2量子力学的矩阵表示

,word,,完美整理版§4.2量子力学的矩阵表示一、态的表示二、算符的表示三、量子力学公式的矩阵表示三、量子力学公式的矩阵表示用力学量完全集｛A,友A｝的正交、归一和完备的本征态矢量的集合｛a,b,A\｝作基底的表象，称为{A,B,A}表象。为书写简便，用F代表｛A,B,A｝，用上\,代表a,b4），用i代表本征值谱｛a,bA｝.把｛A,B,A｝表象简称为F表象。以分立谱为例本征方程:Fn\本征方程:Fn\=入，专业资料参考分享,,卬0£，，，完美整理版基底：｛心;n1,2,3,)正交归一化：/mn.\ /m,n封闭关系： |nyn|In一、态的表示态yEF表象上的表示为一个列矩阵C1〈1〉VC2 (2)矩阵元Cn即)代表态I)在基底,上的投影，或称为展开系数。它可在坐标表象上计算CnelI(nx)dx(x)*(x)(x)dxn态)和)的内积可以通过列矩阵相乘得到/I\①乎其中，专业资料参考分享

,word,,完美整理版M已乎）,"〈弋）这是因为Zn；2,word,,完美整理版M已乎）,"〈弋）这是因为ZnM=①+7M若6照=0，则称态T和①正交。而Y+W=1则是指态,是归一化的。基底卜）在自身表象上的表示为，专业资料参考分享

,word,word,,完美整理版0M1-第m行M.0基底的正交归一化写成①+①=6mnmn态向基底的展开写成孑=z孑=zc①nn展开系数C=①+W.

nn对于连续谱情况本征方程：F|X\=X|X\基底： {「1}正交归格化：.g=6Q-纭）封闭关系：+『|%d九/=I一8态下）在F表象上的表示矩阵成为本征值入的函数，专业资料参考分享

,word,word,,完美整理版乎。）=咨|乎乎）和①）的内积为（①乎广+/①*。）乎。）dk一8因为,十（①乎广〈①广广心冰入,十（①乎广〈①广广心冰入］产=+广〈①九〉d卜｛甲）-8=+:6（a）乎（aWX-8归一化条件为（乎乎广+广平*（X）乎（X）dX=1.' -8而基底X、在自身表象上表示为入X'\=3(X-X').算符的表示1.算符用矩阵表示算符是通过对态的作用定义的。因为态用列矩阵表示，所以算符应该用矩阵表示。，专业资料参考分享

,word,word,,完美整理版ml2n滑h)广m①)E,肖n）（n|甲广,①）L11L21ML11L21ML12L22MA]A（悄

笛〉M矩阵l是算符LL在F表象上的表示TOC\o"1-5"\h\z4 L12 A.L=L L A\o"CurrentDocument"21 22\o"CurrentDocument"M M矩阵元为Lmn可以在坐标表象上计算。下面会看到，在坐标表象上矩阵元L矩阵元Lmn的计算公式为+8 。、一L=『中*(x)L(x「in~)中(x)dx

mnm Oxn—8式中甲(x)=/x，专业资料参考分享

,word,word,,完美整理版【例】用包括Hamilton量在内的力学量完全集的共同本征态的集合作基底的表象，称为能量表象。在一维谐振子的能量表象上，计算坐标，动量谐振子的能量表象上，计算坐标，动量p和H本身的表示矩阵。H=固+1m①2x22m2a=m-.利用矩阵元公式:512m:512m,nT:5i2m,nT得坐标x，动量p和H的表示矩阵，专业资料参考分享,word,,完美整理版TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"0 1M 0 AXJ1/避0产Aa 0 严 0 AA A A AAAAA0AAAA一中0A0 0 A320A052AAAA.在自身表象上力学量算符的表示丸nnFmnFn丸nnFmnFn=X~X~X1F=0M0A]XA2

M，专业资料参考分享,word,,完美整理版在自身表象上力学量算符的表示是一个对角矩阵，而对角元素就是这个力学量的本征值。因此，求解力学量的本征值问题，可以通过选择合适的基底，使这一力学量算符的表示矩阵成为对角矩阵。对角元素就是待求的本征值，而所用的基底就是待求的本征态。.Hermite共轭矩阵和Hermite矩阵Hermite共轭矩阵矩阵A的Hermite共轭矩阵a+定义为：将A转置且矩阵元取复共轭(A+)=(A)*.

mnnm例如a11a21a11a21a12a22」*11*12*2122若算符A的表示矩阵为a,则Hermite共轭算符AA+的表示矩阵必为a的Hermite共轭矩阵a+证明：(A)mn，专业资料参考分享

,word,,完美整理版(A+)-,word,,完美整理版一人 人即A3A，A+ca+.-nAm^ -,.-m|A+|n(2-nAm^ -,.-m|A+|n若A-A+，则称A为Hermite矩阵。若A为Hermite矩阵，则Amn=(A+>mn="mA-(A)*(对角元)nnnnHermite矩阵的非对角元是关于主对角线复共轭反射对称的，对角元为实数。例如，2X2的Hermite矩阵一定取下面形式其中a和办为实数。Hermite算符的表示矩阵必为Hermite矩阵。.算符在坐标和动量表象上的表示(1)在坐标表象上的表示，专业资料参考分享

,word,word,,完美整理版，人nxxx'p(x,p)x==F(x,-iin1)6(x-x例如Hamilton量表示为rnid2 ,12m『+V(x)5ay)注意，式中的5函数代表“矩阵”是对角的，只在积分运算中起作用。上述动量的表示可作如下理解、寸(x]pdpp庐Jp；dp[p'|x”:=U①p(x')dppppddp@p,(x'')=U①(x')dpp5(p-p)dp'①*,(x'')p p=J①(x')dpp①*(x")p p=1Jdpp』(x'-x")p力n，专业资料参考分享

,word,word,,完美整理版将上式中的被积函数“Aa'r")P写成pe:3r")P=—i4eA(j")。

国则原式为_和二上JdPe^^i(x，"x")p

策力nI(a、=一J3(x，一x")l 至J产‘户/"广卜n：)为什么被积函数不写成peA(x'r")p=inAeA(x'r")p的形式呢？这完全是为了符合基本假定p=-inj_.x诉为导出算符F(x,P)在坐标表象上的表示，首先把xF(x,P)按x和P作展开。如果二元函数F(x,y)在(0,0)xx附近可作展开，专业资料参考分享

,word,word,,完美整理版1adIF(x，y)=F(0，0)+1:Ix茹*y药IF(0，0)F(0,0)+A则算符F(x,p)可展开为

x1F(1F(x,px)=F(0,0)+1：a人a

xax+Pxay_F(0,0)1a人a2+；x酝+pxaF(0，0)+A然后计算矩阵元，即可得到产’f(x,px)|x"广f(x'm.*(x'-x").【例】证明坐标表象上矩阵元L=mLn的计算公mn\ /式为+m aL=「6(x)Lx「in)邛(x)dx

mnm axn-8其中中(x)=(xn)・证明：，专业资料参考分享,,卬0£，，，完美整理版LLmnx\dx/xLx\dx\dx/xLx\dx*(x)dxL(x,i—)(xm xx)dx(x)n*(x)L(x,i*(x)L(x,im) (x)dxxn【例】证明【例】证明证明:(x)—证明:(x)—*(x)xxpx)dxi(x-x)dxpx)dxi(x-x)dx(x▼)要证明的第二式是第一式的复数共轭。(2)动量表象，专业资料参考分享,word,word,,完美整理版5(p'—p")t2 '殳/ ，n\ppp=p5(p-p)p'|F(x,p)p\=F(in。,p)5(p-p)例如在动量表象上Hamilton量表示为n2 n2 O(叩Ip)=12m+V(i烽,(p-pn)・【例】一维谐振子能量本征方程的动量表象形式为p2i a2p-1m①2n212m2 协证明：HW\=e*\T(p阚p，)dp'(p'F)=tpE+产E?乎)-8其中a)5a)5(p-p')代入后积分，即证。，专业资料参考分享

,word,word,,完美整理版【例】设质量为m的粒子处于势场V(x)=-Kx中，K为非零常数。求与能量E对应的本征波函数。解.显然无束缚态解。本征方程坐标表象形式为(一平(一平d2一、2mdx2乎E(x尸E乎e(x)而动量表象形式为P2

2P2

2mIdp))①(p)=E①(p)E E比坐标表象形式容易求解。dE(P)=iE_p①(p)

dp KnI2m)E—①e(p尸焉VKn[E考1p通过Fourie变换可得本征态的坐标表象表示Tp(x)=1T%(p)eji.p,xE户一8E ^n)【思考】证明p?'x|^=i哈(p］乎广的：乎(p')，专业资料参考分享

,word,word,,完美整理版(乎|平广i哈(乎口广T嚓乎*(p')三、量子力学公式的矩阵表示下面列出量子力学重要公式在F表象上的矩阵形式。.薛定谔方程的矩阵形式in?Y(t)=H虫t)班其中[C1(t)1[C1(t)1*(t)=C()rh11H21MH12H22MA]AHmn证明:i证明:in?*

否*(*(t)=EmH嗓m('曰HmnC(t)

nHHHHHmn,,,专业资料参考分享,word,word,,完美整理版.力学量平均值公式的矩阵形式=1C*,c*=1C*,c*aL11L21ML12L22A]AR1

C

2M，Lmn0Ln证明：l=y|L门蓝平1mms限mn=X2C*LCmmnnmn=W+lw【例】在自身表象上，写出力学量,在态乎上的平均值。解. F=T+FW%10M%10M0入2MA]AMC1C2M=平巴2九n

n，专业资料参考分享

,word,word,,完美整理版.本征方程的矩阵形式L①=l①LiiLLiiL21MLiiL有非零解的条件称为“久期方程”L有非零解的条件称为“久期方程”L-111L21

ML12 aL22T A=02M M这是一个N次幂代数方程,这是一个N次幂代数方程,解久期方程可得N个实根,N为表象空间的维数。求构成本征值谱l,;i=1AA,N把i.代回本征方程可得相应本征态i，专业资料参考分享

,word,word,,完美整理版若有重根，则出现简并。【例】已知在正交归一化基底｛u“u2),%户所张开的三维空间中，体系能量算符H的表示矩阵为2妙0 0H=0 0⑩0