2021年上海市世界中学高三数学文期末试卷含解析

2021年上海市世界中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，下面四个结论中正确的是(

▲

)A．函数的最小正周期为

B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象是由的图象向左平移个单位得到D．函数是奇函数参考答案：D2.若l，m，n是不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题正确的是（）A．α∥β，l?α，n?β?l∥n?????? B．l⊥n，m⊥n?l∥mC．l⊥α，l∥β?α⊥β D．α⊥β，l?α?l⊥β参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】运用面面平行、线面垂直的判定定理和性质定理对选项逐个分析判断．【解答】解：对于A，α∥β，l?α，n?β?l∥n或者异面；故A错误；对于B，l⊥n，m⊥n?l与m相交、平行或者异面；故B错误；对于C，由l∥β得到过直线l的平面与平面β交于直线a，则l∥a，由l⊥α，所以a⊥α，?α⊥β；故C正确；对于D，α⊥β，l?α?l⊥β或者l∥β或者斜交；故D错误；故选：C．【点评】本题考查了面面平行、线面垂直的判定定理和性质定理；熟练运用定理逐个分析判断．3.集合，，则A．

B．

C．

D．参考答案：A4.给出下列四个命题:①“若为的极值点，则”的逆命题为真命题;

②“平面向量的夹角是钝角”的充分不必要条件是③若命题，则④命题“x∈R,使得x2+x+1＜0”的否定是:“x∈R均有x2+x+1≥0”.其中不正确的个数是A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：C5.已知两点，向量，若，则实数的值为

A.-2

B．-l

C．1

D.2参考答案：B略6.函数是定义在上的单调函数，且对任意的都有，若数列的前项和为，且满足，则=

A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A． B．y=sin22x﹣cos22xC．y=sin2x+cos2x D．y=sin2xcos2x参考答案：B【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简函数的解析式，再利用三角函数的奇偶性、周期性，得出结论．【解答】解：∵cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，故排除A；∵y=sin22x﹣cos22x=﹣cos4x，是偶函数，且，故B满足条件；∵y=sin2x+cos2x=sin（2x+）是非奇非偶函数，故排除C；∵y=sin2xcos2x=sin4x是奇函数，故排除D，故选：B．8.（5分）已知函数f（x）=和函数，若存在x1，x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，2]C．（0，2]D．[2，+∞）参考答案：B【考点】：分段函数的应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：分别确定f（x），g（x）的范围，利用存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，建立不等式组，即可求得实数a的取值范围．解：当x∈[0，]时，f（x）=﹣x∈[0，]，当x∈（，1]时，f（x）=3x2﹣3x+1=3（x﹣）2+∈（，1]，则当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[0，1]；又当x∈[0，1]时，≤x+≤，有0≤cos（x+）≤，因a＞0，有1﹣a≤g（x）≤1﹣，若存在x1，x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2），则有．解得，即为1≤a≤2．故选B．【点评】：本题考查函数最值的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定f（x），g（x）的范围是关键．9.设向量，若，则等于A. B. C. D.3参考答案：B10.已知函数的图象如图所示，若将函数的图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数可以为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若关于的不等式的解集为则实数的取值范围是参考答案：方法（1）：代数法，分类与整合若原不等式变化为恒成立，此时的若原不等式变化为恒成立，因为所以;若原不等式变化为恒成立，因为,所以综上所述，方法（2）：数形结合作出函数和函数的图像，由图可知，只需直线的斜率满足即可.12.不等式的解集为__________参考答案：13.如图，圆内的正弦曲线

与轴围成的区域记为(图中阴影部分)，随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率是

．参考答案：阴影部分的面积为，圆的面积为，所以点落在区域内的概率是。14.展开式中常数项为

参考答案：展开式的通项为，由，得，所以常数项为。15.等比数列{an}的各项均为正数，且a4=a2?a5，3a5+2a4=1，则Tn=a1a2…an的最大值为．参考答案：27【考点】等比数列的通项公式．【分析】由a4=a2?a5，得即a4=q，再结合已知条件求出等比数列的通项公式，进一步求出Tn=a1a2…an的最大值即可．【解答】解：由a4=a2?a5，得即a4=q．∴3即a4=q=．∴．则Tn=a1a2…an的最大值为：．故答案为：27．16.已知14C的半衰期为5730年（是指经过5730年后,14C的残余量占原始量的一半）.设14C的原始量为a,经过x年后的残余量为b,残余量b与原始量a的关系如下:,其中x表示经过的时间,k为一个常数.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今________年.（已知）参考答案：2193由题意可知，当时，，解得.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时的残余量约占原始量的.所以，得,.17.某中学的一个研究性学习小组共有10名同学，其中男生x名（3≤x≤9），现在从中选出3人参加一次调查活动，若至少有1名女生去参加的概率为p，则p的最大值为_______．参考答案：由题意，，要使p最大，只要最小，则x要最小，即x=3．

∴此时p=．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题共14分）如图，三棱柱中，⊥平面，，，，为的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得⊥平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．参考答案：【知识点】立体几何综合【试题解析】（Ⅰ）证明：连接，与相交于，连接．

∵是矩形，∴是的中点．

又是的中点，∴∥．

∵平面，平面，

∴∥平面．

（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则，

，，，，

设是平面的一个法向量，

则即

令，则，

易知是平面的一个法向量，

∴，

由题意知二面角为锐角，

∴二面角的余弦值为．

（Ⅲ）假设侧棱上存在一点

()，使得平面．

则，即∴．

∴方程组无解．∴假设不成立．

∴侧棱上不存在点，使⊥平面．19.已知函数的最小值为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设实数满足，证明：.参考答案：（Ⅰ）∵∴在上单调递增，在上单调递减∴的最小值为.................................................5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∵∴∴.............................................................10分20.（本小题13分）已知函数对任意满足，，若当时，（且），且．（1）求实数的值；（2）求函数的值域．参考答案：（1）由题知，是奇函数且周期为2，所以即又；（2）当时，由为奇函数知当时，当时，

．21.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．（3）求AF与平面BFC所成角的正弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）要证AC⊥平面BDEF，只要证AC垂直于平面BDEF内的两条相交直线即可，设AC与BD相交于点O，连结FO，由已知FA=FC可得AC⊥FO，再由ABCD为菱形得到AC⊥BD，则由线面垂直的判定定理得到答案；（2）由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出二面角A﹣FC﹣B的两个面的法向量，由法向量所成角的余弦值求得答案；（3）求出向量的坐标，直接用向量与平面BFC的法向量所成角的余弦值求得AF与平面BFC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点．又FA=FC，所以AC⊥FO．

因为FO∩BD=O，所以AC⊥平面BDEF．

（2）解：因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形．因为O为BD中点，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，所以OB=1，．所以．所以，．设平面BFC的法向量为，则有，所以，取x=1，得．由图可知平面AFC的法向量为．由二面角A﹣FC﹣B是锐角，得=．所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值为；（3