复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的第二章习题答案

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习题二

1.求映射

1

wzz=+

下圆周||2z=的像.解：设i,izxywuv=+=+则

2222

221iiiii()ixyxy

uvxyxyxyxyxyxyxy-+=++

=++=++-++++

由于22

4xy+=,所以

53i44uivxy+=

+

所以54ux=,34vy

=+

53

4

4

,uvxy==所以(

)

()2

25344

2

u

v

+

=即(

)

()2

2

225322

1

uv+

=，表示椭圆.

2.在映射2

wz=下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设eiw?

ρ=或

iwuv=+.解：设222

i()2iwuvxiyxyxy=+=+=-+所以22

,2.uxyvxy=-=

(1)记eiw?

ρ=，则

π

02,4rθ<<=

映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即

π

04,.

2ρ?<<=

(2)记eiw?

ρ=，则π0,024rθ<<<<映成了w平面上扇形域，即

π

04,0.2ρ?<<<<

(3)记wuiv=+，则将直线x=a映成了22,2.uayvay=-=即

222

4().vaau=-是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b映成了22

,2.uxbvxb=-=

即222

4()vbbu=+是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示

.

3.求下列极限.

解：令

1zt=

,则,0zt→∞→.于是2

22

01limlim011zttzt→∞→==++.

(2)0Re()lim

zzz→;

解：设z=x+yi，则Re()izx

zxy=

+有000

Re()1

lim

limi1izxykxzxzxkxk→→=→==

++

明显当取不同的值时f(z)的极限不同所以极限不存在.

（3）

2lim

(1)zi

zi

zz→-+；

解：

2lim

(1)zi

zi

zz→-+=11limlim()()()

2zizizizizziziz→→-==-

+-+.

（4）

21

22

lim

1zzzzzz→+.

解：由于

2

22(2)(1)2

,1(1)(1)1zzzzzzzzzzz+--+-+==-+-+所以

21

12223

lim

lim112zzzzzzzzz→→+--+==-+.

4.研究下列函数的延续性：

解：由于

22

(,)(0,0)lim()lim

zxyxy

fzxy→→=

+,若令y=kx,则

222(,)(0,0)lim

1xyxyk

xyk→=

++,由于当k取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0处极限不存在.

从而f(z)在z=0处不延续，除z=0外延续.(2)

342

,0,()0,0.

xy

zfzxyz?≠?

=+??=?

解：由于

3342202

2xyxxy

xyxy≤≤=

+,

所以342

(,)(0,0)lim0(0)xyxyfxy→==+

所以f(z)在囫囵z平面延续.

5.下列函数在何处求导？并求其导数.

(1)1

()(1)nfzz-=-(n为正整数)；

解：由于n为正整数，所以f(z)在囫囵z平面上可导.

1()(1)nfznz-'=-.

(2)

22

()(1)(1)zfzzz+=

++.

解：由于f(z)为有理函数，所以f(z)在

2

(1)(1)0zz++=处不行导.从而f(z)除1,izz=-=±外可导.

22222

32222

(2)(1)(1)(1)[(1)(1)]()(1)(1)2543(1)(1)zzzzzzfzzzzzzzz''

+++-+++'=

++-+++=

++

(3)

38()57zfzz+=

-.解：f(z)除

7=

5z外到处可导，且

223(57)(38)561()(57)(57)zzfzzz--+'==-

--.(4)222

2()ixyxy

fzxyxy+-=

+++.

解：由于

2

222222i()ii(i)(i)(1i)(1i)1i

()xyxyxyxyxyzfzxyxyxyzz

++--+--+++=

====+++.所以f(z)除z=0外到处可导，且

2(1i)()fzz+'=-

.

6.试推断下列函数的可导性与解析性.

(1)22

()ifzxyxy=+;

解：

22

(,),(,)uxyxyvxyxy==在全平面上可微.22,2,2,y

u

v

vyxyxyxxyx

y????====????

所以要使得

uvxy??=??，uv

yx??=-??,

惟独当z=0时,

从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.

(2)22

()ifzxy=+.

解：22(,),(,)uxyxvxyy==在全平面上可微.

2,0,0,2u

uvv

xyxyx

y????====????

惟独当z=0时,即(0,0)处有uvxy??=??,uvy

y??=-

??.所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.

(3)33

()23ifzxy=+;

解：33(,)2,(,)3uxyxvxyy==在全平面上可微.

226,0,9,0u

uv

vxyxyx

y????====????

=时，才满足C-R方程.

从而f(z)0=处可导，在全平面不解析.

(4)2

()fzzz=?.

解：设izxy=+，则

23232()(i)(i)i()fzxyxyxxyyxy=-?+=+++3232(,),(,)uxyxxyvxyyxy=+=+

22223,2,2,3u

u

v

v

xyxyxyyxx

y

x

y????=+===+????

所以惟独当z=0时才满足C-R方程.

从而f(z)在z=0处可导，到处不解析.

7.证实区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数.(1)()0fz'

=;

证实：由于()0fz'=，所以0uuxy??==??,0

vvxy??==??.

所以u,v为常数，于是f(z)为常数.(2)()fz解析.

证实：设()ifzuv=-在D内解析,则()uvuv

xyxy??-??=?=-????()uvvyxy?-?-?==+???,uvuv

xy

yx????=-=????

而f(z)为解析函数，所以

,uu

uvxyyx????==-????

所以,

,vv

vvx

xyy????=-=-????即0uuvv

xyxy????====????

从而v为常数，u为常数，即f(z)为常数.

(3)Ref(z)=常数.

证实：由于Ref(z)为常数，即u=C1,0uuxy??==??

由于f(z)解析，C-R条件成立。故0uuxy??==??即u=C2

从而f(z)为常数.

(4)Imf(z)=常数.

证实：与（3）类似，由v=C1得0vvxy??==??

由于f(z)解析，由C-R方程得0uuxy??==??,即u=C2

所以f(z)为常数.

5.|f(z)|=常数.

证实：由于|f(z)|=C，对C举行研究.若C=0，则u=0,v=0,f(z)=0为常数.

若C≠0，则f(z)≠0,但2

()()fzfzC?=，即u2+v2=C2

则两边对x,y分离求偏导数，有

220,220

uvuvuvuvxxyy?????+?=?+?=????利用C-R条件，因为f(z)在D内解析，有uvuvxyyx????==-????所以00u

vuvxxuvvuxx????+?=?????

????-?=????所以0,

0uvxx??==??

即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.

(6)argf(z)=常数.

证实：argf(z)=常数，即arctanvC

u??=???,

于是

222

222222

()

()(/)01(/)()()vuvu

uuvuuvvuyyxxvuuuvuuv????-??

-?'

????===+++

得

00v

uuvxxv

uuvyy????-?=?????????-?=????C-R条件→00vuuvxxvuuvxx????-?=?????

????+?=????

解得0uvuvxxyy????====????，即u,v为常数，于是f(z)为常数.

8.设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值.解：由于f(z)解析，从而满足C-R条件.222,3uunxymynxxy??==+??223,2v

v

xlylxyx

y??=+=??

uvnlxy??=?=??

3,3uv

nlmyx??=-?=-=-??

所以3,3,1nlm=-=-=.

9.试证下列函数在z平面上解析，并求其导数.

(1)f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i

证实：u(x,y)=x3-3xy2,v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且

222233,6,6,33u

u

v

v

xyxyxyxyx

y

x

y????=-=-==-????

所以f(z)在全平面上满足C-R方程，到处可导，到处解析.

22222()i336i3(2i)3uv

fzxyxyxyxyzxx

??'=

+=-+=-+=??.(2)

()e(cossin)ie(cossin)xxfzxyyyyyxy=-++.证实：

(,)e(cossin),

(,)=e(cossin)xxuxyxyyyvxyyyxy=-+到处可微，且

e(cossin)e(cos)e(cossincos)xxxu

xyyyyxyyyyx?=-+=-+?

e(sinsincos)e(sinsincos)xxu

xyyyyxyyyyy

?==?e(cossin)e(sin)e(cossinsin)xxxv

yyxyyyyxyyx

?=++=++?e(cos(sin)cos)e(cossincos)

xxvyyyxyyyyxyy?=+-+=-+?所以uvxy??=??,uvy

x??=-??所以f(z)到处可导，到处解析.

()ie(cossincos)i(e(cossinsin))ecosiesin(ecosiesin)i(ecosiesin)eeiee(1)

xxx

xxxxxzzzzuv

fzxyyyyyyxyyxxyyxyyyyyxyz??'=

+=-++++??=+++++=++=+10.设

()()

333322

i,0.0.0.xyxyzfzxyz?-++≠?

=+??=?

求证：(1)f(z)在z=0处延续．

(2)f(z)在z=0处满足柯西—黎曼方程．(3)f′(0)不存在．证实.(1)∵

()()

()()

,0,0lim()lim,i,zxyfzuxyvxy→→=

+

而()()()()()33

22,0,0,0,0lim,limxyxyxyuxyxy→→-=+

∵

()3322221xyxyxyxyxy-?

?=-?+?++??

∴3322

3

02

xyxyxy--+≤

≤

∴()()33

22,0,0lim0xyxyxy→-=+同理()()33

22

,0,0lim0xyxyxy→+=+

∴()()

()()

,0,0lim

00xyfzf→==

∴f(z)在z=0处延续．

(2)考察极限()

()0lim

zfzfz→-

当z沿虚轴趋向于零时，z=iy，有

()()()3

2

00111ilimi0lim1iiiyyyfyfyyy→→--??-=?=+??．

当z沿实轴趋向于零时，z=x，有()()[]01

lim

01ixfxfx→-=+

它们分离为

i,iuvvu

xxyy????+?-????∴,uvuvxyy

x????==-

????∴满足C-R条件．

(3)当z沿y=x趋向于零时，有

()()()()()33300i0,01i1iilimlimi21i1ixyxyfxxfxxxxx=→=→+-+--==+++

∴0lim

zfz→??不存在．即f(z)在z=0处不行导．

11.设区域D位于上半平面，D1是D关于x轴的对称区域，若f(z)在区域D内解析，求证

()()Fzfz=在区域D1内解析．

证实：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，由于f(z)在区域D内解析．

所以u(x,y),v(x,y)在D内可微且满足C-R方程，即,uvuvxyy

x????==-

????．()()()()()

,iv,,i,fzuxyxyxyxy?ψ==+，得

(),uxyxx??-?=

??()(),,uxyuxyyyy??-?-?==-???(),vxyxxψ-?-?=

??()(),,vxyvxyyyyψ?-?-?=+=???

故φ(x,y),ψ(x,y)在D1内可微且满足C-R条件,xy

yx?ψ?ψ

????==-

????从而()

fz在D1内解析

13.计算下列各值

(1)e2+i=e2?ei=e2?(cos1+isin1)

(2)22π2

2

i3

33

3

3

ππ1e

ee

ecosisine332iπ--????????=?=?-+-=??

????????

????(3)

()()

22

22

22

22

22

ii

22222

2Ree

Reee

Reecosisine

cosxyxyxyxyxyx

xy

x

xyyyxyxyyxy-+-

++++=?????????=?-+-?

?????++???????

?

??

=??

+??

(4)

()()i2i2ii22i2eeeeeexyxyxyx

-+-+=?=?=

14.设z沿通过原点的发射线趋于∞点，试研究f(z)=z+ez的极限．解：令z=reiθ，对于?θ，z→∞时，r→∞．

故()()()iie

iisicnoslimeelimeerrrrrrθ

θθθθ→∞

→+∞

+=+=∞

．

所以()limzfz→∞

=∞

．

15.计算下列各值．(1)

(

)(

)3ln23iiarg23iiπarctan2?

?-+-+=-?

??

(2)

(

(

ππln3lniarg3lnilni

66??

==-=???(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i

(4)

()()π

lnielneiargie1i

2=+=+

16.试研究函数f(z)=|z|+lnz的延续性与可导性．

解：明显g(z)=|z|在复平面上延续，lnz除负实轴及原点外到处延续．设z=x+iy

，

()()

()||,i,gzzuxyvxy==+

(

)(),,0

uxyvxy==在复平面内可微．

(

)1

222

122

uuxyxxy

-??=+?==??

00vvxy??==??

故g(z)=|z|在复平面上到处不行导．

从而f(x)=|z|+lnz在复平面上到处不行导．f(z)在复平面除原点及负实轴外到处延续．17.计算下列各值．(1)

()()

()()

(

)1i

π1ii2πi1iln1i1iln1i4ππ

i2π

44π

2π

4π

2π4

1ie

e

e

ππ

ei2π44ee

ππe

cosisin4

4ππe

cosisin4

4kkkkk-??-?+?

-+-?+??

?-+?++

+====+

-++=?????=?-+-??

??????

??=?-+-??????(2)

(

(

)

(

)

)(

)(

)(

(

)(

)(5

ln3ln3iπ2πi3π233ecos21isin21cos21πisin21kkkkkk--+?++-=====+++=?++

(3)

()

()

i

iln1iln1iln1i02πi

i2πi2π

1eeeeekkk?+?+-?=====

(

)()(

)1i

1i

ln1ilnππ1iln1i2πi1i2πii44πππ

π

i2π2πii2π2π4444

π

2π4

π

2π4ee

ee

ee

e

ππe

cosisin44()4ekkkkkkkk+++??????+?+-++-??

?

??????

?

?+

-???

--======?????=?+-??

???

??=?-?

?

18.计算下列各值

(1)

()()()

()iπ5iiπ5iiπ5iπ5

555555eeeecosπ5i22

ee1eeeech5

222+-+--++++==

-++===-=-

(2)

()()()

()()i15ii15ii5i5

55

5555eeeesin15i2i2i

ecos1isin1ecos1isin12i

eeeesin1icos1

22+==

+-?-=

++=?-?

(3)()()()(

)

(

)

()()()

i3ii3i

i3ii3i22eesin3isin6isin2

2itan3icos3iee2ch1sin32i

===

-+-(4)

()()()2

2

2

ii2222222222221sineesinchicossh2i

sinchcosshsinchshcossinshsinshyxyxzxyxy

xyxy

xyyxxyxy

-+-=?-=?+?=?+?=?-++?=+

(5)

(

(

))()arcsiniilniiln1iln1i2π0,1,

iln1iπ2πkkk=-=-±???-+???==±????-++??

?

(6)()()()i1i12ii21arctan12ilnlni21i12i2551i

πarctan2ln5

24k++??

+=-=-?-+?

-+??=++?

19.求解下列方程(1)sinz=2．解：

(

)(

(

(1

arcsin2ln2iln2ii

1iln22πi212πiln2,0,1,2zkkk??===-±??

???

?=-++???

???

??

?=+±+=±??

?

(2)e10z

-=

解：e1z

=即

()π

ln1ln2i2πi3

1ln22πi

3zkk==++?

?=++??

?

(3)πlni2z=

解：

πlni

2z=

即π

i2eiz==

(4)()ln1i0z-+=

解：

(

)π1ln1ii2πi2πi

44zkk?

?-+=?+=+???．20.若z=x+iy，求证