八年级数学-全等三角形全章复习与巩固(基础)知识讲解【名校试题详细解答】

已知已知一边一角全等三角形章复习与巩（基础）【习标1.了全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证.【识络【点理要一全三形判与质一般三角形

直角三角形判定

边角边（）角边角（）角角边（）边边边（）

两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边、直角边定理（）性质备注

对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）判定三角形全等必须有一组对应边相等要二全三形证思角边角HL找另一边SSS角的对边找任一角角的另一边SAS角的邻边边的一角ASA找边的对角AAS边ASA角找任一边AAS要三角分的质1.角平线性定角的平分线上的点到这个角的两边的距离相.2.角平线判定角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线.

3.三形角分三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相.4.与平线关辅线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线.要四全三形明法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方.．证明段等方：(1)证明条线段所在的两个三形全.(2)利角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相.(3)等性.．证明相的法(1)利平行线的性质进行证.(2)证两个角所在的两个三角形全.(3)利角平分线的判定进行证.(4)同（等角）的余角（补角）相.(5)对角相等．证明条段位关（行垂）的法可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证.．辅助的加(1)作公共边可构造全等三角形(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻变换全等三角形；(4)利用截长(或补短法作旋转变换的全等三角.证三形等的维法（1）直接利用全等三角形判定证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条（2）如果要证明相等的两条线或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条（3）如果现有图形中的任何两三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性.【型题类一全三形性和定1两个大小不同的等腰直角三形三角板如图1所示放置2是它抽象出的几何图形，，C，E在一条直线上连结．(1)请找出图2中的等三角形并给予证（明结论中不得含有未标识的字母(2)证明：DC⊥BE.

【路拨eq\o\ac(△,】)ABE△ACD，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到证ABE≌eq\o\ac(△,；)通全等三角形的性，通过导角可证垂.【案解】解）eq\o\ac(△,≌)ABE△ACD证明：∠BAC＝∠EAD＝90°∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋即∠BAE∠CAD又AB，AE＝AD，eq\o\ac(△,≌)ABE（SAS）（2）由（）得∠＝∠CDA,又∠COE＝∠AOD∠BEA＋∠COE＝∠CDA＋∠AOD则有∠DCE＝180°－90°＝90°所以DC⊥BE.【结华我们可以试着从变换的角看ABE与△ACD后一个三角形是前一个三角形绕着点时针旋转90°得的，对应边的夹角等于旋转的角度90°即DC举反：【变式】如图，已知AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC∠B∠C求证BD＝CE.【案证明：∵AE，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋，∠DAB∠EAC.在△与△EAC中，

∴eq\o\ac(△,≌)△EAC（ASA）∴BD＝CE.类二巧辅线造等角．公边构全三角：2、如：在四边形中，AD∥CB，AB∥CD.求证：∠B＝∠D.【路拨∠B与∠不含任何两个三角形中，只有添加辅助线A，根据平行线的性质，可构造出全等三角形.【案解】证明：连接AC，∵AD∥CB，AB∥CD.∴∠1＝∠2，∠3＝在△ABC与△CDA中CA

∴eq\o\ac(△,≌)△CDA（ASA）∴∠B＝∠D【结华添加公边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件果∠＝则接对角线BD.举反：【变式】在中，AB求证：∠B＝∠C

【案证明：过点A作AD⊥BC在Rt△ABD与Rt△ACD中

ADAD∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴∠B＝∠C.．长线：3、己知：在Δ中AD为线求证：＜

12

【案解】证明：延长AD至E，使DE＝AD∵AD为中，∴BD＝CD在△与△EDB中DB

AD∴eq\o\ac(△,≌)△EDB（SAS）∴AC在△中，＋BE，即AB＋AC＞2AD∴AD

12

.【结华用倍长中线可将线段AC，2AD转到同一个三角形中把散的条件集中起来倍中线法实际上是绕着中点D旋180°.举反：

【变式】若三角形的两边长分别为5和7,则第三边的中线长x的值范围()A.1＜＜6B.5＜7C.2＜x＜12D.法确定【案A；提示：倍长中线构造全等三角形－5x

＋5，所以选A选.作以平线对轴翻变构全三角：4、在ΔABC中，＞AC.求证：∠B＜∠C【案解】证明：作∠的分线，交BC于，把△ADC着AD折叠，使点与E点合在△与△ADE中AE

AD∴eq\o\ac(△,≌)ADC△ADE（SAS）∴∠AED＝∵∠AED是△的角，∴∠AED＞∠B，∠＜【结华作以角平分线为对称轴的折变换构造全等三角.．用长或短)构全三形5、如图所示，已知△ABC中AB，AD是BAC的分线M是AD上任意一点，求证：MB＜AB．【路拨因为AB＞AC，所以可在AB上取线段AE，这时＝AB，如果连接EM，△BME中，显然有－ME＜BE．这表明只要证明ME，则结论成立．【案解】证明：∵AB，则在AB上截AE＝AC连接ME在△中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边在△和△AME中

AE(所作，EAM(角平分线的定义，

AMAM(公共边，∴△AMC≌△AME∴MC＝ME（全等三角形的对应相等又∵BE＝AB，∴BE＝AB，∴MB－MC－AC．【结华充分利用角平分线的对称，截长补短是关.类三全三形态问6、如图1⊥BD于点B，ED⊥BD点，是BD上点．且BC＝DE，CD．（1）试判断AC与CE的置关系，并说明理由；（2）如图（2把△沿线BD左平移，CDE顶点与重，此时第（1）问中AC与BE的置关系成立吗？（注意字母的变化）【案解】证明）AC⊥CE理由如下：,在△和△CDE中,∴eq\o\ac(△,≌)△CDE（SAS∴∠ACB＝∠E．又∵＋∠ECD＝90°，∴∠ACB＋＝90°．∴AC⊥CE．（2）∵△ABC各点的位置没，在平移过程中，一直还有BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，

AB

，∴也直有△ABC≌△

C

(SAS)．∴∠ACB＝∠E．而∠＋∠

EC

＝90°，∴∠ACB＋∠

EC

＝90°．故有AC⊥

C

，即与BE的置关系仍成立．【结华变还是不变，就在运动的过程中，本质条件（本题中的两三角形全等）变还是没变．本质条件变了，结论就会变；本质条件不变，仅仅是图形的位置变了。结论仍然不变．举反：

【变式】如(，△ABC中BC＝AC中＝CD现把两个三角形的C点合，且使∠BCA＝∠ECD，连接，AD求证BE＝AD若将△DEC点C旋