求数列的通项公式（2）讲义-高三数学一轮复习

求数列的通项公式（2）类型一：形如且）型的递推式:数列为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.设,展开移项整理得,与题设比较系数(待定系数法)得类型二：形如型的递推式:(1)当为一次函数类型(即等差数列)时:设,通过待定系数法确定A、B的值,转化成以为首项,以为公比的等比数列,再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得.+(2)当为指数函数类型(即等比数列)时:设,通过待定系数法确定的值,转化成以为首项,以为公比的等比数列,再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得.类型三：倒数变换法:形如为常数且的递推式:两边同除于,转化为形式,化归为型求出的表达式,再求;还有形如的递推式,也可采用取倒数方法转化成形式,化归为型求出的表达式,再求.题型一：形如且）型的递推式例1．在数列中，，．(1)求的通项公式．例2．例3．已知首项为2的数列对满足，则数列的通项公式______.题型二：形如型的递推式例4．设数列满足，，则数列的通项公式为___________.例5．已知数列是首项为.(1)求通项公式；例6．已知数列中，，且.(1)求，并证明是等比数列；(2)求的通项公式.题型三：倒数变换法例7．已知数列的递推公式，且首项，则_________.例8．．例9．已知数列的前项和为，数列满足，且(1)求数列的通项公式；(2)求数列的通项公式；1．已知数列中，，，则数列的前10项和（

）A．B．C．D．22．已知数列中，且，则为（

）A．B．C．D．4．在数列中，，．(1)求的通项公式；5．已知数列的前项和为，且，数列满足,且.(1)求数列和的通项公式；6．7．已知数列中,,．(1)求证:是等比数列,并求的通项公式;8．已知数列满足，(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．9．已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；10．若数列满足,．求数列的通项公式；典例参考答案1．解：（1）因为，，所以，显然（否则与矛盾），则．因为，所以，所以是以1为首项，4为公比的等比数列．所以，即，故的通项公式为.2．解：（1）证明：已知递推公式，两边同时加上3，得：，因为，所以，又，所以数列是以为首项、以2为公比的等比数列.3．解：设，即，故，解得：，故变形为，，故是首项为4的等比数列，公比为3，则，所以，4．解：设，化简后得，与原递推式比较，对应项的系数相等，得，解得，即，令，则，又，故，，得.故答案为：5．解：（1），设，即，即，解得，，故是首项为，公比为的等比数列.，故.（2），则.6．7．解：因为，且，则，，以此类推可知，对任意的，，在等式两边取倒数可得，则，所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为，，故对任意的，.故答案为：.8．解：法一：由，可得：，由,可得:,又，可得：.法二：由题得，则等式两边同取倒数得，则，，则数列为公差为2的等差数列，则，当，则，则，故答案为：.9．解：（1）当时，；当时，，经检验，时，也符合上式，所以数列的通项公式为；（2）易知，两边取倒数得，整理得，是以首项为，公比为2的等比数列，；（3）由（1）（2）问可知，欲比较与的大小，即比较与的大小.当时，，有；当时，，有；当时，，有，猜想，下面证明:方法一：当时，，所以对于任意的都成立，所以.跟踪训练参考答案1．解：∵，∴，∴．∴数列是首项为，公差为的等差数列，∴，∴．∴，∴数列的前10项和．2．解：由得：，又，数列是以为首项，为公差的等差数列，，，.3．解：由，两边取倒数得，即，又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故，4．5．解：1）解：当时，，当时，，因为符合，所以;因为,所以,又，所以，所以，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.所以.所以；6．解：（1）由得，，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，所以.7．解：（1）证明:,,故数列是以为首项,4为公比的等比数列,,8．解：（1）因为，所以，又因为，则，所以是首项为，公比为的等比数列，所以