向量数量积的物理意义以及背景

2.3.1向量数量积的物理背景与定义【学习目标】1．通过问题探究1，能说出向量夹角的定义并准确求出两个向量的夹角；2．通过问题探究2，能说出轴上正射影的定义，并能准确解答问题；3．通过问题探究3，能说出向量内积的定义，并能准确、灵活解答向量内积的题目。【学习重难点】重点：向量数量积的定义以及性质难点：对向量数量积定义及性质的理解和应用【导学纲要】（一）创设情境如图，一个力F作用用于一个物体，使该物体位移s,求这个力所做的功。根据上面的解答， 为F在物体位移方向上的分量数量，也就是力F在物体位移方向上正射影的数量.以计算力做功为背景，我们引入向量的数量积的运算.（二）探究新知【学习目标1】通过问题探究1，能说出向量夹角的定义并准确求出两个向量的则Z则ZAOB称作向量a,方的夹角,记作Va,b>,规定：0<<a,b><^特殊情况：由图知：若向量a,b同向，Va,b>=

向量a,b反向,<a,b>= 向量a,b相互垂直，va,b>= 注：零向量与任何向量垂直<a,b>=<b,a>如图，在等边三角形ABC中，求（1） AB,AC的夹角；I」（2） BC,AB的夹角Ta学习目标2】能说出轴上正射影的定义，并能准确解答问题；Ta【问题探究2】阅读课本108页，看图回答问题T在轴l上的正射影是什么？a在轴i上的正射影的数量是什么？坐标呢?怎样表示？【学习目标3】能说出向量内积的定义，并能准确、灵活解答向量内积的题目。【问题探究3】定义：ITIITlcos<T,b>称为向量T和T的数量积（或内积），记作：TT即a.b=iaiibicos<a,b>问题1.两个向量的内积是一个向量还是数量？什么时候为正，什么时候为负，什么时候为0？

问题2.你能根据正投影的定义解释向量内积的几何意义吗？问题3.由内积的定义，完成下面试题1)a丄bo1)a丄boa-b= （2）若a与b同向,= a与b反向,= a・a= ,iai= （3）iabi iaiibicos<ab>= ae=e.a= 归纳：向量内积重要性质:（i）a丄boa.b=o2）a.a2）a.a=iai2,即iai、a・a（3）ia.bi<iaiibi4）cos4）cos<a.b>=a・biaiibi—T—T—T—T—T —T—T5）a・e=e・a=iaicos<a,e>（三）能力提升例1.已知轴l（1）向量iOA\=5,,<OA,l>=60°,求OA在l上的正射影的数量OA1（2）向量iOBi=5,,<OB,l>=120°，求OB在l上的正射影的数量OB1反馈练习：(P109)B.2例2.已知ia1=5,1bi=4,<a,b>=120°,求a・b反馈练习：1.a=（3,0）,b=（0,4）,求ab,3」ai=5,1bi=2,(1)<a,b>=,(2)a11b(3)a丄b6分别求a・b【当堂检测】1.若向量N方满足i方i=2,方>=，，则在方向上的正射影的数量是 3—► —►—►—►—►~~TOC\o"1-5"\h\za=2,b=1,(a-b)b=0,则a与b的夹角是( )(A)30。 (B)45。 (C)60° (D)90。>3、已知a=3,b=5且a・b=12,则向量a在向量b上的射影数量为( )(A)^ (B)3 (C)4 (D)54、 已知向量a，b满足方=1,b=4，且a・b=2,则。与b的夹角为()\o"CurrentDocument"兀 兀 兀 兀(A)— (B)— (C)— (D)—6 4 3 2

5、在"BC中，若(bA-BC)6-CB5、在"BC中，若(bA-BC)6-CB)=0仏ABC为(（A）直角三角形（B）正三角形（C）等腰三角形（D）等腰直角三角形6、对于向量a,b,c和实数九，下列说法中正确的是（A、若a・b=0,则a=0或b=0B、若九a=0，则九=0或a=0C、7、若a2=b2，贝Ja=b或a=-b=\'3,\