(专题精选)初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案解析

(专题精选)初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案解析3A．22232【解析】【分析】据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：原式=+1=．22【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一3A．9【解析】3633332【分析】直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用tan三ABC=得出答案．BE【详解】AFC,DC⊥AF,xxECxxtan∠ABC====BE23x+3x339,选:A【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF的长是解题关键．1合，点N不与点C重合)，且MN=BC，MD」BC交AB于点D，NE」BC交2面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是()【解析】【分析】1设a＝BC，∠B＝∠C＝α，求出CN、DM、EN的长度，利用y＝S△BMD−S△CNE，即可求解．【详解】1解：设a＝BC，∠B＝∠C＝α，则MN＝a，2∴CN＝BC−MN−BM＝2a−a−x＝a−x，DM＝BM·tanB＝x·tanα，EN＝CN•tanC＝(a−x)·tanα，1ENna∵为常数，2【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC如图那样折叠，使点A与点B773713【解析】25257解得x=，故CE=8-=，444CE7CB24考点：锐角三角函数.3E，连接AC交DE于点F.若sin三CAB=，DF=5，则AB的长为()5【解析】【分析】【详解】解：连接BD，如图，EF3AF5【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的是直径．也考查了解直角三角形．点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60和30。，则该电线杆PQ的高度()【解析】【分析】【详解】在直角△APE中，∠A=45°，AE=PE=x；333333333在直角△BEQ中，QE=BE=(33+3)=3+3．33答：电线杆PQ的高度是(6+23)米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解答关键是根据题意构造直角三角形解决问题.7．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数y=、y=的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为()xxA．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变【解析】【分析】BEOE1如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到=；设B为(a，)，A为OFAFa (b，2)，得到OE=-a，EB=1，OF=b，AF=2，进而得到a2b2=2，此为解决问题的关bab2键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=为定值，即可解决问题．2【详解】BEO∽△OFA，OFAF2设点B为(a，)，A为(b，)，abab2可代入比例式求得a2b2=2，即a2=，b2b4根据勾股定理可得：OB=OE2+EB2=a2+，OA=OF2+AF2=b2+，a2b2b2+b2+b22a2+2(+b2)2b22=42====∴tan∠OAB==4b24b2+b2+b2+222∴∠OAB∴∠OAB大小是一个定值，因此∠OAB的大小保持不变.该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船【答案】D【解析】【分析】根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答【详解】解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，故AB=2AP=60(海里)，【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．sinsinB=，则线段AC的长是()．432【解析】【分析】14RtACDDAC的长．【详解】14AC1AD444【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的是直径．也考查了解直角三角形．AC=8，∠AOD＝120°，则四边形ABCD的面积为()【解析】【分析】【详解】AOB60°，∠COD=60°，33AMAM=，AMAM=，2BDAM=，423,2BDCN122322SSS=123+123=243四边形ABCD△ABD△BCD【点睛】本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.()【解析】【分析】【详解】==m．【点睛】本题考查解直角三角形的应用(坡度坡角问题),锐角三角函数,特殊角的三角函数值及勾股定理,熟练掌握相关知识点正确计算是本题的解题关键．E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为()1A．2【解析】2232333【分析】继而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．【详解】COEA∠OCA=60°，E0°-90°-60°=30°，1∴sinE=sin30°=.2△AOB为等边三角形，则b的值为()333333332【解析】【分析】bb2b2b根据已知求出B(﹣)，由△AOB为等边三角形，得到＝tan60°×(﹣)，2a4a4a2a【详解】解：抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)过原点O，B(﹣,B(﹣,)，b2b∴＝tan60°×(﹣)，a2a【点睛】本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质；能够将抛物线上点的关系转化为等边三坐标是()2【解析】【分析】【详解】B'MB'M3B'MB'M3B'A'22cos∠B'A'M==cos∠B'A'M===，B'A'22【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助个数是()【解析】【分析】1形，即可判断①；过点O作OH⊥DE，则DH=EH，利用锐角三角函数可得OH=OE和23DE=3OE，然后三角形的面积公式可得S△ODE=OE2，从而得出OE最小时，S△ODE最43小，根据垂线段最短即可求出S△ODE的最小值，然后证出S四边形ODBE=S△OBC=12a2即可判断【详解】∵ABC是等边三角形，点O是ABC的内心，1∴∠OBA=∠OBC=∠ABC=30°，∠OCA=∠OCB=∠ACB=30°22∴∠OBA=∠OCB，∠BOC=180°－∠OBC－∠OCB=120°∴∠FOG－∠BOE=∠BOC－∠BOE在△ODB和△OEC中DE1∴∠ODE=∠OED=(180°－120°)=30°23∴OH=OE·sin∠OED=OE，EH=OE·cos∠OED=OE22131122在Rt△OBE′中133OE′=BE′·tan∠OBE′=a×=a3633∴S△ODE的最小值为OE′2=a244813∴S四边形ODBE=S△ODB＋S△OBE=S△OEC＋S△OBE=S△OBC=2BC·OE′=12a2313∵a2=×a2484121∴S△ODE≤4S四边形ODBEODE的面积最小不会小于四边形ODBE的面积的四分之一，故②正确；3∵S=a2四边形ODBE12∴BDE的周长=DB＋BE＋DE=EC＋BE＋DE=BC＋DE=a＋DE∴DE最小时BDE的周长最小3而OE的最小值为OE′=a631∴DE的最小值为3×a=a621【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键．BP)mmmm米【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答.【详解】mBO=POcot，又AB=m=AO-BO=POcot-POcot=所以答案选A【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角