四川省成都市重点中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题（理）及参考答案

成都市重点中学2022－2023学年度下期高二年级第一次月考数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.复数（i是虚数单位）的在复平面上对应的点位于第___象限（）A.一 B.二 C.三 D．四2.下列导数运算正确的是（）A. B. C. D.3.某市的A，B，C三个学校共有学生3000名，且这三个学校学生人数之比为3：3：4，如果用分层抽样的方法从所有学生中抽取1个容量为200的样本，那么学校C应抽取的学生数为（）A.80 B.70 C.60 D.304.如图，直三棱柱中，若，则等于（）A. B. C. D.5.曲线在点（－1，a）处的切线方程为（）A. B.C. D.6.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中华传统文化中的太极衍生原理．如图是求“大衍数列”前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入m＝4，则输出的S＝（）A.6 B.14 C.26 D．448.用数学归纳法证明“对任意的，都有”，第一步应该验证的等式是（）A. B.C. D.9.已知函数在处取得极大值，则a的值为（）A.－1或－2 B.1或2 C.1 D.210.如果函数的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数在区间（－3，－）内单调递增；②函数在区间（－，3）内单调递减；③函数在区间（4，5）内单调递增；④当时，函数有极小值；⑤当时，函数有极大值．则上述判断中正确的是（）A.①② B.②③ C．③④⑤ D.③11.若函数在上单调递减，则k的取值范围为（）A.，＋∞） B.，＋∞） C.，＋∞） D.，＋∞）12.函数f（x）是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数z满足，则的值为___．14.天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地，经统计，天府绿道旅游人数x（单位：万人）与天府绿道周边商家经济收入y（单位：万元）之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程为，对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如下表：x233.54.57y26384360a则表中a的值为___．15.函数的单调递减区间为___．16.若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是___．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题10.0分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求f（x）在区间[－1，2]上的最大值和最小值．18.（本小题12.0分）第31届大运会将于2023年7月在成都举行，志愿者的服务工作是大运会成功举办的重要保障．某高校承办了成都志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95），绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）求a，b的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60%分位数（分位数精确到0.1）；（3）在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．19.（本小题12.0分）如图，长方体中，，E为的中点．（1）求证：直线平面；（2）求二面角的余弦值．20.（本小题12.0分）随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x与所支出的总费用y（万元）有如表的数据资料：使用年限x23456总费用y2.23.85.56.57.0（1）在给出的坐标系中作出散点图；（2）求线性回归方程中的，；（3）估计使用年限为12年时，车的使用总费用是多少？（最小二乘法求线性回归方程系数公式．21.（本小题12.0分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．22.（本小题12.0分）已知函数（e是自然对数的底数）．（1）求证：；（2）若不等式在上恒成立，求正实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∴复数（i是虚数单位）的在复平面上对应的点的坐标为，位于第四象限．2.【答案】C解：A．，故A错；B．，故B错；C．故C正确；D．故D错．3.【答案】A解：学校C中的学生占的比例为，故学校C应抽取的人数为．4.【答案】C【解析】本题考查空间向量的加减运算，属于基础题．由加减运算法则及已知即可求解．【解答】解：因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形是平行四边形，故，所以．故选C．5.【答案】A解：由题意，把代入导数得切线斜率为，所以曲线在点（－1，0）处的切线方程为，即．6.【答案】B【解析】解：由，可得，由，能推出，由，不能够推出，综上，“”是“”的必要不充分条件．7.【答案】C解：，n是奇数，否，；，n不是奇数，否，；，n是奇数，否，；，n不是奇数，否，；，n是奇数，是，则输出的．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是数学归纳法的步骤，在数学归纳法中，第一步是论证时结论是否成立．此时一定要分析等式两边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．解此类问题时，注意n的取值范围，题目基础．由等式，当时，，由此易得答案．【解答】解：在等式中，当时，，故等式的左边为，右边为．故选D．9.【答案】C解：由题意可，令，可得或，当，可得，此时f（x）的单调递增区间是（－∞，1），（2，＋∞），单调递减区间是（1，2），时f（x）取得极大值，满足题意；当，可得（舍），故．10.【答案】D解：由题可知，当或时，；当或时，；①函数在区间（－3，－）先减后增，故不正确；②函数在区间（－，3）先增后减，故不正确；③当，恒有，函数在区间（4，5）内单调递增，故正确；④当时，函数有极大值，故不正确；⑤当时，不是极值点，故不正确．11.【答案】B【解析】解：函数在上单调递减，则：在上有恒成立，即：在上恒成立，令，则求在上的最大值即可．；可知在时，g（x）在（0，＋∞）上有最大值∴在上，，即，则k的取值范围为：．12.【答案】D解：根据题意，，则导函数，函数f（x）在区间上，满足，则有，所以，即函数g（x）在区间）上为增函数，，所以，则有，解得，即此不等式的解集为．13.【答案】10【解答】解：，则．14.【答案】88解：样本平均值满足回归直线方程，x的平均值为，则y的平均值，解得．15.【答案】（0，1）解：∵，∴，令，解得：，∴函数的单调递减区间为（0，1）．16.【答案】（－∞，4]解：由，可得，设，则．当x∈（0，1）时，，函数h（x）单调递减；当）时，，函数h（x）单增，所以，所以，所以a的取值范围是（－∞，4]．故答案为（－∞，4]．17.【答案】解：（1）令，可得或，令，解得所以f（x）的递增区间为（－∞，0），（，＋∞），递减区间为（2）由（1）知：或分别是f（x）的极大值点和极小值点，所以而，所以．18.【答案】解：（1）由题意可知：，，二式联立解得．（2）平均数等于，前两个分组的频率之和为0.3，前3个分组的频率之和为0.75，所以第60%分位数在第三组，第60%分位数等于．（3）根据分层抽样，在[75，85）和[85，95]中分别选取4人和1人，则在这5人中随机抽取两个的样本空间Ω包含的样本点个数为10个，即，记事件A＝“两人来自不同组”，则事件A包含的样本点个数为，所以．【解析】本题考查频率分布直方图，平均数与百分位数，古典概型，属于基础题，（1）根据频率分布直方图列出方程，即可求出a，b的值；（2）根据（1）中求出的a，b的值结合平均值公式及百分位数的估计方法，即可估计出所求数值．（3）根据古典概型的概率可求出．19.【答案】（1）证明：设和交于点，则为的中点，连接又∵E为的中点，∴．又∵⊂平面，平面，∴直线//平面．（2）解：如图，以A为坐标原点，AD，AB，所在的直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则点（0，2，4），（2，0，4），D（2，0，0），E（0，0，2），则．设平面的法向量，则由得令，得平面的一个法向量为；易知平面的的一个法向量为；设钝二面角的大小为，则．∴二面角的余弦值为－．20.【答案】解：（1）散点图如图，由图知y与x间有线性相关关系．（2），；．（3）线性回归直线方程是，当（年）时，（万元）．即估计使用12年时，支出总费用是14.84万元．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域为，且，当a≤0时，，此时，在上单调递增，当时，，即在上单调递增，在（，＋∞）上单调递减，综上可知：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）知当时，在上单调递增，函数f（x）至多有一个零点，不合题意，当时，f（x）在（0，）上单调递增，上单调递减，，当时，，函数f（x）至多有一个零点，不合题意；当时，，由于，且，由零点存在性定理知：f（x）在（0，）上存在唯一零点，由于