2023年辽宁省本溪高中、沈阳、营口高中等高考冲刺数学模拟试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知命题"：“关于'的方程f—4x+a=0有实根”，若「，为真命题的充分不必要条件为。＞3加+1,则实数加

的取值范围是（）

A.[1,+co)B.(1,+?)C.(fl)D.S,l]

2.设i为虚数单位，z为复数，若目+,•为实数

m,贝[Jm=()

Z

A.-1B.0C.1D.2

2+3z

3.己知i为虚数单位，则—（)

74.74.47.47.

A.—+—1B.-------1C.—+—zD.-------1

55555555

4.已知函数〃x）=2sin（3x+e）-l（。＞0,0＜。＜乃）的一个零点是函数y=〃x）图象的一条对称轴是

TT

直线X二一一,则当。取得最小值时,函数/（x）的单调递增区间是（

6

5乃271

A.3k兀一(左e2:)B.3k兀一——，3攵万---(ZeZ)

36.36

2乃…兀712兀

C.2k兀一——,2k兀——(左£Z)D.2k九一一,2卜兀一(keZ)

3636_

5.已知抛物线V=4x的焦点为尸，P为抛物线上一点，当A必尸周长最小时，P尸所在直线的斜率为（）

4334

C.

3443

6.已知向量同=1，K〃），若0+则实数m的值为（）

百

2V

7.一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X,则七（X）为（）

971

A.—B.-C.一D.—

88256

8.给出以下四个命题：

①依次首尾相接的四条线段必共面；

②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；

③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；

④垂直于同一直线的两条直线必平行.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

x>-l

9.已知实数X，）'满足约束条件八八，则2x-3），的最小值是

x-2y+2>（）

2x-y-2<0

7

A.-2B.一一C.1D.4

2

10.如图在一个60的二面角的棱有两个点A,8,线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB,

且AB=AC=2,BO=4,则的长为（）

A.4B.2亚C.2D.2G

11.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角

形A8C的斜边BC,直角边AS,AC.已知以直角边AC,A8为直径的半圆的面积之比为上，记N/山C=a,贝！j

sin2。=()

12.已知等差数列｛/｝中，若3%=2%,则此数列中一定为。的是（)

A.a,B.%C.1D.al0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和球半径均为2,则该圆柱的底面半径为.

81,

14.已知x,j>0,且=+―=1,则x+y的最小值为___.

xy

15.在面积为如的AABC中，ABAC=2>j3,若点M是AB的中点，点N满足丽=2祝，则用『00的最

2

大值是.

2x-y>0

16.已知不等式组卜-2yW0所表示的平面区域为。，则区域。的外接圆的面积为.

x<2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

11

17.(12分)已知函数/(X)=-^x~-ax-lnx.

(1)若〃=2时，求函数/(x)的单调区间；

3「1

(2)设g(x)=/(x)+-x92+l,若函数g(x)在一，e上有两个零点，求实数a的取值范围.

2\_e_

18.(12分)已知函数/(x)=；|x-a|(aeR).

(1)当a=2时，解不等式x-；+/(x)21；

(2)设不等式x-g+/(x)Kx的解集为加，若三求实数a的取值范围.

19.(12分)已知函数/(幻=%2-2xlnx,函数g(x)="+3一(lnx『，其中aeR,%是g(x)的一个极值点，且

X

g(』)=2.

(1)讨论/(x)的单调性

(2)求实数。和a的值

(3)证明£-/1>：ln(2〃+l)(neN)

k=\\j4k~-12

20.(12分)如图，在正四棱锥P-ABCD中，底面正方形的对角线4。,8。交于点。且。尸=!48.

2

(1)求直线阶与平面PC。所成角的正弦值;

(2)求锐二面角8-尸£>一。的大小.

21.(12分)已知函数/(x)=lnx.

(1)设g(x)=/半，求函数g(x)的单调区间，并证明函数g(x)有唯一零点.

X

(2)若函数—一次…在区间。』+力上不单调，证明：二百〉a.

22.(10分)如图所示，四棱柱ABC。-A与G。中，底面ABCO为梯形，AD//BC,NADC=90。，

AB=BC=BB『2,AD=1,CD=6NAB与=60。.

(1)求证：AB1B,C；

(2)若平面A8CO_L平面ABgA，求二面角。—BC—8的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

命题p：a<4,f为a>4,又iP为真命题的充分不必要条件为a>3m+1,故3加+1>4=机>1

2.B

【解析】

可设z=a+勿将且+，化简，得至产+人叫’由复数为实数，可得户下_8=0,解方程即

zy/a2+b2

可求解

【详解】

设2=。+勿,（0,06/?）,则目+j=杼+6+i=J"+/（；_〃）+.="+（'：+'一郎.

222

za+bia+b^a+

由题意有6+从一"=0=4=（）,所以加=0.

故选：B

【点睛】

本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题

3.A

【解析】

根据复数乘除运算法则，即可求解.

【详解】

2+3/2+3/（2+3z）（2-z）74.

----=---=-------=-1-I

（l-2/）z2+i（2+z）（2-z）55"

故选：A.

【点睛】

本题考查复数代数运算，属于基础题题.

4.B

【解析】

根据函数“力的一个零点是x=£,得出/"g]=0,再根据龙=-f是对称轴，得出一乡3-°=£+而，k&Z,

3）662

求出W的最小值与对应的。，写出了（X）即可求出其单调增区间.

【详解】

依题意得，f[]=2sin§+夕-1=0,即sin?+夕=；,

\37V3Jv3）2

mo_,九jn35〃_...7、小

解得---卜（p=2k\兀〜—或----卜cp=2k?兀〜----（其z中勺，&£Z）.①

3636

兀a)),,

又sin-+(P=±1，

6;

777/）7T

即一詈+0=&乃+］（其中&eZ）.②

由①一②得詈=（2匕一3万一（或詈=（2&—&）%+5，

222

即幻=2（2匕一3-§或0=2（2&2-匕）+5（其中占，氏2，&£Z）,因此切的最小值为

因为sin--+=sin-+(p\=±\,所以一工+/=工+44(左eZ).

k06J\9J9292

27C71271

又0＜。＜乃，所以0=3+2,所以/(x)=2sin-x+—+—|-1=2cos-x+--1

32939J

2n5兀7T

令2左万一万<—x+—K2A%(A:GZ),则3ATT---<x<3k7r---(Z:GZ).

3936

57r7i

因此，当0取得最小值时，/(X)的单调递增区间是3k7i--,3k7i--(ZwZ).

故选：B

【点睛】

此题考查三角函数的对称轴和对称点，在对称轴处取得最值，对称点处函数值为零，属于较易题目.

5.A

【解析】

本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上，计算点P的坐标，计算斜率，即可.

【详解】

结合题意，绘制图像

要计算三角形PAF周长最小值，即计算PA+PF最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN,所以

；,1），所以斜

PF+PA=PA+PNNANNAG,故当点P运动到M点处，三角形周长最小，故此时M的坐标为

k,—_1_-__0—4

率为13,故选A.

4

【点睛】

本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等.

6.D

【解析】

由两向量垂直可得（£+可«£-6）=0,整理后可知同2-忸（=0,将已知条件代入后即可求出实数的值.

【详解】

解：•.•（£+=即，『一件=0,

将忖=1和恸2=（〈）+加2代入，得出m2=5，所以加=士亭.

故选:D.

【点睛】

本题考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算.对于向量问题，若已知垂直，通常可得到两个向量的数量积为0,

继而结合条件进行化简、整理.

7.A

【解析】

由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3,计算出随机变量X在不同取值下的概率，进而可求得随机变

量X的数学期望值.

【详解】

由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3,

贝"3=。）=曰=堞，尸（X=D=警=卷，P"=2）=等=||，P（X=3）=|=±.

Cg2）03052）0

因此，随机变量X的数学期望为E（x）=Ox%lx型+2x工+3」，.

565656568

故选：A.

【点睛】

本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.

8.B

【解析】

用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对

④进行判断.

【详解】

①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.

②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确.

③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么

这两个角相等或互补，故③错误.

④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误.

故选：B

【点睛】

本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能

力，考查数形结合思想，化归与转化思想.

9.B

【解析】

作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，

2171

设z=2x-3y,则丁=—x-一z,易知当直线y=—x——z经过点。时，z取得最小值，

33'33

fx=-lx--\।j7

由丫八一。C'解得1'所以。(-1，3)，所以ZmM=2x(T)-3xw=-3'故选B.

[x-2y+2=Uy=~222

10.A

【解析】

由丽=D5+而+丽，两边平方后展开整理，即可求得前。则。。的长可求.

【详解】

解：CD=CA+AB+BD，

■■CD=CA+AB+BD+2CA.AB+2CA»BD+2AB.BD，

••CArAB,BD1AB>

CA.AB=O,BD.AB=O,

C4.B£j=|C4||BZ5|cosl20o=--x2x4=-4.

2

CD=4+4+16-2x4=16，

:.\CD|=4,

故选：A.

【点睛】

本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能

力与计算能力，属于中档题.

11.D

【解析】

Ar1

由半圆面积之比，可求出两个直角边AB,AC的长度之比，从而可知tana=一±=3；,结合同角三角函数的基本关

AB2

系，即可求出sina,cosa,由二倍角公式即可求出sin2a.

【详解】

解：由题意知aw0,彳，以43为直径的半圆面积5=上万—

I2；12{2}

1（公C11

以AC为直径的半圆面积S2二上万丝，则常===7，即tana=W=7・

22I2J百AB~4AB2

.75

sin2a+cos2a=1sina=——

5所以sin2a=2sinacosa=2xx2近=—

由，sina1得

tana---------=—275555

cosa2cosa=------

5

故选:D.

【点睛】

本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.

12.A

【解析】

将已知条件转化为4,d的形式，由此确定数列为0的项.

【详解】

由于等差数列｛4｝中3%=2%，所以3（q+4d）=2（q+6d）,化简得q=0,所以％为0.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.垂）

【解析】

由圆柱外接球的性质，即可求得结果.

【详解】

解：由于圆柱的高和球半径均为2,,则球心到圆柱底面的距离为1,

设圆柱底面半径为广，由已知有产+F=22，

r=A/3»

即圆柱的底面半径为

故答案为：瓜

【点睛】

本题考查由圆柱的外接球的性质求圆柱底面半径，属于基础题.

14.1

【解析】

818x

处理变形x+y=x（—+-）+y=—+—+V结合均值不等式求解最值.

xyxy

【详解】

81।

x,j>0,且一■+—=1,

xy

।818x/o

则x+y=x（—+-）+y=—+—+yN3oV38=1,

xyxy

8x

当且仅当一二—=y时取等号，此时x=4,y=2,取得最小值L

xy

故答案为：i

【点睛】

此题考查利用均值不等式求解最值，关键在于熟练掌握均值不等式的适用条件，注意考虑等号成立的条件.

15.述

3

【解析】

由任意三角形面积公式与通.*=26构建关系表示H切IACI，再由已知与平面向量的线性运算、平面向量数量积

的运算转化丽.西，最后由重要不等式求得最值.

【详解】

由』ABC的面积为立得'|AB|[AC|sinNBAC=46,

222

所以|48||AC|sinN氏4C=J^,①

又通.*=26,即HWnCIcosNR4c=26,②

由①与②的平方和得：依8|依。=3五，

又点M是A8的中点，点N满足丽=2配,

所以丽.西=(fiA+A/V)-(CA+AM)=f-AB+|

=iABAC--A^--AB

332

=迪二科」启《还一2*/2,宿=迪一2太,

3323V323

当且仅当g恁2=g福2nl福卜半||时，取等号,

即丽.雨的最大值是为空-26

故答案为：更-26

3

【点睛】

本题考查平面向量中由线性运算表示未知向量，进而由重要不等式求最值，属于中档题.

16.%

4

【解析】

先作可行域，根据解三角形得外接圆半径，最后根据圆面积公式得结果.

【详解】

由题意作出区域。，如图中阴影部分所示，

533

易知tan/MON=——%故sin/MON=又MN=3,设AOMN的外接圆的半径为R,则由正弦定理

1+2x145

2

MN5MV25

得=2R，即R=W，故所求外接圆的面积为乃X三=J.

sm/MON2⑵4

【点睛】

线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何

意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离、可行域面积、可行域外接圆等等，

最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)单调递减区间为(0,V2+D.单调递增区间为(、叵+1，+oo)(2)(3,2e]

【解析】

(1)当。=2时，求出了‘(X),求解/'(x)>0,/(x)<0,即可得出结论；

3,,1Inx1

（2）函数8（%）=/（犬）+5*2+1=2x2一改+1-Inx在上有两个零点等价于。=2x+------在一,e上有两

xxe

1/nrI

解，构造函数/7(X)=2X+------,XG—,e,利用导数，可分析求得实数a的取值范围.

xx\_e

【详解】

1,

(1)当a=2时，/(%)=5%2-21一111%定义域为(0,+8),

则尸(x)=x—2—」=『二2七I令((x)=0,

XX

解得x=0+L或x=-J^+l(舍去)，

所以当xe(0,后+1)时，f\x)<0,/(x)单调递减；

当(夜+1,+8)时，f(x)>0,/(x)单调递增；

故函数的单调递减区间为(0,V2+1),单调递增区间为(x/2+l,+oo),

(2)设g(x)=/(犬)+。k2+1=2/一双+l-]nx,

函数g(x)在-,e上有两个零点等价于。=2*+,一也在-,e上有两解

_eJxx\_e_

A”、,1Inx「11、2x2-2+Inx

令/Z(X)=2XH----------9工£一,e9贝!]〃(x)=------z-----,

xx\_eJx

A2「1-

令心)=2/—2+lnx,XG_,e,

_e

显然，«x)在区间-,e上单调递增，又《1)=0,

_e

所以当xefJ时，有f(x)<0,即〃'(x)<0,

当xe(l,e]时，有心)>0,BPh\x)>0,

所以〃(x)在区间jl]上单调递减，在区间(1,4上单调递增，

.•.X=l时，/z(x)取得极小值，也是最小值，

12

即"(x)min=以1)=3,A(-)=2e+—,h(e)=2e,

ee

由方程a=2x+'—”在-,e上有两解及〃(3>〃(e),

xxee

可得实数a的取值范围是(3,2e].

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化思想以及数形结合思想，考查逻辑推理、数学计算能力,

属于中档题.

「14*

18.(1){x|x<0或x，1}；(2)—

【解析】

(1)使用零点分段法，讨论分段的取值范围，然后取它们的并集，可得结果.

(2)利用等价转化的思想，可得不等式|3x-l|+|x-在I，1恒成立，然后解出解集，根据集合间的包含关

系，可得结果.

【详解】

(1)当。=2时，

原不等式可化为|3X-1|+|X-2|23.

①当时，

则一3x+l+2—xN3=x<0,所以xKO；

②当1cx<2时，

3

则3%—1—2+xN3=xNl,所以lWx<2；

⑧当xN2时，

_3

则3x—1—2+x23nx之一，所以1之2.

2

综上所述：

当。=2时，不等式的解集为{x|x<0或x21}.

(2)由|x-g|+/(x)Wx,

则13x-l|+|x-a\<3x,

由题可知：

|3x-+。区3x在—恒成立，

所以3%—1+|x—4区3%,即|x-a|Kl,

即a-}<x<a+l,

।1

a-\<—i.

〜314

所以<=>——<a<-

…123

a+\>—

[2

14

故所求实数”的取值范围是一万,§

【点睛】

本题考查零点分段求解含绝对值不等式，熟练使用分类讨论的方法，以及知识的交叉应用，同时掌握等价转化的思想,

属中档题.

19.(1)“X)在区间((),+e)单调递增；⑵(3)证明见解析.

【解析】

(1)求出尸(力,在定义域内，再次求导，可得在区间(0,+。)±/'(%)>0恒成立，从而可得结论；⑵由g'(X)=0,

可得X；-2xolnXo-a=O,由g(/)=2可得片—/(inx。)？一2x()+a=0,联立解方程组可得结果；(3)由(1)知

一(力二％2-2xlnx在区间(0,+力)单调递增，可证明4一十>lnx,取1=2k+1,*_.

—~；,kwN,可得

2k

12k+12k-1..,...,..

./--------[:>ln(2Zs+1)-ln(2k-1)>,利用裂项相消法，结合放缩法可得

\2k-l\2左+1

结果.

【详解】

(1)由已知可得函数/(x)的定义域为(0,+"),且/'(x)=2x-21nx-2,

令〃(x)=/'〈x),则有/z'(x)=2("1),由〃'(x)=0,可得x=l,

可知当x变化时，〃(x),〃(x)的变化情况如下表:

X(0,1)1(1，+8)

〃’(x)-0+

〃(x)极小值/

.-./z(x)>/z(l)=o,即/(X)i(),可得/(x)在区间(0,+8)单调递增；

(2)由已知可得函数g(x)的定义域为(0,+力)，且g'(x)=l—£-平，

由已知得g'(x)=0,即焉一2x()lnXo-a=O,①

由g(%))=2可得,XQ—(inx0)—2/+。=0,②

联立①②，消去。，可得2%一(111%)2-2111%-2=0,③

A/、-八、,…-e-21nx22(x—lnx-1)

令，(x)=2x-(lnx)~-21nx-2,贝!J[(x)=2-------------=-----------------,

XXX

由(1)知，x-lnx-l>0,故f'(x"O,."(%)在区间(0,+8)单调递增,

注意到［1)=0,所以方程③有唯一解毛=1,代入①，可得a=l,

・・JQj=1,6Z--1•

(3)证明：由⑴知/(力=%2-2xlnx在区间(0,+8)单调递增，

故当xw(l,4w)时，/(x)>/(l)=l,g'⑶=3二2*]曰=>0，

XX

可得g(x)在区间(1,”)单调递增，

因此，当X>1时，g(x)>g(l)=2,即x+g—(lnx)2>2,亦即—白>(lnx)2,

这时—>0,Inx>0,故可得—方>lnx,取x="±^,/cwN*,

JxJx2k-\

k=l一1M

•••X/\>7ln(2x+1)(〃eN*).

XJ4k2-12

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用

导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性,

求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并

运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.

20.(1)逅；(2)60°.

3

【解析】

(1)以OE,OF,。尸分别为X轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系，设底面正方形边长为2,再求解丽与平面PC。的法

向量,继而求得直线肝与平面PCD所成角的正弦值即可.

(2)分别求解平面BPD与平面PDC的法向量，再求二面角的余弦值判断二面角大小即可.

【详解】

解：(1)在正四棱锥P-ABCD中,底面正方形的对角线AC,BD交于点0,

所以OP_L平面ABCD,取AB的中点E,BC的中点F,

所以。P,OE,。尸两两垂直，故以点。为坐标原点，

以。瓦OF,0P分别为K轴,轴,z轴，建立空间直角坐标系.

设底面正方形边长为2,

因为民

所以OP=L

所以3(1,1,O),C(-1,1,O),0(-1,-1,0),尸(0,0,1),

所以丽=(-1,-1,1),

设平面PCO的法向量是〃=(x,y,z),

因为丽=(0,-2,0),而

所以CDn=-2y=0,CP«=x-y+z=0,

取x=l,贝iJ,y=0,z=-1,

所以3=(1,0,—1)

BPH瓜

所以…牝心-丽=彳'

所以直线BP与平面PC。所成角的正弦值为逅.

(2)设平面3PD的法向量是〃=(x,y,z),

因为丽=(-1,-1,1),而=(2-2,1),

所以8P♦n=-x-y+z=0,BD-n=~2x-2y=0,

取x=l,则y=T,z=O,

所以3=(1,—1,0),

由(1)知平面PC。的法向量是3=(1,0,—l),

7---、m-n1

所以。。5<机,〃>=同同=耳

所以V〃2,n>=60°,

所以锐二面角B-PD-。的大小为60°.

【点睛】

本题主要考查了建立平面直角坐标系求解线面夹角以及二面角的问题，属于中档题.

21.(1)xw仅，五)为增区间；xw(&,+℃)为减区间.见解析(2)见解析

【解析】

(1)先求得g(x)的定义域，然后利用导数求得g(x)的单调区间，结合零点存在性定理判断出g(x)有唯一零点.

(2)求得〃(x)的导函数"(x),结合〃(x)在区间(1,1+e-")上不单调，证得1-}-e~a—\na>a9通过证明

—+—^―>l+e-°-Ina,证得—〉a成立.

aa+\aa+\

【详解】

(1)•••函数g(x)的定义域为(。,+8),由8'(幻=匕詈>0,解得为增区间；

由g'(x)=匕|”<。解得x€(",+8)为减区间.

下面证明函数只有一个零点：

Vgg)=-/<0,g(G)g>0,所以函数在区间(0,五)内有零点，

；xf+oo,g(x)f0,函数在区间(右,+8)上没有零点，

故函数只有一个零点.

(2)证明：函数人(x)=>-qf(x-l)=e*-aln(x-l),则

x—1x—1

当时，〃'(x)>0,不符合题意;

当。>()时，令加(％)=ex(x-l)-a,x>l,

则加'(x)=xe">0,所以加(x)在(l,+o。)上单调增函数，而〃，(1)<0,

又区间(1,1+巧上不单调，所以存在+使得Mx)在(1,1+刃上有一个零点/,即〃'伍)=0,

所以加(%)=