题都是假命题三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（2022·上海·模拟预测）如图，四棱锥的底面是边长为1的菱形，其中，垂直于底面，；（1）求四棱锥的体积；（2）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小．18．（2022·上海·位育中学模拟预测）如图所示，在一条海防警戒线上的点处各有一个水声监测点，两点到点的距离分别为20千米和50千米.某时刻，收到发自静止目标的一个声波信号，8秒后同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是千米/秒.(1)设到的距离为千米，用表示到的距离，并求的值;(2)求静止目标到海防警戒线的距离.(结果精确到千米).19．（2022·上海·高三专题练习）大数据时代对于数据分析能力的要求越来越高，数据拟合是一种把现有数据通过数学方法来代入某种算式的表示方式.比如是平面直角坐标系上的一系列点，其中是不小于的正整数，用函数来拟合该组数据，尽可能使得函数图像与点列比较接近.其中一种衡量接近程度的指标是函数的拟合误差，拟合误差越小越好，定义函数的拟合误差为：.已知在平面直角坐标系上，有5个点的坐标数据如下表所示：127（1）若用函数来拟合上述表格中的数据，求；（2）若用函数来拟合上述表格中的数据.①求该函数的拟合误差的最小值，并求出此时的函数解析式；②指出用中的哪一个函数来拟合上述表格中的数据更好？20．（2022·上海·华东师范大学第一附属中学高三阶段练习）已知椭圆：的左焦点为，下顶点为，斜率为的直线经过点．(1)若与直线垂直，求的方程；(2)若直线与椭圆相交于不同的，，直线，分别与直线交于，且，求的取值范围．21．（2022·上海市进才中学高三期中）已知数列的前项和为，满足：.(1)求证：数列为等差数列；(2)若，数列满足，记为的前项和，求证：；(3)在（2）的前提下，记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.2023届高考数学一轮复习收官卷（二）（上海市）一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（2022·上海市市北中学高三期中）已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点的坐标_____________．【答案】【详解】，故复数z在复平面内对应的点的坐标为.故答案为：.2．（2022·上海杨浦·高三期中）集合，若，则实数a的取值范围为_________．【答案】【详解】∵，，∴，故实数a的取值范围为.故答案为：.3．（2022·上海交大附中高三开学考试）若函数是奇函数，则_______.【答案】【详解】为奇函数，定义域关于原点对称，定义域中，定义域中，，即，在定义域内，，即，.故答案为：4．（2022·上海·模拟预测）已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，其解为，则_________．【答案】1【详解】解：因为关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，所以关于x、y的二元一次方程组是，又因为其解为，所以，则，故答案为：15．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知，且，则______.【答案】【详解】令则，所以所以，故答案为：6．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知满足，则的最小值为____________．【答案】【详解】作出可行域，如图所示目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，转化为，令，则，作出直线并平移使它经过可行域的点，经过时，，解得，所以.此时取得最小值，即．故答案为：.7．（2022·上海静安·模拟预测）已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前9项和为___________________．【答案】18【详解】，由，可得，当时，，故函数的图象关于点对称，由等差中项的性质可得，故，所以，数列的前项和为.故答案为：188．（2022·上海黄浦·二模）一个袋子中装有大小与质地均相同的个红球和个白球（），现从中任取两球，若取出的两球颜色相同的概率等于取出两球颜色不同的概率，则满足的所有有序数对为____________．【答案】【详解】由题意，取出的两球颜色相同的概率等于取出两球颜色不同的概率等于，即，即，所以，整理得，即为平方数.又，，故，或.当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得不合题意，故或故答案为：9．（2022·上海·高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，点为平面上一动点，且满足，则满足条件的所有点围成的平面区域的面积为___________.【答案】【详解】若是中点，由正方体的性质易知：在面上的投影为，∴要使面上一动点使，只需在面上的射影即可，∴轨迹是以为直径的圆上，而，∴满足条件的所有点围成的平面区域的面积为.故答案为：10．（2022·上海静安·二模）已知函数，若对任意，当时，总有成立，则实数的最大值为__________.【答案】1【详解】当时，，则不成立；当，，取，，此时不成立；当时，，则，对于任意，有，当时取等号，所以总有成立；当时，，当取最大值1，当时取最小值0，则，对于任意，有，当时取等号，所以总有成立；综上可得，故实数的最大值为1.故答案为：1.11．（2022·上海·高三专题练习）对于曲线C所在平面上的定点，若存在以点为顶点的角，使得对于曲线C上的任意两个不同的点A，B恒成立，则称角为曲线C相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C相对于点的“确界角”．曲线相对于坐标原点的“确界角”的大小是_________.【答案】【详解】由题意，画出函数的图象，过点作出两条直线与曲线无限接近，设它们的方程方程为，，当时，曲线与直线无限接近，即为双曲线的渐近线，可得；当时，曲线可化为，圆心到直线的距离为，解得，由两直线的夹角公式，可得，所以曲线相对于点的“确界角”为．故答案为．

12．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的模取值范围是___________.【答案】【详解】如图1，令，，，则，取AB中点M.由，可得，，所以，即C在以M为圆心、为半径的圆上.由，当O、M、C三点共线时（M在线段OC上），.由于O在以AB为弦的圆弧上，设圆心为G，由正弦定理可知，即，当时，圆G半径取得最大值.当O、M、G三点共线（G在线段OM上），且时，取得最大值，此时，所以.如图2，显然当O、M、C三点共线（点C在线段OM上），当时，圆G半径取得最小值.，即M、G两点重合.取得最小值为2.则时，.故向量的模取值范围是故答案为：二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（2022·上海市复兴高级中学高三期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，则，故，A对B错；，即，当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错.故选：A.14．（2022·上海·高三专题练习）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据题意：从10个数中任取5个不同的数，则基本事件为，则这5个不同的数的中位数为4的有：，故概率.故选：C15．（2022·上海·曹杨二中高三期中）已知函数，关于x的方程，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．其中真命题的序号为（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【详解】设，则，当时，,当时，有两解．则原方程等价为，即．画出以及的图象，由图象可知，（1）当时，，此时方程恰有2个不同的实根；（2）当时，或或，当时，有两个不同的解，当时，有两个不同的解，当时，只有一个解，所以此时共有5个不同的解．（3）当时，或或或，此时对应着8个解．（4）当时，或．此时每个对应着两个，所以此时共有4个解．综上正确的是①③④．故选：C16．（2022·上海市进才中学高三阶段练习）若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（e为自然对数的底数），有下列两个命题：命题：和之间存在唯一的“隔离直线”；命题：和之间存在“隔离直线”，且b的最小值为.则下列说法正确的是（

）A．命题、命题都是真命题 B．命题为真命题，命题为假命题C．命题为假命题，命题为真命题 D．命题、命题都是假命题【答案】B【详解】（1）对命题：设，的隔离直线为，则对任意恒成立，故对任意恒成立，由对任意恒成立，得，若，则符合题意，若，则对任意x都成立，又因为的对称轴为，从而，即，所以，又的对称轴为，∴，即，∴，故，同理可得，即，故命题为假命题；（2）对命题：函数和的图象在处有公共点，若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率k，则隔离直线方程，即，由恒成立，i.若，则不恒成立，不符合题意；ii.若，由恒成立，令，对称轴，则在上单调递增，又，故不恒成立，不符合题意；iii.若，可得在时恒成立，的对称轴为，则，故只有，此时直线，下面证明，令，则，易得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极小值0，也是最小值，所以，故，所以和存在唯一的隔离直线，故命题为真命题.故选：B三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（2022·上海·模拟预测）如图，四棱锥的底面是边长为1的菱形，其中，垂直于底面，；（1）求四棱锥的体积；（2）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小．【答案】(1)；(2)．【详解】解：（1）∵四棱锥的底面是边长为1的菱形，其中，垂直于底面，，∴，，，，∴四棱锥的体积．（2）取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，设异面直线与所成角为，则，故，∴异面直线与所成角为．18．（2022·上海·位育中学模拟预测）如图所示，在一条海防警戒线上的点处各有一个水声监测点，两点到点的距离分别为20千米和50千米.某时刻，收到发自静止目标的一个声波信号，8秒后同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是千米/秒.(1)设到的距离为千米，用表示到的距离，并求的值;(2)求静止目标到海防警戒线的距离.(结果精确到千米).【答案】(1)(千米),(千米),(2)千米（1）根据题意可得：(千米),(千米),(千米),(千米),∵，则即，解得（2）在△中，，则设到的距离为(千米)，则∴静止目标到海防警戒线的距离为千米19．（2022·上海·高三专题练习）大数据时代对于数据分析能力的要求越来越高，数据拟合是一种把现有数据通过数学方法来代入某种算式的表示方式.比如是平面直角坐标系上的一系列点，其中是不小于的正整数，用函数来拟合该组数据，尽可能使得函数图像与点列比较接近.其中一种衡量接近程度的指标是函数的拟合误差，拟合误差越小越好，定义函数的拟合误差为：.已知在平面直角坐标系上，有5个点的坐标数据如下表所示：127（1）若用函数来拟合上述表格中的数据，求；（2）若用函数来拟合上述表格中的数据.①求该函数的拟合误差的最小值，并求出此时的函数解析式；②指出用中的哪一个函数来拟合上述表格中的数据更好？【答案】（1）；（2）①的最小值为，此时；②答案见解析.【详解】（1）若用函数来拟合上述表格中的数据，，则；（2）①若用函数来拟合上述表格中的数据，则，则当