向量学业水平

一、平面向量基本定理及概念向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量。数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小3•有向线段:带有方向的线段叫做有向线段。4.有向线段的三要素：起点，大小，方向向量的表示方法：用有向线段表示；用字母a、b（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB；7•向量的模：向量AB的大小（长度）称为向量的模，记作IAB丄8.零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．9.单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量相反向量：长度相等且方向相反的向量二、向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律再贺/7/卜（1）交换律：a+b=b+加法求两个向量和xi ■/aa.的运算三角形法则（首尾相连）（2）结合律：(a+b)+c=a+(b+c)/a

平行四边形法则(起点相同)减法求a与b的相反向量一b的和的运算叫做a与b的差aa—b=a+(—b)数乘求实数A与向量a的积的运算(1)l加l=lAllal；⑵当A>0时，,a的方向与a的方向相同：当AV0时，Aa的方向与a的方向相反：当A=0时，Aa=0.A(pa)=A〃a；(A+〃)a=Aa+〃a；A(a+b)=Aa+Ab向量加减法运算的两个关键点：加法的三角形法则关键是“首尾相接，指向终点”，加法的平行四边形法则和减法的关键是“起点重合，指向被减向量”．)D.OS平面内的单位向量有且仅有一个1.化简OP—QP+MS+QM)D.OS平面内的单位向量有且仅有一个A.OM B.SM C.PS2．下列给出的命题正确的是( )A.零向量是唯一没有方向的向量B.a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量相等的向量必是共线向量3.化简：①AB+BC+CD=—:②AB-AD-DC= ；@((AB—CD)—(AC—BD)= (4)BC+AB= ;(5)DB+CD+BC= ;(6)AB+DF+CD+BC+FA.设a,b为不共线向量，AB=a+2D,BC=—4a—b,CD=—5a—3b，则下列关系式中正确的是()A.AD=BCB.AD=2BCC.AD=—BCD.AD=—2BCTOC\o"1-5"\h\z已知a与b是两个不共线向量，且向量a+Ab与一(b—3a)共线，则久的值为( )A.1B.—1C.3D.—36..给出下列四个命题：①若lal=lbl，则a=b或a=—b；②若AB=DC,则四边形ABCD为平行四边形；③若a与b同向，且lal>lbl，则a>b；④A,“为实数，若Aa=yb，则a与b共线.其中假命题的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.47.在△ABC中，若D是AB边上一点，且ad=2DB,CD=|Ca+2CB，则2=( )2-2-3A.1-38.若O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2(OA+OB+Oc=0，那么(A.Ao=OdB.Ao=2ODC.Ao=30dD.2Ao=OdTOC\o"1-5"\h\z9.如图所示，向量OA=a，OB=b，OC=c，A、B、C在一条直线上，若AC=—3CB贝％1 ,3 3 1,A.c=—Qa+zbB・c=2°—护C.c=—a+2bD.c=a+2b10.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,AB+AD=AAO，则2= .下列命题正确的是( )向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数2,使b=2a在△ABC中，AB+BC+Ca=0c.不等式iai—ibiiwa+biwai+ibi中两个等号不可能同时成立D.向量a、b不共线，则向量a+b与向量a—b必不共线设e，e是两个不共线的向量，且a=e+人e与b=—^—e共线，则实数A=( )121231A-1-3A-1-3-c3B1-3D12•若ABCD是正方形，E是DC边的中点，且AB二a,AD二b，则BE等于A.b+*aB.b一*aC.a+*bD.a—2b13•在△ABC中，AB=c，AC=b.若点D满足BD=2DC，则AD二A.3A.3b+3c33b.3c-3b33d.3b+2c3314•设D,E,F分别为AABC的三边BC,CA,AB的中点，则EB+FC=A.ADB.A.ADB.2AD1bCC.2D.BC15•在四边形ABCD中，若AC=AB+AD，则四边形ABCD的形状一定是()(A)平行四边形(A)平行四边形(B)菱形(C)矩形(D)正方形16.已知正方形ABCD的边长为1，AB二a，BC=b，AC=c，则0+b+C等于((A)0(B)(A)0(B)3©、五 (D)2^2二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y使a=xi+yj，把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标. > A >设OA=xi+yj，贝9向量OA的坐标(x,y)就是终点A的坐标，即若OA=(x,y)，则A点坐标为(x,y)，反之亦成立(O是坐标原点).坐标运算：设a=(x,y),b=(x,y)，则:1122向量的加减法运算：a土b=(x土x，y土y)。 1212实数与向量的积：九a=九(兀，y)=(九x，九y)。1111平面向量数量积：a•b=xx+yy。1212向量的模：Iai=x2+y2,a2=IaI2=x2+y2。向量平行(共线)的充要条件：a//boa=Xbo(a・b)2=(IaIIbI)2oxy一yx=0 1—□ -已知A(xr，y1)，B(x2,y2)，则AB=*-x「y?-人)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.如若向量a=(x,1),b=(4,x)，当x= 时a与b共线且方向相同。向量垂直的充要条件：a丄boa-b=0oIa+b1=1a-bIoxx+yy=01212如例1已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC=(-4,-3)，则向量BC=()1•已知向量a=(1,j3)，b=(-2,0)，则a+b= .2•已知向量a=(2,-1)，b=(—1,3)，则2a一3b的坐标是.3•3•已知平面向量a=(1,2)，b=(-2,m)，且a//b，则2a+3b=A.(-5,-10) B.(-4,-8) C.(-3,-6) D.(-2,-4)已知向量a=(x,3)，b=G,i)，且a与b共线，则x等于 已知A(-1，-2)，B(4,8)，C(5,x)，如果A，B，C三点共线，则x的值为

6..设向量"=(，'b=(2，)，若向量九a+b与向量c=(—4,—7)共线，则九二 7、 已知A(x,2),B(5,y-2)，若ab=(4,6),则x、y的值为()A.x=－1，y=0 B.x=1，y=10 C.x=1，y=－10D.x=－1，y=－108、已知M(3,-2),N(-5,-1),MP=丄MN，则P点的坐标为()2A.(-8,1)B.(-1,—3)C.(1,3)D.(8,-1)221■9、 已知MA=(-2,4),MB=(2,6),则-AB= 厶10、 已知ab=(5, -3), C(-1,3), CD =2AB，则点D坐标是。11、 已知向量OA= (k, 12),OB=(4, 5),OC=(10,k)若A、B、C三点共线，则k=。12、 若向量BA二(12),CA二(4,5),则BC=A.(5,7)B.(—3,—3)C.(3,3)D.(—5,—7)课后练习：1.已知OA=(—1,2),OB=(3,m)，若OA丄OB，则m= ► ► ►2•若AB=(2,4),AC=(1,3),则BC=A.(1，1) B.(-1，-1) C.(3，7) D.(-3，-7)133•已知平面向量a=(11)b=(1—1)，则向量-a—-b=A.(—2,—1)B.(—21)C.(—1,0)D.(—1,2)4.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD=A.(-2 -4)B.(-3 -5)C.(35)D.(24)5•5•已知点O是平行四边形ABCD的对角线交点, ► > >AD=(2,5),AB=(-2,3),则CD坐标为,DO坐标为DO坐标为CO的坐标为.三、平面向量数量积的含义两个向量的夹角—> —>(1)定义：已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则ZAOB=6叫做向量a与b的夹角.范围：向量夹角8的范围是0°<0<180°,a与b同向时，夹角8=0。；a与b反向时，夹角8=180°.向量垂直：如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a丄b.2．平面向量数量积的意义a,b是两个非零向量，它们的夹角为0，则数ai・lbl・cos0叫做a与b的数量积，记作ab,即ab=lal・lbl・cos0规定0・a=0.当a丄b时，0=90°,这时a・b=0.a・b的几何意义：a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos8的乘积.3．数量积的坐标运算设a=(al，a2)，b=(b1，b2)，则(1)a・b=ab+ab.(2)a丄boab+ab=0・(3)lal=Ja2+a2.22112212ab+ab(4)o・b=ab+ab=lal・lbl・cos〈a,b〉ocos〈a,b〉= 11 22 ・11 22 订a2+a2 b2+b2'12 1 2平面向量数量积的运算已知a=(2，3)，b=(-2，4)，贝％a+b)・a-b= V丿若向量a,b满足lal=lbl=1,a与b的夹角为60°,则a-a+a-b= 已知lal=4,lbl=3,a・b=6,求a与b夹角= 已知a=(-1,2)，b=(2，-1)，求a与b的夹角= 已知lal=6，lbl=4,a与b的夹角为60°，则(a+2b)・(a-3b)等于A72 B-72 C36 D-3654ABC中，l初l二3，lACl二4，lBCl二5，则AB-BC= 已知lal=3，lbl=5，且a-b=12，则向量a在向量b上的投影为 已知lal二1，b=2，\a,bj=60°则a+b在向量a方向上的投影为 若a二1,b=2,c二a+b，且c丄a,则向量a与向量b的夹角为 ►—►■—® ►—►9.在AABC中AB=c,BC=a,CA=b，则下列推导正确的 ①若a•b<0则AABC是钝角三角形 ②若a•b=0，则AABC是直角三角形―!>■ -*—► —F—<■-«③若a•b二c•b,则AABC是等腰三角形④若|a1=1b-cI，则AABC是直角三角形则厶ABC是正三角形2、.运算律下列命题中：①a-(b-c)=a-b-a-c；@a-(b-c)=(a-b)-c；@(a-b)2=|aI2—21aI•IbI+IbI2:④若a-b=0,则a=0或b=0；⑤若a-b=c-b,则a=c:⑥—>—> —>a2=a2；⑦冬2=纟；⑧(a-b)2=a2-b2；⑨(a一b)2=a2-2a-b+b2。其中正确的是 a2a已知lal=2,lbl=4,a与b夹角为60°，求a・b,(a+可2,|a+bl已知a+b+c=0且lal=3,lbl=1,lcl=4,计算:(1)a・b;(2)a・b+b・c+a・c千 ■已知IaI=4，IbI=2，且a与b夹角为120°求:⑴(a-2b)•(a+b)；—■■⑵I2a-bI

关于模的问题TOC\o"1-5"\h\z—» —» -> -> —»» —» —> —>I I—> —>1.已知向量a,b满足a二6,b二4，且a与b的夹角为60o,求a+b|和\a-3b2.已知a与b的夹角为120o,a二3,a+b ，则= 3、已知向量a,3、已知向量a,b夹角为45°，且IaI二1, I2a-b1= J10，则IbI二—►—► —> —> —> —>4、已知a,b是两个非零向量，且a=b=a-b，则a与b夹角为.5、若向量a,c满足a//b且a丄C,则c•a+2bk丿已知IaI=1，b=2,，:：a,b)=60。则2a一b= 8.已知课后练习：1、若向量a=(1‘1)，b=(—1,2)，则a•b等于 .2、已知平面向量a=2、已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m)，且a//b，则2a+3b=.—►—►—►—►—►—►―►―►—►—►3.已知a=6，b=6丁2，(a-b)-(a+3b)=-108，则a与b的夹角<a,b>=.4.已知向量p=(2，—3)，q=(x,6)，且p//q，则|p+q的值为()A.*5B.\13 c.5 D.135•已知平面向量ab的夹角为二且a-b=3，a\=3，则0|等于()6A.B.2\；3 C.-3D.236.已知a=(一丫3，1)，b=(1，x)，若a丄b，则x等于( )A.2B.€2c.3D.若向量BA=(12),CA=(4,5),则BC

A(5,7)B(—3,—3)C(3,3)D・(—5,—7) t 1 ► > I►8.已知向量AB=(3,7),BC=(—2,3)，则一-AC=()A.(1\A.(1\——,5I2丿B.[丄,5]12丿C.]-5]丿丿D.(1,-5丿12丿复数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a+bi(a,bWR)的数叫复数，其中a,b分别是它的 和—若b=0,则a+bi为实数；若bHO,则a+bi为虚数；若，则a+bi为纯虚数.复数相等：a+bi=c+diO (a,b,c,d£R).共轭复数：a+bi与c+di共轭少(a,b,c,d^R).复数的模：向量OZ—的模r叫做复数z=a+bi(a,b^R)的模，记作Izl或la+bil,即lzl=la+bil=\'a2+b2.复数的几何意义——对应复数z=a+b「 -复平面内的点Z(a,b)(a,b^R).复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设Z]=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d^R)，贝V加法：Z]+z2=(a+bi)+(c+di)=；减法：Z]—z2=(a+bi)—(c+di)=；乘法：ZfZ2=(a+bi)・(c+di)=；除法：Z]=a^=(a+bi)(c—di)、 z2c+di(c+di)(c—di)3+4i=1.设i为虚数单位，则复数iA.—4i—3i B.—4i+3i C.4+3i D.4—3i2•复数Z二i-(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.复数(1—i)2的虚部为 .

i4•复数Z=1+i(其中i为虚数单位)的虚部是()1A •2111B.~2 i B.－ic.12－1