第06讲 三极值点问题（老师版）

第06讲三极值点问题参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2021秋•襄城区校级月考）已知函数（其中为常数）．（1）当时，对于任意大于1的实数，恒有成立，求实数的取值范围；（2）当时，设函数的3个极值点为，，，且，求证：．【解答】解：（1）时，，即成立，令，则，，①，，在上是增函数，时，（1），满足题意；②时，令，解得，，，，在上是减函数，，（1），不合题意，舍去，综上可得，；（2）由题，，对于函数，有，函数在上单调递减，在，上单调递增函数有3个极值点，从而，所以，当时，（a），（1），函数的递增区间有，和，，递减区间有，，，此时，函数有3个极值点，且；当时，，是函数的两个零点；即有，消去有令，有零点，且函数在上递减，在，上递增证明，即证构造函数，则只需要证明，单调递减即可．而，，在，上单调递增，当时，．2．（2021•市中区校级模拟）已知函数，且函数在处取到极值．（1）求曲线在，（1）处的切线方程；（2）若函数，且函数有3个极值点，，，证明：．【解答】解：（1），，函数在处取到极值，（1），即．则，（1），曲线在，（1）处的切线方程为；（2），函数的定义域为且，，令，，在上单调递减，在，上单调递增；（1），（2），在内存在零点，设，，当时，即，或，函数单调递增，当时，即，函数单调递减，当时，函数有极大值，当时，是极大值点；是的最小值；有三个极值点，，得．的取值范围为，当时，，（1），；即，是函数的两个零点．，消去得；令，，的零点为，且．在上递减，在，上递增．要证明，即证，等价于证明，即．，即证．构造函数，则；只要证明在，上单调递减，函数在，单调递减；增大时，减小，增大，减小，在，上是减函数．在，上是减函数．当时，．即．3．（2021•台州一模）已知函数．（1）若，讨论的单调性．（2）若有三个极值点，，．①求的取值范围；②求证：．【解答】解：（1）当时，，，，当时，在和上，单调递减，当时，在上，单调递增，（2）①，首先，令，则应有两个既不等于0也不等于的根，求导可得，，此时，有唯一的根，并且是的极小值点，要使有两根，只要即可，（因为当和时，由，得，又由，得，反过来，若时，则，的两根中，一个大于，另一个小于，于是在定义域中，连同，共有三个相异实根，并且在这三个根的左右，的正负变号，它们就是的三个极值点，综上，的取值范围是；②证明由①可知有三个极值点，，中，两个是的两根（不妨设为，，其中，另一个为，要证：．只要证：，即只要证明，因为在上单调递减，其中，故只要证，其中，只要证，而只要证，由，得，由此代入上述不等式，只要证明，只要证，令，当时，，单调递增，而，所以当时，，于是证，即：．4．（2021•辽阳二模）已知函数．（1）讨论的极值点的个数；（2）若有3个极值点，，（其中，证明：．【解答】（1）解：，令，，故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且当时，．当时，有2个极值点，当时，只有1个极值点，当时，有3个极值点．（2）证明：因为有3个极值点，，（其中，所以，且，即得，要证，即，由，得，设，，，所以，联立得所以，所以要证，只需，，则有，即，则需证明．令，，即需证明．因为恒成立，所以在上是单调递减函数，则有，即成立，所以，即得以证明．5．（2021春•兴义市校级月考）已知函数．求函数在区间，上的最值；若（其中为常数），且当时，设函数的3个极值点为，，，且，证明：，并讨论函数的单调区间（用，，表示单调区间）【解答】解：（Ⅰ），令，解得，列表：，，0减极小值增所以函数在，上单调递减，在，上单调递增．，（e），函数的最大值为，最小值为；（Ⅱ）由题意：，，令，，可以得到函数在上单调递减，在上单调递增；因为函数的3个极值点，又，，（1），从而函数的三个极值点中，有一个为，有一个小于，有一个大于1，因为3个极值点为，，，且，所以，所以，故，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．6．（2021•潍坊一模）函数．（1）当，时．求函数的单调区间；（2）若是的极大值点．当时，求的取值范围；当为定值时．设，，（其中是的3个极值点，问：是否存在实数，可找到实数，使得，，，成等差数列？若存在求出的值及相应的，若不存在．说明理由．【解答】解：（1），时：，，令，解得：或，令，解得：或，在，递减，在，，，递增；（2）解：时，，，令，△，设是的两个根，①当或时，则不是极值点，不合题意；②当且时，由于是的极大值点，故．，即，．解：，令，则△，于是，假设，是的两个实根，且．由可知，必有，且、、是的三个极值点，则，，假设存在及满足题意，①当，，等差时，即时，则或，于是，即．此时或，②当时，则或若，则，于是，即．两边平方得，，于是此时，此时．②若，则，于是，即两边平方得，，于是，此时，此时，综上所述，存在满足题意，当时，，时，，时，．7．（2021春•扬州校级月考）已知函数，．（1）记，求在，的最大值；（2）记，令，，当时，若函数的3个极值点为，，，（ⅰ）求证：；（ⅱ）讨论函数的单调区间（用，，表示单调区间）．【解答】解：（1），，令，得，，，列表如下：，0递减极小值递增易知（1），（2）而（1）（2），所以当时，（1），当时，（2）；（2）（ⅰ），令，，又在上单调减，在上单调增，所以，因为函数有3个极值点，所以所以，所以当时，，（1），从而函数的3个极值点中，有一个为，有一个小于，有一个大于1，又，所以，，，即，，故；（ⅱ）当时，，，则，故函数单调减；当，时，，，则，故函数单调增；当，时，，，则，故函数单调减；当时，，，则，故函数单调减；当，时，，，则，故函数单调增；综上，函数的单调递增区间是，，，单调递减区间是，，，．8．（2021•德阳模拟）已知函数（其中为常数）．（1）当时，求函数的单调减区间和极值点；（2）当时，设函数的3个极值点为，，，且，①求的取值范围；②证明：当时，．【解答】解：（1）时，，；时，；时，；时，；函数的单调递减区间为，，，极值点为；（2）①；令，；在上单调递减，在上单调递增；是的最小值；有三个极值点；；；的取值范围为；②证明：当时，（a），（1）；；即，是函数的两个零点；；消去得；令，，的零点为，且；在上递减，在上递增；要证明；，即证；构造函数，则；只要证明上单调递减；在单调递减；增大时，减小，增大，减小；在，上是减函数；在，上是减函数；当时，．9．设函数．（1）当时，证明：；（2）已知恰好有3个极值点，，．（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明：．【解答】解：的定义域是，求导得，令，得，注意到（1）（1），（1）证明：当时，，当且仅当时，等号成立，所以在上单调递减，所以在上（1），在上，（1），所以在上单调递增，在上单调递减，于是（1），（2）（ⅰ）①若，则在上单调递减，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，有且只有1个极值点，不合题意，②若，因为二次函数的判别式△，所以恒成立，在上单调递减，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，有且仅有1个极值点，不合题意，③若，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，有且仅有1个极值点，不合题意，④若，令，得，记，，结合二次函数的图象知：在上，，单调递减，在，上，，单调递增，在，上，，单调递减，所以（1），（1），当时，因为，所以，取，则，，则，由零点的存在性定理，唯一，，所以在上有且仅有一个变号零点，当时，因为，且在，上单调递减，所以在上有且仅有一个变号零点，此时，，是的极值点，综上所述，实数的取值范围是．（ⅱ）证明：由（ⅰ）知恰有3个极值点当且仅当，此时有，设，则只需证明，求导得，所以在上单调递增，注意得到，所以，所以只需证明，实际上，上式等价于，成立，所以原不等式得证．10．已知函数在处的切线方程为．求函数的解析式；（Ⅱ）当