课件高数同济完美版

第一单重积分的概念和性一、本单元的内容要二、本单元的教学要 重积分的在《微积分》上册中，我们知道：区间[ab]上函数f(x,y)的定积分为：b b f(x)dxlimf()x 0yyyy=fDoabxbS fb引例 曲顶柱体的体 为D，顶面方程为z=f(x,y)分割用曲线网将D分割成若干o…,nx

z=f(x,y取点在区域Di(ii)，当Di很小时，vif(i,i vvif(i,i

z=f(x, 取极限记yoy xmax{dDi}nvlimf(i,i)in0引例 平面薄片的质分割用曲线网将D分割成若干小区域Di为i；i=1,2,…,n取点在区域Di(ii)y

(i,iMi(i,i)i MMi(i,i)i i i取极限

Mj,MknMlim(i,i)in0nlimf(i,i)in0f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数。将闭区域任意划分成n个小 ,Dn并用i表示小区域Di的面积。任取(i,i)∈Di，作nnn0函数f(x,y)在区域Df(x,y)dnDn

f(x,y)d

lim

f(i,i)i i其中f(x,y)f(x,y)d称为被积表达式，d称为面积元素。 Vf(x,y)dD (x,y)dD注 当以直线方式对区域进行分割时，得△=dxdy,f(x,y)dxdyD定义设f(x,y,z)是有界闭区域上的有界函数。将闭区1,2 n∈i，作nf(i,i,imax{di

nlimn

f(i,i,

i)Vi i存在，则称此极限为函数f(x,yz)在闭区域上的三重积f(x,y,z)dV即nf(x,y,z)dVlimf(i,i)in 0注 若f(x,y,z)是有界闭区域上的密度函数，则其质Mf(x,y,z)dV重积分的 数，，函数f(x,y)+g(x,y)可积，且[f(x,y)g(x,y)]dxdyf(x,y)dxdyg(x, 若函数f(x,y)在D上可积，用曲线将D分割成个小区域D1，D2f(x,y)dxdyf(x,y)dxdyf(x, 若函数f(x,y)在D上可积，且在D上有f(x,y)则f(x,y)dxdy0D 若函数f(x,y)在D上可积，则函数|f(x,y)|在D上f(x,y)dxdyD

D

f(x,y

dxdy 若函数f(x,y)在D上连续，则在D上至少存在一点(,)，使得f(x,y)dxdyfD其中(D)表示区域D的面例试比较下面两个积分的大小

x2其中D是以(0,0)(1,-1),(1,1)为顶点的三角形闭区D0x2y2x2y2

x2x2x2 DF(x,y)x2y2x22y124 F(x,y)2x2xxF(x,y)2y2y1,x2

y122

2

25555 5555 m522,M522D

x2y2d45 设函数f(x,y)在闭区域D上连续，按定义证明：f(x,y)df(x, D(3)若区域D关于y轴对称,f(x,y)df 从而，若f(x,y)关于y为奇函数，则f(xy)d0D证由于区域关于y轴对称，故分割时用x=0作为其中的nn 0n f(x,y)d 0

i i i i i i i i i i i i则 f(,则0 0 f(x,y)df(x, 设函数f(x,y)在闭区域D上连续，区域D关于y函数f(x,y)关于变量xf(xyf(xy)，f(x,y)