集合典型例题

集合的含义及其表示（一）集合元素的互异性1.已知xR，则集合{3,x,x22x}中元素x所应满足的条件为变式：已知集合A{a2,(a1)2,a23a3}，若1A，则实数a的值为_______Ma,b,c中三个元素可以构成一个三角形的三边长，那么此三角形可能是①直角三角形 ②锐角三角形 ③钝角三角形 ④等腰三角形（二）集合的表示方法用列举法表示下列集合（1）A{x|x|a||b|,a,b为非零实数}ab__________________________变式：已知a,b,c为非零实数,则abcabc的值组成的集合为___|a||b||c||abc|（2）A{(x,y)|y6Z,xN*}____A{(1,3),(2,6),(4,6),(5,3),(6,2),(9,1)}3x变式1：AxxN,12N6x变式2：A x,y x y 6,x N ,y N（3）集合A{x|xZ,2x2},B{y|yx2,},用列举法表示集合BxA（4）已知集合M=6N*}，则集合M中的元素为a5变式：已知集合M=6Z|aN*}，则集合M中的元素为{a用描述法表示下列集合（1）直角坐标系中坐标轴上的点 _______________________________变式：直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点 ______________（x,y)y x,x R（2）能被3整除的整数 _______________________

xx 3n,n Z.3.已知集合A0，1，BxxA，CxxA（1）用列举法写出集合B,C；（2）研究集合A,B,C之间的包含或属于关系4.命题(1)0x20；(2)00,0；(3)0；(4)0N表述正确的是.使用和和数集符号来替代下列自然语言：（1）“255是正整数”（2）“2的平方根不是有理数”（3）“3.1416是正有理数”（4）“-1是整数”（5）“x不是实数”6.用列举法表示下列集合：（1）不超过30的素数（2）五边形ABCDE的对角线（3）左右对称的大写英文字母（4）60的正约数7.用描述法表示：若平面上所有的点组成集合E，AE,BE（1）平面上以A为圆心，5为半径的圆上所有点的集合为_________PEPA5（2）说明下列集合的几何意义：PEPA5；PEPAPB8.当a,b满足什么条件时，集合xaxb0是有限集？无限集？空集？9.元素0、空集、0、三者的区别？请用描述法写出一些集合A，使它满足：i）集合A为单元素集，即A中只含有一个元素；ii）集合A只含有两个元素；iii）集合A为空集试用集合概念分析命题：先有鸡还是先有鸡蛋？解释：表述问题时把有关集合的元素说清楚，大有好处。先有鸡还是先有鸡蛋？让我们运用集合概念来分析它。设地球上古往今来的鸡组成一个集合J，孵出了最早的鸡的蛋算不算鸡蛋呢？这是关键问题。 设所有的鸡蛋组成集合 D，要确定D的元素，就得立个标准，说定什么是鸡蛋，一种定义方法是：鸡生的蛋才叫鸡蛋；另一种定义方法是：孵出了鸡的蛋和鸡生的蛋都叫鸡蛋。如果选择前一种定义，问题的答案只能是先有鸡；选择后一种定义，答案当然是先有鸡蛋。至于如何选择，不是数学的任务，那是生物学家的事。（三）空集的性质若?{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________2. 已知a是实数，若集合｛ x|ax＝1｝是任何集合的子集，则 a的值是 _______.0下列三个集合中表示空集的是(1){0}

；(2){(

x,

y)|

y2=-x2,

x∈R，y∈R}；(3){

x∈N|2x2+3x-2=0}.变式

1：若集合 A

{y|y

x},B

{x|y

1 x},

则A

B=_______变式

2：若集合

A

1,0,1

，B

y|y

cos(x),x

A，则AI

B

_____

1,1（四）集合相等1.已知集合A=a,b,1，B=a2,ab,0，若A=B，则a2004b2003_____a2.已知集合A1,1x,12x，集合B1,y,y2，且AB，求实数x和y的值.3.已知A{2,2010,x21},B{0,2010,x23x},且AB，则x的值为________已知A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，试求x，y的值．5. 已知集合P 1,1d,1 2d,Q 1,q,q2,且P Q，则d __,q __两个集合只要元素相同，就认为它们是相同的，从这个角度出发，试回答下列问题：（1）用列举法分别写出下列集合： A a Z 2 a 4；B b Z 2 b 4（2）请你判断两集合 A和集合B是否相等？集合方程问题1.若集合Ax|ax2bx10,xR（1）若A1,1，求a,b的值；（2）若A1，求a,b的值2.若集合{x|ax2x10}有且只有一个元素，则实数a的取值集合为.3.设yx2axb,Axyxa，求a,b.4.已知集合Axax22x10,xR，a为实数.1）若A是空集，求a的取值范围；2）若A是单元素集，求a的值；（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．5.已知集合Aa关于x的方程x241有惟一解，用列举法表示集合A为.xa变式：若分式方程的分子和分母对调，结论如何？子集、全集、补集1.集合A{x|kx10}，集合B{x|xk0}，若，的取值集合为______ABk．．．．2.设集合U={(x，y)|y=3x－1}，A={(x，y)|y2=3}，则CUA=.x13.M={x|2≤x≤5},N={x|a+1≤x≤2a1}.若MN，实数a的取值范围为.4.若Axx22(a1)xa210，B={x|x22，若A-4x=0}，C={x|x-8x+16=0}BＵC,求实数a的取值范围5.A{xx1或x2}B{x4xa0}，当BA时，实数a的取值范围为_____，6.已知集合A{x1ax2}，B{xx1}，满足AB，则实数a的取值范围为____变式：已知集合Ax0ax15，集合B1x2x21）若2）若

B，求实数a的取值范围B A，求实数a的取值范围（3）A、B能否相等？若能，求出 a的值；若不能，试说明理由7.已知集合Mx|3a1x2a，Nx|1x3，若N≠CRM，实数a的取值范围为____________8.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，AB{2},(CUA)(CUB){1,9},(CUA)B{4,6,8}，则A,B.9.设UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0,若(CUA)B，m=________10.已知全集U{0,1,2,3}，若CuM{1,3,a2a}，则a的值为____________11.若集合A{x|0x2}.分别求出当全集为下列集合时的eUA.(1)UR；(2)U{x|x1}；(3)U{x|0x3}.12.若集合M{xx2x60}，N{x(x2)(xa)0}，且NM，则实数a的值为_______13. 已知集合 A {2,4,6,8,9}，B {1,2,3,5,8}，是否存在集合 C，使C中的每个元素加上2就变成了 A的一个子集，且 C中的每个元素减去 2就变成了 B的一个子集？若存在，求出集合 C；若不存在，说明理由14.U{1,2}，A{xx2pxq0}，CuA{1}，则pq____15.写出满足条件{a}M{a，b，c，d}的集合M16.已知A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，求B=17.设集合A1,2,3,4,5,6,B4,5,6,7,则满足SA且SIB的集合S的个数为____________5618.已知集合Axx2pxq0,Bxqx2px10同时满足：AIB,-2A，求实数p,q的值.解：两式相减，得p5,q1或p1,q2或p3,q2219.已知集合Ayy2x1,0x1,Bx(xa)x(a3)0，分别根据下列条件，求实数 a的取值范围.（1）AIBA；（2）AIB（1）-2，-1；（2）-4,120.Axax40，Bxx24x30，Cx2x2mx80xa（1）若3A，求a的取值范围；（2）若4A，求a的取值范围；（3）若BCC，求m的取值范围.（4）若BC，求m的取值范围21.有限集中有一个特殊的集合，约定“空集是任何集合的子集”，为什么要作出这样的约定？任何一个约定式定义，它必须遵循：① 规定的必要性；② 规定的合理性。1）必要性：从子集的定义可知，子集定义中所涉及的集合不包括空集。为了完善子集定义，约定空集是任何集合的子集是必要的；2）合理性：由子集的定义显然有任何一个集合是它本身的子集，但是，上述这个结论中的“任何一个集合”，也是不包括空集的，只有规定了“空集是任何集合的子集”，才真正使上述结论对每一个集合（包括空集）都成立，这就是约定的合理性。请问是否存在这样的集合，它的某一个元素同时又是它的子集？若存在，请举例；若不存在，请说明理由。 A , B 1,1等等；【拓展思考】 请你给出一个集合，使它的两个元素同时也是它的子集，符合条件的集合，可以只含有这两个元素吗？ C 1,2,1,2 ；可以，集合 D ,元素和相等的子集（i）设集合M 1,3,4,6,8,9,是否存在两个无共同元素的子集，两子集元素之和相等？（ii）在1~9这9个数字中任取 6个不同的数组成集合 M，请问符合条件（ 1）的子集是否存在，由此你可以得到什么一般性的结论？【拓展思考】若将集合M的元素个数变为 7~9种的任一个，结论如何？与其子集元素个数一样多的集合是否存在这样的集合，它所含的元素的个数与它的某个真子集所含元素的个数一样多？【拓展思考】 请你写出几个符合条件的无限集约数集的个数设非空集合

S

N

，且满足条件“如果

x S，那么

16

S”x（i

）请你写出一个只含有一个元素的集合

S；（ii

）只含有三个元素的集合

S只有是否唯一？若不唯一，请写出两个不同的集合

S？（iii

）满足题设的集合

S共有几个？（iV）对非空集合

S

N

，若使集合

S所含元素的个数不超过四个，

那么题设条件可以改为_______________________交集、并集运算1.已知Axyx1,Byy2x1,xR，则AIB_________变式1：若集合M{y|y2x},P{y|yx1}，则M∩P=:2.设集合A{x|x10或x40},B{x|2axa2}1）若AIB，则实数a的取值范围为____________2）若AIBB，则实数a的取值范围为____________3.已知集合A={x|y1x2,xZ},B{y|y2x1,xA},则AB=4.已知集合Axa1xa4，Bxx2或x5，全集UR（1）若AIB,求实数a的取值范围（2）若ACuB，求实数a的取值范围5.集合Ax|x2axa2190，Bx|x25x60，Cx|x22x80满足AIB,，AIC,实数a的值为6.已知全集Ux|0x9,Ax|1xa，若非空集合AU，则实数a的取值范围是_________7.若集合A{x2x1或x1}，B{xaxb}，且AB{xx2}，AB{x1x3}，则a___________，b___________8.已知集合A{xxa}，B{x1x2}，且AU(CRB)R，则实数a的取值范围是9. 已知非空集合 A＝{x｜2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x｜3≤x≤22}，则能使A (A∩B)成立的所有a值的集合是10. 已知A={a1，a2，a3，a4}，B={a12,a22,a32,a42}，其中a1<a2<a3<a4，a1，a2，a3，a4∈N，若

A∩B={a1，a4}

，a1+a4=10，且

A∪B所有元素和为

124，则集合

A=

B=11. 设集合

A

直线，B

圆，则

A

B的元素个数为

____________12. 设集合

A