天津理工大学概率论与数理统计同步练习册标准答案详解

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2

第一章随机变量习题一

1、写出下列随机实验的样本空间

(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和

Ω={

}1843,,,Λ(2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数

Ω={

}Λ,,1110(3)对某工厂出厂的产品举行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，

如延续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。

Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,}(4)在单位圆内随意取一点，记录它的坐标Ω=}|),{(122>>zyxzyxzyx

其中zyx,,分离表示第一、二、三段的长度

(6).10只产品中有3只次品，每次从其中取一只(取后不放回)，直到将3只次品都取出，写出抽取次数的基本空间U=

“在(6)中，改写有放回抽取”写出抽取次数的基本空间U=解:(1)U={e3，e4，…e10。}

其中ei表示“抽取i次”的事件。i=3、4、…、

10

(2)U={e3，e4，…}

其中ei表示“抽取i次”的事件。i=3、4、…

2、互不相容大事与对立大事的区分何在？说出下列各对大事的关系

(1)δx与20≤x对立大事(3)20>x与18x与22≤x相容大事(5)20个产品全是合格品与20个产品中惟独一个废品互不相容(6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品对立大事

2

解:互不相容:φ=AB;对立大事:φ=AB)1(且Ω=?BA

3、设A,B,C为三大事，用A,B,C的运算关系表示下列各大事

(1)A发生，B与C不发生-CBA(2)A与B都发生，而C不发生-CAB(3)A,B,C中至少有一个发生-CBA??(4)A,B,C都发生-ABC(5)A,B,C都不发生-CBA(6)A,B,C中不多于一个发生-CBCABA??(7)A,B,C中不多于两个发生-CBA??(8)A,B,C中至少有两个发生-BCACAB??

4、盒内装有10个球，分离编有1-10的号码，现从中任取一球，设大事A表示“取到的球的号码为偶数”，大事B表示“取到的球的号码为奇数”，大事C表示“取到的球的号码小于5”，试说明下列运算分离表示什么大事.

(1)BAY必定大事(2)AB不行能大事

(3)C取到的球的号码不小于5(4)CAY1或2或3或4或6或8或10(5)AC2或4(6)CA5或7或9

(7)CBY6或8或10(8)BC2或4或5或6或7或8或9或105、指出下列命题中哪些成立，哪些不成立.

(1)BBABAYY=成立

(2)BABAY=不成立

(3)CBACBA=Y不成立(4)φ=))((BAAB成立(5)若BA?，则ABA=成立(6)若φ=AB，且AC?，则φ=BC成立(7)若BA?，则AB?

成立

(8)若AB?，则ABA=Y成立

7、设一个工人生产了四个零件，iA表示大事“他生产的第i个零件是正品”),,,(4321=i，用1A,2A,3A,4A的运算关系表达下列大事.

(1)没有一个产品是次品；(1)43211AAAAB=

(2)至少有一个产品是次品；(2)432143212AAAAAAAAB=???=

3

(3)惟独一个产品是次品；(3)43214321432143213AAAAAAAAAAAAAAAAB???=(4)至少有三个产品不是次品

4)432143214321432143214AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAB????=

8.设E、F、G是三个随机大事，试利用大事的运算性质化简下列各式：(1)()()FEFEYIY(2)()()()

FEFEFEYIYIY（3）()()

GFFEYIY解:(1)原式()()()()

EFFFEFEEE==IYIYIYI(2)原式()()()()

EFFEFFEFEFEIYIYIYIY===(3)原式()()()()()GEFGFFFGEFEIYIYIYIYI==

9、设BA,是两大事且7060.)(,.)(==BPAP，问(1)在什么条件下)(ABP取到最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下)(ABP取到最小值，最小值是多少？解:(1)6.0)(,=?ABPBA

(2)3.0)(,==?ABPSBA

10.设事件A，B，C分别表示开关a，b，c闭合，D表示灯亮，则可用大事A，B，C表示：(1)D=ABCY；(2)D=()CBAY。

a

b

c

11、设A,B,C是三大事，且81041======)(,)()(,)()()(ACPBCPABPCPBPAP，

求A,B,C至少有一个发生的概率.

解:)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP+++=??

85

00810414141=+++=

ABCAB?Θ

0)()(0=<≤ABPABCP

0)(=∴ABCP

4

12.(1)设大事A,B的概率分离为51与41

，且A与B互斥，则)(BAP=

5

1

.(2).一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，假如随机地无放回地摸3只

球，则取到的3只都是红球的事件的概率等于___14

285____。(3)一袋中有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，假如从每只袋中各摸一只球，则摸到的一只是白球，一只是黑球的大事的概率

等于___13

24___。

(4).设A1,A2,A3是随机实验E的三个互相自立的大事，

已知P(A1)=α,P(A2)=β，P(A3)=γ，则A1,A2,A3至少有一个发生的概率是1-(1-α)(1-β)(1-γ).

(5)．一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，假如随机地无放回地摸3只球，

则摸到的没有一只是白球的大事的概率等于__34

57____。13、在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任取200个，求

(1)恰有90个次品的概率；(2)至少有2个次品的概率.

解:200

1500110

1100

90400)1(CCCP=

??????+-=2000150019911001400202250020221001)2(CCCCCP14、两射手同时射击同一目标，甲击中的概率为0.9，乙击中的概率为0.8，两射手

同时击中的概率为0.72，二人各击中一枪，只要有一人击中即认为“中”的，求“中”的概率.

解:=A“甲中”=B“乙中”

98.072.08.09.0)()()()(=-+=-+=?ABPBPAPBAP

15、8封信随机地投入8个信箱(有的信箱可能没有信)，问每个信箱恰有一封信的概率是多少？解:8

88!)(=

AP

5

16、房间里有4个人，问至少有两个人的生日在同一个月的概率是多少？解：设所求大事=A“至少有两个人的生日在同一个月的”

=A“任何两个人的生日都不在同一个月”

427

.0121)(1)(,12)(4412

4412=-=-==AAPAPAAP

17、将3个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分离为1,2,3的概

率各是多少？

解：3个球放入4个杯子中去共有34种放法，设iB表示杯子中球的最大个数为n的大事),,(321=n,1B表示每只杯子最多只能放一个球，共有34A种办法，故

83

4

3341==ABP)(;2B表示有一只杯子中放2个球，先在3个球中任取2只放入4个

杯子中的随意一只，共有423?C种办法，剩下的一个球可以放入剩下的3只杯子中的任一只，有3种放法，故2B包含的基本领件数为363423=??C，于是

169

43632=

=

)(BP;3B表示有一只杯子中放3个球，共有4种办法，故161

4

43

3==

)(BP.18.设一个质点等可能地落在xoy平面上的三角形域D内

(其中D是x=0，y=0，x+y=2所围成的)，设事件A为：

质点落在直线y=1的下侧，求P(A)。

4

322212121

1

=

??+==)()(DDAP

19、(1)已知504030.)(,.)(,.)(===BAPBPAP，求)|(BABPY

(2)已知2

1

3141===

)|(,)|(,)(BAPABPAP，求)(BAPYy21

o2x

D1

6

解:(1)250.)|(=?BABP

(2)3

1=

?)(BAP

20、一批产品共100个,其中有次品5个，每次从中任取一个，取后不放回,

设iA(i=1，2，3，)表示第i次抽到的是次品，求：

()99412=

AAP，()

999512=AAP，()

99

5

12=AAP()

999412=

AAP，()983213=AAAP，()

98

94

213=AAAP

21、市场上供给的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，

乙厂的合格率是80%。若用大事A、A分离表示甲、乙两厂产品，B表示合格品。试写出有关大事的概率.

(1)=)(AP70%

(2)=)(AP30%(3)=)|(ABP95%

(4)=)|(ABP80%(5)=)|(ABP5%(6)=)|(ABP20%

22、袋中有10个球，9个是白球，1个是红球，10个人依次从袋中各取一球，每人

取一球后，不再放回袋中，问第一人，其次人，……，最后一人取得红球的概率各是多少？解:解：设iA第i个人取得红球的大事),,,(1021Λ=i,

则iA为第i个人取得白球的大事，

明显10

1

)(1=

AP,)(212121212φ==?=AAAAAAAAAΘ10

1

91109)|()()()(121212=?=?==∴AAPAPAAPAP

同理10

1!10!9)()(1092110==

=AAAAPAPΛ23、某种动物由诞生活到20年以上的概率为0.8，活25年以上的概率为0.4，问现年20岁的这种动物活支25岁以上的概率是多少？

解：设A为{由诞生活到20岁}的大事，B为{由诞生活到25岁}的大事

7

则所求大事的概率为)

()

()|(APABPABP=

BABAB=∴?Θ

2

1

8040====

..)()()()()|(APBPAPABPABP

24、十个考签中四个难的，三人参与抽签，(不放回)甲先、乙次、丙最后，记大事A,B,C分离表示甲、乙、丙各抽到难签，求)(),(),(),(ABCPBAPABPAP.

解：15

2

)(,104)(=

=

ABPAP154)(=BAP301)(=ABCP25.设0<P(C)<1，试证：对于两个互不相容的事件A，B，恒有

P{(AYB)∣C}=P{A∣C}+P{B∣C}

证:

()[]

()[]()

CPCBAPCBAPI+=

+

()()CPBCACP+=()()()

CPBCPACP+=()()

CBPCAP+=

26、设大事A与B互斥，且10<<)(BP，证实)

()

()|(BPAPBAP-=

1.

证实：因为φ=AB，故BABBAA=?=)(

)1)(()

(1)

()()()|(≠-=

=

∴BPBPAPBPBAPBAP

27、一批零件为100个，次品率为10%，每次从中任取一个，不再放回，求第三次才能取得正品的概率是多少？

解：设iA为{第i次取到正品}，)3,2,1(=i因为次品率为10%，故100个零件约有90个正品，次品10个，设A为{第三次抽到正品}，即第一次其次次都取得次品，第三次才取得正品，则由普通乘法公式得

)|()|()()()(213121321AAAPAAPAPAAAPAP==0083.098

9099910010=??=

28、设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000个男人和2000个女人中随意抽查一人，求这个人是色盲者的概率。

解:

8

A：“抽到的一人为男人”；

B：“抽到的一人为色盲者”

则()()201

1005,53=

==

ABPAP()

()

400

1

1000025,52=

==ABPAP()()()()()

1000

31

40015220223=

?+?=+=ABPAPABPAPBP

29、设有甲、乙两袋，甲袋装有n只白球，m只红球；乙袋中装有N只白球，M只红

球，今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中随意取一只球，问取到