向量法在代数

向量法在代数、几何、复数中的应用李梅摘要：向量在不同的数学领域都有广泛的应用，本文主要举例讨论了向量在代数、几何、复数方面的应用。关键词：向量代数几何复数向量是新教材中增加的内容，向量的运算法则，以及运算律的给出容易使学生认为它属于代数内容，但向量实际上又属于几何范畴，所研究的内容大都与图形有关，所以向量是数形结合的一个典范，它融数形于一体，是实现数形转化，解决数学问题的重要工具，用向量知识解题，方法新颖，运算简捷，是启迪学生思维的有效途径之一，本文主要通过例题的形式讨论了向量在数学几个领域的应用。1预备知识1.1向量的两种重要性质性质1(m,n)则a-b<a-bna-b<a-b艮卩|pm+qn<艮卩|pm+qn<npm+qn<m2+n2当且仅当pm=qn时，等号成立性质2a一b<a土b<a+b当且仅当a,土b同向平行时，右边等号成立a,土b反向平行时，左边等号成立1.2向量与复数间几个运算设z，z为两个非零复数，OF与应的夹角为°，则1212z+z表示向量~OZ+~oT1212z-z表示向量OF—Oz^1212(、zargr=02(z)argp=n0ZZi丿IZi丿argz=兀一0arg(z)2=2(兀一0)arg(z)n=n(兀—0)2应用2.1向量法在代数中的应用例1已知a\；'i_b2+bQ1—a2=1求证a2+b2=1解：构造向量万=（a\T^a）,n=&匚匚b）,n与万的夹为0w[0,冗]m=n=ncos0=1所以=1cos0=1 0=0 故m//=1因止匕ab-J1-a2・J1-b2=0移项两边平方，经整理可得a2+b2=1例2已知a,b,ceR,且a+2b+3c=6求证a2+2b2+3C2>6解：构造向量：m=(a, b人3c),n=(1,\'2S3)所以万・n=a+2b+3c=6n=Ja2b+ ^T~1—+2+3n得6=a+2b+3c<Ja2+2b2+c2J1+2+3整理可得a2+2b2+3c2>62.2解三角问题例3已知a,pea+)p0,例3已知a,pea+)pI2丿求a,p的值解：原条件可化为：sinasinP+(1-cosa)cosP=纟—cosa构造向量a=(sina,1-cosa),b=(sin卩，cos卩)3一cosa2由向量性质f f f fa-b<a-b3—-cosa23—-cosa2<sin2a+(1—cosa)2-sin2一cosa2由向量性质f f f fa-b<a-b3—-cosa23—-cosa2<sin2a+(1—cosa)2-sin2P+cos2p< 2-2cosa两边同时平方整理得(cosa-丄)2<0cosa=1a=1兀2 2 33中cosa+cos卩-cos(a+p)=—2将a=1兀代入到已知条件3化简整理可得sin(巴+卩)=1n+卩=二卩=巴6 6 2 3即a=p=1兀32.3求解无理函数的最值例4求函数y= +©10二的最大值解：构造向量a=(5,1),b=(J-1,\；10-x)由性质1得5Jx—1+心0-x<\；52+12Jx-1+10-x=3】26当且仅当5^x—1=<10—x即x=时最大值为26例5求函数y八x2+4+讥3-x)2+9的最小值ymax=3^26解：构造向量a=(x,2),b=(3-x,3)由性质2得y=a+b>a+b=J32+(2+3)2=丁34当且仅当a与b同向平行时等式成立，即3x-2(3-x)=0，x=6时最小值5为y=T34min由以上例题，我们看到了用向量知识解代数问题，关键就是构造2.4向量法在几何中的应用例6设AM是厶ABC的边BC上的中线，任作一直线，使之顺次交AB,AC,AM于P,Q,N点求证：型,jAM,竺成等差数列证明：mAP,AM=证明：mAP,AM=tAN,AC=nAQ贝U由PN,QN共线可知，XeR,使PN=九QN艮卩AN-Ap=x（AN-AQ）于是（九一1）AN=XAQ-AP（X-1）•-•AM=X•丄•AC-—ABTOC\o"1-5"\h\zt nm又Am=-（~ab+AC）2X-1―X-1 1―）AC-（ + ）AB=02t 2t mnX-12tnX-12t2t1+=0m解得m+n=21即jAB+竺=2如APAQAN命题得证例7如图正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且AE、CD交于P点求证BP丄DC证明：设pd=Xcd,并设三角形ABC的边长为a33贝UPA=PD+DA=XCD+1BA=X（二BA-BC）+二BA=二（2X+1）BA-XBC33又EA=BA-1BC

PA//EA1(2九+1)BA—九BC=kBA—1kBC331,-(2X+1)=k解得于是I3九二1k解得I3——1—PD=一CD714 2——.BP=BC+CD=—BC+BACD=BA—BC773从而BP-CD=(丄BC+4—2——BA)-(BA—BC)=8—a2-1-_a2-10-—a2cos60077321721故BP丄DC命题得证例8如图1,已知ABCD是上、下底边长分别为2和6,高为君的等腰梯形，将它沿对称轴OO折成直二面角，如图2，求二面角1O-AC-O的大小1图1图1解：以点O为原点，OO所在直线为z轴，OB所在直线为y轴，OA1所在直线为x轴,入图所示建立空间直角坐标系：贝UA(3,0,0)o(0,0，＜3) C(0丄⑺O(0,0,0)1OA=(3,0,0)AC=(—3丄)AO^=(-3,0, 3)设n=(x,y,z)是面ACO的一个法向量则x=0x=0y=_弋3z设m=(x,y,z)是面ACO的一个法向量n-AO=一3x=0In-AC=一3x+y+弋3z=0V3x= zV3x= z3y=0不妨设m=巨,0,1）3.二面角O-AC-o的大小为1arccos4m-AO]=一3x+V3z=0Im-AC=—3x+y+€3z=0——i VTcos(n,m)= = 2也42x3用法向量解几何题，关键是建立适当的直角坐标系，从而使点坐标易找，解法简便。若有等腰三角形要主要利用三线合一的条件，通常取底边中线为z轴2.5向量在复数中的应用例9设z,z都是复数，且z121解：设z，z，z+z在复平面内对应的向量分别为OF，OF，OF，121212则在△zoz中，az=\z|=31 i iZZ=z」=5，Z+Z=z+z=7121212由余弦定理得32+52—72 1cosZOZZ一 =—1 2x3x5 22/.ZOZZ=兀13从而ZZOZ-丄兀2 1 3z兀ar-gr(=)z3z二z二arg(r)3z1=3arg(2)=z1_2』例10设w为复数，它的幅角主值为亠且1为实数,4w则|wp=r2求复数w则|wp=r2由 3argw一—兀4则arg(W)2-巴2解：设W=rw对应向量OA，W对应向量丽，（W）2对应呢那么（W）2-4对应a..（w）2—4对应的向量OB■顺时针方向旋转3兀，即落在实轴的正半轴上w4

arg[(w)2—4]—兀4arg[(w)2—4]—兀4Rt△OCB兀ZC0事一4w=2(cos3—兀+isin4—兀)=—、；2+i4可见，向量与复数在平面上是对应的，每一个复数都相应的对应了一个向量。我们解题的关键在于在复平面内恰当的找到与之相对应的向量，使问题简捷、明了。参考文献【1】罗福生.重视向量工具作用,提高解题能力J]•中学教学研究.2002(12)【2】毛昌盛，毛晓燕.平面向量在中学教学中的应用[J].中学教学.2002(8)【3】顾平声•谈”向量引入中学教学”[J]•数学通报.2001(3)【4】钟玉泉，复变函数论(第二版).1987Vectorinalgebra,geometry,inpluralnumberapplicationLiMei(QinghaiNormalUniversitymathematicsdepartment2003A 810008)AbstractTheVectorallhasthewidespreadapplica