上海市黄浦区格致2023年高考仿真模拟数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.把函数/(元)=sir?》的图象向右平移看个单位，得到函数g(x)的图象.给出下列四个命题

①g(x)的值域为(0,1]

7T

②g(x)的一个对称轴是X=在

711

③g(x)的一个对称中心是

■352

④g(x)存在两条互相垂直的切线

其中正确的命题个数是()

A.B.2C.3D.4

\10

]_x21

2.的展开式中有理项有()

A.3项B.4项C.5项D.7项

3.已知集合4={16义旧＜8*},B={2,3,6},C={2,3,7},则5U=()

A.[2,3,4,5)B.[2,3,4,5,6}

C.(1,2,3,4,5,6)D.{1,3,4,5,6,7)

4.已知抛物线y2=4x的焦点为准线与x轴的交点为K,点P为抛物线上任意一点ZKPF的平分线与x轴交于

(m,0),则加的最大值为()

A.3-2V2B.2G-3C.2-6D.2-V2

5.设/“)=«,点0(0,0),A(0,l),A,,(n,/(«)),〃eN*,设乙4。4=对一切〃N*都有不等式

华+警+曙+……+噜—成立,则正整数，的最小值为()

A.3B.4C.5D.6

6.已知A,B,C,。是球。的球面上四个不同的点，若AB=AC=DB=DC=3c=2,且平面O3C_L平面A8C,

则球。的表面积为（）

20万15万

B.——C.67rD.5兀

2

7.下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）

A.y=x+2B.y=sinxC.y=x-x3D.y-2X

8.某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的

用水量（单位：m3）的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15m3的住户的户数为（）

A.2B.24C.16D.14

10.中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A、3、

C、D、E为顶点的多边形为正五边形，且「7=避二!则AT—避二!（）

22

A.B,*RQC.mDD.”

11.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，

葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它

引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取

自水下的概率为（）

B

12132114

A.——C.—D.—

13142915

12.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面

积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此

可估计阴影部分的面积是（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一次考试后，某班全班5（）个人数学成绩的平均分为正数M,若把M当成一个同学的分数，与原来的50个分数

一起，算出这51个分数的平均值为N,则£=_________

N

2x—y—6<05

14.设第一象限内的点（x,y）满足约束条件彳_：?>，若目标函数z=or+切伍>0,b>0）的最大值为40,则二+

7的最小值为

b

15.若函数/（x）=（ix+lnx（GR）的图象与直线y=3x—l相切，贝!1。=.

x+2y-2<0

x+1

16.设羽），满足约束条件x-y-iwo,则2=-的取值范围是____.

y+2

2x+y+120-

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知非零实数“为满足a<b.

(1)求证：a3-b3<2a2b-2ah2;

（2）是否存在实数2'使得《一/2几（千一3）恒成立？若存在,求出实数几的取值范围；若不存在,请说明理由

1.02/

18.(12分)已知矩阵人=0的逆矩阵4=b0.若曲线C：9+y2=i在矩阵4对应的变换作用下得到

另一曲线。2,求曲线g的方程.

19.(12分)已知函数/(x)=log。蛆2-3X+8〃Z).

4

(I)当机=1时，求函数/(X)在［；,2］上的值域；

(n)若函数/co在(4,+8)上单调递减，求实数团的取值范围.

20.(12分)/(x)=a-|x-Z?|(a>0),且/(司之。的解集为卜卜3<x<7}.

(1)求实数。，b的值；

(2)若“X)的图像与直线x=O及》=加(加<3)围成的四边形的面积不小于14,求实数〃?取值范围.

21.(12分)已知集合4={%,2一%-2>()},集合3={耳2*2+(2Z+5)x+5Z<()},keR.

(1)求集合8；

(2)记M=AB,且集合M中有且仅有一个整数，求实数k的取值范围.

22.(10分)在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行

合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示：

试销价格

456789

X阮)

产品销量y

898382797467

(件)

已知变量X，y且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲不=4x+53；乙

y=-4x+105；丙不=-4.6》+104,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.

(1)试判断谁的计算结果正确？

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1,则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中

随机抽取3个，求“理想数据”的个数为2的概率.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

由图象变换的原则可得g(x)=COS「X-彳卜；,由cos12x-£)e[-1,1]可求得值域；利用代入检验法判断②③;

对g(无)求导，并得到导函数的值域,即可判断④.

【详解】

1

-Icos71+1

262

cos2x-^e[-1,1],g(x)的值域为[0,1]，①错误;

当》=一时,2x—?=0,所以x=一是函数g(x)的一条对称轴，②正确;

12612

当x=£时,2x—J=I，所以g(x)的一个对称中心是③正确；

362132J

,

g<x)=sin[2%一5卜[-1,1],则3XPX2eR,g'(xj=-1,g&)=1，使得g'(%)•g(x2)=-l，则g(x)在无=占和

x=%处的切线互相垂直，④正确.

即②③④正确，共3个.

故选:C

【点睛】

本题考查三角函数的图像变换，考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心，考查导函数的几何意义的应用.

2.B

【解析】

由二项展开式定理求出通项，求出x的指数为整数时r的个数，即可求解.

【详解】

r20

Tr+]=(-l)2,T°C；nx~，0WrW10，

当r=0,3,6,9时，4+i为有理项，共4项.

故选:B.

【点睛】

本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.

3.C

【解析】

根据集合的并集、补集的概念，可得结果.

【详解】

集合A={xGNH<8X}={X€N|0VXV8},

所以集合4={1,2,3,4,5,6,7}

B={2,3,6},C={2,3,7},

故QC={1,4,5,6),

所以8U(4。)={1,2,3,4,5,6).

故选：C.

【点睛】

本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题.

4.A

【解析】

x+1\-m

求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，I,八，“=F，

求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解.

【详解】

解：由题意可得，焦点F(l,0),准线方程为x=T,

过点尸作PM垂直于准线，用为垂足，

由抛物线的定义可得|PF|=|PM|=x+L

记NKP尸的平分线与x轴交于”(m,0),(-l<m<l)

\PF\_\PM\_\FH\

根据角平分线定理可得

|PK||PK|\KH\

x+\

\/&+犷+44]+"

当x=0时，m-0,

x+11

当xwO时,d(1+1)?+4x制

X+-+2

x

—<匕^<l=>0<m<3-2V2，

21+/n

综上:0<m<3-2y/2.

故选:A.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用,直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键.考查学

生的计算能力,属于中档题.

5.A

【解析】

si'。,,1--一1—,再求得左边的范围，只需产一2/-221，利用单调性解得t的范围.

先求得

n2nn+1

【详解】

n.sin?。”111

由题意知sind=

-7

J/+〃rr几+〃nn+1

.sin?qsin?。sin2ftsi/e,,,111111

-------L+——+—7-^+H---7—=1----1-------1-------F…+=1—――,随n的增大而增大,

I22232n222334nn+1n+1

•小1-1

<1,

n+1

.,./2-2r-2>l,即尸一2f—120,又f(t)=〃—2，-1在tNl上单增，f(2)=-l<0,f(3)=2>0,

...正整数/的最小值为3.

【点睛】

本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.

6.A

【解析】

由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案.

【详解】

如图，

取BC中点G,连接AG,DG,则AG_LBC,DGJ_BC,

分别取ABC与DBC的外心E,F,分别过E,F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O,

则O为四面体A—BCD的球心，

由AB=AC=DB=DC=BC=2,得正方形OEGF的边长为*5,则OG=X6,

33

四面体A-BCD的外接球的半径R=VOG2+BG2=3争+俨=J|,

，球O的表面积为471x（曰=一.

故选A.

【点睛】

本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题.

7.C

【解析】

依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.

【详解】

A.y=x+2,值域为R,非奇非偶函数，排除;

B.y=sinx,值域为[-1,1],奇函数，排除;

C.y=x-^,值域为R,奇函数，满足；

D.y=2Z值域为(O,+8),非奇非偶函数，排除；

故选：C.

【点睛】

本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.

8.C

【解析】

从频率分布直方图可知，用水量超过15m3的住户的频率为(0.05+001)x5=0.3,即分层抽样的50户中有0.3x50=15

户住户的用水量超过15立方米

所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为芸x200=60,故选C

9.D

【解析】

做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.

【详解】

x+yK10

做出满足的可行域，如下图阴影部分，

x>4

根据图象，当目标函数z=2x+3y过点A时，取得最小值，

x=4fx=4

由《解得即44,2)，

x-y=2[y=2

所以z=2x+3y的最小值为14.

故选：D.

【点睛】

本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.

10.A

【解析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题.

【详解】

解：AT-^^-ES=SD-SR=RD=^^-QR.

22

故选：A

【点睛】

本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属

于基础题.

11.C

【解析】

由题意知：BC=2,B'C=5,设AC=x,则AB=AB'=x+2,在Rt二AC8'中，列勾股方程可解得x,然后由

X

p=——得出答案.

x+2

【详解】

解：由题意知：BC=2,B'C=5,设AC=x,则AB=AB'=x+2

,21

在Rt_AC8中，列勾股方程得：52+%2=(X+2)\解得X=7

21

x~721

所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为p=-=—

x+221+229

故选c.

【点睛】

本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.

12.D

【解析】

直接根据几何概型公式计算得到答案.

【详解】

根据几何概型：〃=?=篝，故5=?.

92005

故选：D.

【点睛】

本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

【解析】

根据均值的定义计算.

【详解】

50M+M

由题意N==M,

51N

故答案为：1.

【点睛】

本题考查均值的概念，属于基础题.

9

14.-

4

【解析】

不等式表示的平面区域阴影部分，

当直线a*+5y=z(a>0,8>0)过直线x-j+2=0与直线2x-y-6=0的交点(8,10)时,

目标函数2=。工+切(4>0,。>0)取得最大40,即8。+10)=40,即4a+5)=20,

-51「54a+565(5ba)5,9

ab[ab)20414a44

当且仅当连=二时取等号，

51o

叱+Z的最小值为“

15.2

【解析】

..f'（x0）=a+—=3

设切点4（毛,%）由已知可得飞，即可解得所求.

/（%）="+In/=3x0-1

【详解】

设，因为,f'（x）=a+L所以"+'=3,即”=3%-1，又%=畛+ln%,%=3%-1.所以111%=0,

%xo

即升）=1,。=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力，难度较易.

16.,1

L11J

【解析】

作出可行域，将目标函数z=缶整理为—=个1可视为可行解（x,y）与（-1,-2）的斜率，则由图可知;K%或

->k2,分别计算出尤与右，再由不等式的简单性质即可求得答案.

【详解】

x+2y-2<0

作出满足约束条件x-y-l<0的可行域,

2x+y+l>0

显然当x=-l时，z=0；

x+1整理为|=n可视为可行解(x,y)与(-1,-2)的斜率，则由图可知g4匕或

当XW-1时将目标函数z

y+2

->k

z2

二；所以-

x+2y-2=0

显然包=1，联立<=<

2x+y+1=0V4-H)

则一（一11或一Nl,故----<z<0^0<z<l

zZ11

【点睛】

本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（1）见解析（2）存在，

【解析】

（1）利用作差法即可证出.

（2）将不等式通分化简可得“十"”,讨论出?＞0或曲＞0,分离参数，利用基本不等式即可求解.

a2b2ab

【详解】

3312

(l)a-h-{icrb-lalr^^a-b^^a+ab+b^-2ab(<a-h)

b\2

=(4-0)(/-ab+b2^=(a-b^a—

27

a<h,:.a-b<0

又。一q

+-b2>0

4

a3-b3<2a2b-2ab2

即小答

即Zr+ab+"-22(*)

a2b2-ab''

①当曲＞。时，（*）即於今泮L9尹恒成立

*隆2』2

abab

（当且仅当Q=b时取等号），故4W3

②当时"<0,(*))2,=2+3+1恒成立

crb-

h

V-+

a

（当且仅当4=-。时取等号），故42-1

综上，2e[-l,3]

【点睛】

本题考查了作差法证明不等式、基本不等式求最值、考查了分类讨论的思想，属于基础题.

18.x2+y2-I

【解析】

根据44-=石，可解得a/，设p(x',y)为曲线G任一点，在矩阵A对应的变换作用下得到点Q(x,y),则点。在

曲线G上，根据变换的定义写出相应的矩阵等式，再用X，)'表示出代入曲线G的方程中，即得•

【详解】

-01]「02]「10]「00]「10一

AA-1=二=，即=>

E>a0][_b0j[01J|_02a][()1

rb=-\fa=—1「0「

••'f解得)2>A=i.

2a=1—0

1也=1L2J

设P(x',y)为曲线G任一点，则?+yJl，

又设P(x,y')在矩阵A变换作用得到点Q(x,y),

01yr=x

XfXy'Xxf=2y

则_1_即/所以xr即v

0y'yy.—=yyr=x

.2.712•

代入£+>'2=1,得y2+f=l.

所以曲线C2的方程为Y+y2=].

【点睛】

本题考查逆矩阵，矩阵与变换等，是基础题.

19.(I)log110,log1竽(U)^,+8

.448.

【解析】

(I)把加=1代入，可得/(幻=1附(2%2-3x+8),令y=2/-3尤+8,求出其在[±2]上的值域，利用对数函

22

数的单调性即可求解.

(11)根据对数函数的单调性可得8(»=2如2一3》+8,”在(4,+8)上单调递增，再利用二次函数的图像与性质可得

m>0,

3

^—<4,解不等式组即可求解.

4m

g(4)>0,

【详解】

(I)当机=1时，/«=log.(2x2-3x4-8),

2

此时函数f(x)的定义域为；,2.

因为函数―的最小值为个旦力

最大值为2x22—3x2+8=10,故函数f(x)在；,2

上的值域为log,10,log

.??8

(II)因为函数)'=i°g[x在(。,+8)上单调递减,

4

m>0,

*

故g(x)=2mx2-3x+8m在(4,+8)上单调递增，贝!j<

4/77

g(4)N0,

33、

解得加2行，综上所述，实数〃7的取值范围—,+col.

10

【点睛】

本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与

性质，属于中档题.

20.(1)a=5,b-2；(2)(—co,1]

【解析】

⑴解绝对值不等式得aWxWHa,根据不等式的解集为卜卜3〈x<7｝列出方程组，解出即可；⑵求出/(x)

的图像与直线x=0及>=加(机<3)交点的坐标，通过分割法将四边形的面积分为两个三角形，列出不等式，解不等

式即可.

【详解】

(1)由/(x)20得：,一44。，b-a<x<b+a,

[b-a^-3

即/r'解得。=5,b=2.

b+a=J

‘7_Yx*>2

(2)〃x)=5—卜―2|=|[:一的图像与直线x=0及"根围成的四边形ABC。，A(2,5),8(0,3),

JI人",人'S'乙

C(0,/n),D{1-m,ni).

过A点向丁=机引垂线，垂足为石(2,〃?)，则5诋/,=SABCE+S皿>=g(3-/"+5-加)x2+