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文档简介
专题十二数系的扩充与复数的引入
基础篇固本夯基
考点一复数的概念与几何意义
2i
1.(2022届T8联考,2)已知z="Ll+2i,则复数z在复平面内对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案B
2.(2022届辽宁六校期初联考,2)复数z满足z(l+i)=2021-i(i为虚数单位),则复数z的虚部为()
A.lOilB.lOlli
C.-lOilD.-lOlli
答案C
2
3.(2022届湖北部分重点中学开学联考,2)已知i是虚数单位,则复数z1.一”的共拆复数为()
A.2iB.-2iC.iD.-i
答案D
4.(2022届湘豫名校8月联考,3)已知复数z在复平面内对应的点在直线y=-x上,且|z|=6,则z(l+i)=()
A.2B.-2
C.±2D.2i
答案C
5.(2022届山东日照开学校际联考,4)若复数z满足|z-2-3i|=5,则复数z的共辗复数不可能为()
A.5+2iB.-2-6iC.5-7iD.2-8i
答案A
2
6.(2022届湖南岳阳一中入学考,2)已知复数ziJ+%2=a+i(a£R),若zi,Z2在复平面内对应的向量分别为
%,畛(O为坐标原点),且产jOZ/z则a=()
A.lB.-3
C.1或-3D.-1或3
答案C
2-i
7.(2022届湖北九师联盟10月质检,2)已知复数z='+1则下列说法正确的是()
^10
A.Z的模为2
3
B.z的虚部为*i
13
C.z的共朝复数为
D.z的共期复数在复平面内对应的点在第四象限
答案A
8.(2022届江苏如皋中学月考,5)已知复数z满足|z-l|=|z-i|,则在复平面上z对应的点的轨迹为()
A.直线B.线段
C.圆D.等腰三角形
答案A
9.(多选)(2022届湖北九师联盟10月质检,10)设Zi,Z2是复数,则()
A守国.务
B.若Z1Z2£R,则Z1二为
C.若|Z1・Z2|=O,则"步
D.若"+1=0,则Z1=Z2=O
答案AC
10.(2020课标川理25分)复数I-3*的虚部是()
31
A.-«B.-«
C访D«
答案D
11.(2021北京朝阳一模,2)如果复数S(b£R)的实部与虚部相等,那么b=()
A.-2B.1
C.2D.4
答案A
1-个
12.(2021石家庄二模,1)已知i为虚数单位,复数则z的虚部为()
1111
A2B.-2iC.-2D2i
答案C
13.(2019课标II理25分)设z=-3+2i,则在复平面内”对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案C
14.(2020浙江24分)已知aeR,若a-l+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=()
A.lB.-1
C.2D.-2
答案c
15.(2021河北唐山三模,2)已知i是虚数单位,adR,若复数1-%为纯虚数,则a=()
11
A.-2B.2C.-2D2
答案A
14Tl
44
16.(2021广东珠海一模,2)设i是虚数单位,复数zi=i202i,复数z2=mL则zi+Z2在复平面上对应的点在
()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案A
17.(2020北京24分)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则iz=()
A.l+2iB.-2+i
C.l-2iD.-2-i
答案B
2-i
18.(2021新高考ll,L5分)在复平面内,复数1—38对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案A
2
19.(2021湖北九师联盟质检,2)设复数z=l+i(i是虚数单位),则复数・-(iz)2在复平面内对应的点在()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案A
20.(2019课标I理25分)设复数z满足|z-i|二l,z在复平面内对应的点为仅》),则()
A.(x+l)2+y2=lB.(x-l)2+y2=l
C.x2+(y-l)2=1D.x2+(y+l)2=l
答案C
21.(2020课标I文,2,5分)若z=l+2i+i3,则|z|二()
A.OB.lC.6D.2
答案C
22.(2021河北唐山二模,5)设复数z满足|z-2i|=l,在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是()
A.lB*C*D,3
答案D
23.(2017课标I理,3,5分)设有下面四个命题:
1
pi:若复数z满足*WR,则ZWR;
P2:若复数z满足z2gR,则Z£R;
P3:若复数Z1,Z2满足Z1Z2GR,则Z1=*2;
P4:若复数z£R,贝『WR.
其中的真命题为()
A.pi,p3B,pi,p4
C.P2,P3D.p2,p4
答案B
24.(2021辽宁丹东二模,3)在复平面内,。为坐标原点,复数z,z+l对应的点都在单位圆O上,则z的实部为
)
s/5im坦
A.-2B/C.2D.2
答案B
25.(2021湖北黄冈中学三模,3)已知复数z满足z2+4i=0,则团=()
A.4B.2C.6D.1
答案B
26.(多选)(2021广东湛江一模,9)若复数z=*-M()
A.|z|=2B.|z|=4C.z的共题复数'=4+iD.z2=4-2^i
答案AC
2
27.(多选)(2021山东德州二模,9)已知复数为虚数单位),下列说法正确的是()
A.zi对应的点在第三象限
B.zi的虚部为-1
D.满足|z|=|zi|的复数z对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上
答案AB
28.(多选)(2021江苏无锡二模,9)设复数z=a+bi,aeR,beR(i为虚数单位),则下列说法正确的是()
2021
£
A.若a=0,b=l厕1zk=i
*竺
B.若a=3b=-2,则z2=*
C.“zeR”的充要条件是“z=|z|"
D.若a=cos0,b=sine(0<e<Tij,则复数z在复平面上对应的点在第一或第二象限
答案AB
29.(2021江苏常州一模,14)已知复数z对应的点在复平面第一象限内,甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述
如下(i为虚数单位):甲:z+、2;乙:z产=24多丙:z%4;丁.在甲、乙、丙、丁四人的陈述中,有且只有两
个人的陈述正确,则复数z=.
答案1+i
30.(2021辽宁抚顺二模,14)已知|z+*i|+忆-谯"=6,则复数z在复平面内所对应的点P(x,y)的轨迹方程
为.
答案八4=1
考点二复数的运算
2i
1.(2022届长沙长郡中学第一次月考,2)设复数z满足z=T+i,则|z|=()
A.lB*
Ie
C.2D,2
答案B
2.(2021新高考1,2,5分)已知z=2-i,则z「+i)=()
A.6-2iB.4-2i
C.6+2iD.4+2i
答案C
2-i
3.(2020新高考1,2,5分严方=()
A.lB.-lC.iD.-i
答案D
4.(2021全国乙理,1,5分)设2(z+5+3(z-5=4+6i则z=()
A.l-2iB.l+2i
C.l+iD.l-i
答案C
5.(2021全国乙文25分)设iz=4+3i,!Mz=()
A.-3-4iB.-3+4iC3-4iD.3+4i
答案C
6.(2020课标II文25分)Q・i)4=()
A.-4B.4C.-4iD.4i
答案A
7.(2020课标川文25分)若“(l+i)=l-i,则z=()
A.l-iB.l+i
C.-iD.i
答案D
3-i
8.(2019课标I文,1,5分)设zJ+费,则|z|=()
A.2B*C*D,I
答案C
(北京,文理分)已知复数则(
9.20192,1,5z=2+i,zH=)
AmB*C,3D,5
答案D
10.(2021上海,1,4分)已知zi=l+i,Z2=2+3i,贝ijzx+z2=
答案3+4i
fr4-7i
11.(2018天津文(理),9,5分)i是虚数单位,复数1+痂=
答案4-i
12.(2021福建厦门三模)若复数z=a+bi(a,bGR,i为虚数单位)满足|z-2i|=团写出一个满足条件的复
数:z=.
答案1+i(答案不唯一)
综合篇知能转换
考法复数代数形式的四则运算的解题方法
1
1.(2022届重庆巴蜀中学月考(一),3)已知i是虚数单位,z为复数,2+S=z(3+i),则在复平面内z对应的点位于
()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案D
2.(2022届福建泉州科技中学月考,4)若z=l+i,则日+母的虚部为()
A.iB.-i
C.lD.-l
答案D
2-i
3.(2022届广东深圳光明第一次调研,2)已知则、()
4343
55.S5.
AA.+IDB.-I
3434
C.幸D.行i
答案C
4.(2022届广东深圳龙岗一中期中,3)已知复数z满足z(2+i)=|3+4i|(其中i为虚数单位),则复数=()
A.2-iB.-2+i
C.2+iD.-2-i
答案C
5.(多选)(2022届山东烟台莱州一中开学考,12)1487年,瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关
系,并写下公式:ei^cose+isin8这个公式在复变函数中有非常重要的地位,即著名的“欧拉公式”,被誉为“数
学中的天桥”,据欧拉公式,则()
J
A.=iB.||=1
C.l2,=1D.cos4=2
答案ABD
6.(2021浙江24分)已知aeR,(l+ai)i=3+i(i为虚数单位),则a=()
A.-lB.l
C.-3D.3
答案C
7.(2020课标I理,L5分)若z=l+i,则|z2-2z|二()
A.OB.l
C.6D,2
答案D
5i
8.(2021广东肇庆二模,2)在复平面内,复数“J一躯(i为虚数单位),则z对应的点的坐标为()
A.(3,4)B.(-4,3)
答案D
9.(2017天津文(理),9,5分)已知asR,i为虚数单位,若计,为实数,则a的值为.
答案-2
_J3
10.(2020课标II理,15,5分)设复数zi,Z2满足|ZI|=|Z2|=2,ZI+Z2=+i,则|zi-Z2|=.
答案击
11.(2021天津一中5月模拟,13)若复数z=,则z=.
答案25
专题十二数系的扩充与复数的引入
考点一复数的概念与几何意义
1.(2019课标II文25分)设z=i(2+i),贝/=()
A.l+2iB.-l+2i
C.l-2iD.-l-2i
答案D本题主要考查复数的有关概念及复数的运算;考查学生的运算求解能力;考查数学运算的核心素
养.
•・Z=1(2+。=21+12=・1+2仁\・1-21故选D.
解题关键正确理解共聊复数的概念是求解的关键.
2.(2017课标川文,2,5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
答案Cz=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-l=-l-2i,所以复数z在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限.故选C.
3.(2017课标川理25分)设复数z满足(l+i)z=2i,则团二()
A2B.2C6D.2
答案C本题考查复数的运算及复数的模.
2i2cH■!)
-1+i—i)2i
\(zl+l)Z=2l,.;Z==-=1+1.
I,Vl2+120
,|z|==•
-题多解•.(l+i)z二2i「|l+i||z|=|2i|,即"^•|z|=2,..|z|二0
4.(2017课标I文,3,5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是()
A.iQ+i)2B.i2(l-i)C.(l+i)2D.i(l+i)
答案C本题考查复数的运算和纯虚数的定义.
A.i(l+i)2=ix2i=-2;
B.i2(l-i)=-(l-i)=-l+i;
C.(l+i)2=2i;
D.i(l+i)=-l+i,故选C.
5.(2016课标I理25分)设(l+i)x=l+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=()
A.lB.6C*D,2
答案B-.x,yR,(l+i)x=1+yi,/.x+xi=1+yi,
fx=1.
.•&u'.lx+yikll+ik"1".'Lg.故选B.
评析本题考查复数相等的条件,属容易题.
6.(2016课标I文25分)设Q+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=()
A.-3B.-2C.2D.3
答案A.(l+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+l)i,
・•・a・2=2a+L解得a=3,故选A.
解后反思将复数化为x+yi(x,yGR)的形式,然后建立方程是解决问题的关键.
评析本题主要考查复数的运算及复数的有关概念,将复数化为x+yi(x,yGR)的形式是解题关键.
7.(2016课标II文25分)设复数z满足z+i=3-i,则工=()
A.-l+2iB.l-2iC.3+2iD.3-2i
答案Cz=3-2i,所以*=3+2i,故选C.
8.(2016课标III文25分)若2=4+3回户=()
4343
A.lB.-lC5+5iDS-Si
,,J.43
答案D由2=4+31得忆|=0$+4=5*=4-31则旧=5-4故选口.
2i
9.(2015安徽理,1,5分)设i是虚数单位,则复数,T在复平面内所对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
.api+i).
答案B2=-l+ij.复数'-i在复平面内所对应的点是(-1,1),它位于第二象限.
1+z
10.(2015课标I理,1,5分)设复数z满足"、i,则|z|=()
A.lB.0C*D,2
1+zi-1O-l)2-2i
答案A由已知1r工可得zU+ZEDOT)二一2二仁团二川=1,故选A.
11.(2015湖北理,L5分)i为虚数单位a。的-为()
A.iB.-iClD.-l
答案A-.i607=j4xl51+3=(j4)151.j3=_j/
.手。7的共辗复数为i.
12.(2014课标II理,2,5分)设复数am在复平面内的对应点关于虚轴对称,zi=2+i,则ZiZ2=()
A.-5B.5C.-4+iD.-4-i
答案A由题意得Z2=-2+i,.zz2=(2+i)(-2+i)=-5,故选A.
13.(2014重庆理,1,5分)复平面内表示复数i(l-2i)的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
答案Ai(l-2i)=i-2i2=2+i,对应复平面上的点为(2,1),在第一象限.选A.
14.(2014课标坟,3,5分)设zJ+1i,则|z|=()
A2B.2C,2D,2
2-iziitE更
答案Bz=n+'+i=2+i=2+4,因此故选B.
15.(2013课标I理25分)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()
44
A.-4B.-C.4D,5
____55(3441)344
答案D|4+3i|="'+于=5,2=27=2S=5+用虚部为S,故选D
16.(2013课标II文,2,5分)目)
A卢'B.2C.6D,1
答案C目」与I一一选C.
2
17.(2012课标理,3,5分)下面是关于复数z=-'+j的四个命题:
Pi:|z|=2,P2:z2=2i,
P3:z的共聊复数为1+i,P4:Z的虚部为-1.
其中的真命题为()
A.P2,P3B.pi,p2C.P2,P4D.p3,p4
2MTf
答案CZuT+U-H荻Tf=-l-i,所以|z1=6,pi为假命题;z2=(-l-i)2=(l+i)2=2i,p2为真命
题;-=-l+i,P3为假命题;P4为真命题.故选C.
评析本题考查了复数的运算及复数的性质,考查了运算求解能力.
-3+i
18.(2012课标文25分)复数z=2+4的共羯复数是()
A.2+iB.2-iC.-1+iD.-1-i
答案Dz=咐==5=-1+/=一l.i,故选D.
评析本题考查了复数的运算,易忽略共聊复数而错选.
19.(2011课标理,1,5分)复数1-2s的共轨复数是()
33
A.-SiB5iC.-iD.i
答案C为"+同』,其共轨复数为-i,故选c.
评析本题考查复数的除法运算和共朝复数的概念,属容易题.
20.(2016课标II,1,5分)已知z=(m+3)+(m-l)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是
()
A.(-3,l)B.(-l,3)
C.(l,+8)D.(-8,-3)
£m+3>Ov尸>一3.
答案A由已知可得1v°==-3<m<l.故选A.
方法总结复数的实部、虚部分别是其在复平面内对应点的横坐标、纵坐标,所以研究复数在复平面内的对
应点的位置时,关键是确定复数的实部和虚部.
21.(2016山东,1,5分)若复数z满足2z+*=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()
A.l+2iB.l-21
C.-l+2iD.-l-2i
答案B设2=2+片似、beR),贝i]2z+*=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,:.a=Lb=-2,;.z=l-2i,故选B.
22.(2019江苏25分)已知复数(a+2i)(l+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.
答案2
解析本题考查了复数的概念及运算,考查了学生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.
:(a+2i)(l+i)=(a-2)+(a+2)i的实部为0,
..a-2=0,解得a=2.
解题关键掌握复数的有关概念及代数形式的四则运算是解题的关键.
23.(2017江苏25分)已知复数z=(l+i)(l+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.
答案v
解析本题考查复数的运算.
.z=(l+i)(l+2i)=l+2i+i+2P=3i-l,
■|z|==•
24.(2016江苏25分)复数z=(l+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是.
答案5
解析(l+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的实部为5.
25.(2016北京理,9,5分)设aWR.若复数(l+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=.
答案-1
解析(l+i)(a+i)=(a-l)+(a+l)i,:aeR,该复数在复平面内对应的点位于实轴上,,a+l=O,,a=-L
26.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(l-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为.
答案-2
解析■.(l-2i)(a+i)=2+a+(l-2a)i为纯虚数,
-2a*0.
C+解得a=-2.
27.(2015重庆理,11,5分)设复数a+bi(a,bGR)的模为v,则(a+bi)(a-bi)=.
答案3
解析复数a+bi(a,beR)的模为""'序=吏则a2+b2=3,贝Ij(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b20=a2+b2=3.
考点二复数的运算
3-1
1.(2019课标I文,1,5分)设z)+及则团=()
A.2B*C.6D,1
答案C本题考查复数的四则运算;考查了运算求解能力;考查的核心素养为数学运算.
3-i
_frti_(l+2i)(l-2S)
.Zv——
3-7H-2I2l-7i17
^^=丁齐,
.・卯•国0,故选c.
易错警示易将i2误算为1,导致计算出错.
2.(2019北京,理1,文2,5分)已知复数z=2+i,则z*=()
A.0B甫C.3D,5
答案D本题主要考查复数的运算,共聊复数的概念,考查学生运算求解的能力,考查的核心素养是数学运
算.
:z=2+i,」=2-i,N*=(2+i).(2-i)=4+l=5,故选D.
3.(2018课标II文,1,5分)i(2+3i)=()
A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i
答案D本题主要考查复数的四则运算.
i(2+3i)=2i-3=-3+2i,故选D.
4.(2018课标”,理2,文2,5分)(l+i)(2-i)=()
A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i
答案D本题考查复数的运算.
(l+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,故选D.
5.(2018北京理,2,5分)在复平面内,复数‘一i的共轨复数对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案D本题主要考查复数的概念、运算和几何意义.
1VH111111p_IX
・・•1二(1一"(f岑.其共乐复数为"又Z3在复平面内对应的点中在第四象限,故选D.
6.(2017课标II文25分)(l+i)(2+i)=()
A.l-iB.l+3iC3+iD.3+3i
答案B本题考查复数的基本运算.
(l+i)(2+i)=2+i+2i+i2=l+3i.故选B.
7.(2017山东文25分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=l+i则z2=()
A.-2iB.2iC.-2D.2
答案A本题考查复数的运算.
1+i
由zi=l+i得z=.=l-i,
所以z2=(l-i)2=・2i,故选A.
41
8.(2016课标川理25分)若z=l+2i,贝।严一1()
A.lB.-lC.iD.-i
414i
答案C;z"=Q+2i)Q-2i)=5,产T=4=i,故选c.
l+2i
9.(2016北京文25分)复数2T=()
A.iB.l+iC.-iD.l-i
l+2iCl+2i)OH)2+H4H-2I25i
答案A2-i=m2a4一W二气j,故选A
10.(2015课标II理25分)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=(
A.-lB.OC.ID.2
2
答案B-,(2+ai)(a-2i)=-4i=>4a+(a-4)i=-4if
产=0.
匕-4=-4解得齐0.
11.(2015课标I文,3,5分)已知复数z满足(z-l)i=l+i,则z=()
A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i
1+i
答案C由已知得2=1+l=2-i,故选C.
2+M
12.(2015课标II文,2,5分)若a为实数,且'+、3+i,则a=()
A.-4B.-3C.3D.4
答案D由已知得2+ai=(l+i)(3+i)=2+4i,所以a=4,故选D.
13.(2015安徽文,1,5分)设i是虚数单位,则复数(l-i)(l+2i)=()
A.3+3iB.-l+3iC.3+iD.-l+i
答案C(l-i)(l+2i)=l+2i-i-2i2=3+i.
14.(2015湖南文,1,5分)已知z=l+i(i为虚数单位),则复数z=()
A.l+iB.l-iC.-l+iD.-l-i
(i-o22Fl
答案Dz=1+iD.
(i+D:
15.(2014课标I理25分)SF=()
A.l+iB.l-iC.-l+iD.-l-i
(i+D:(i+D:1+1+方
答案D("炉=('一"2(1+尸+¥-2sQ+g-l-i,故选D.
l+3i
16.(2014课标II文,2,5分)"'=()
A.l+2iB.-l+2iC.l-2iD.-l-2i
l+3i-i+4i
答案B=2=-i+2i,故选B.
17.(2013课标II理,2,5分)设复数z满足(l-i)z=2i,则z=()
A.-l+iB.-l-iC.l+iD.l-i
28
答案A由题意得z='T=―2~=-l+i,故选A.
l+2i
18.(2013课标I文25分)“一"=()
1111
A.-l-2iB.-l+2iC.l+2iD.l-2i
l+2i_l+2i(1+2可-计i1
E===E=k=_i+Z故选B.
答案B
5i
19.(2011课标文25分)复数工一2s=()
A.2-iB.l-2iC.-2+iD.-l+2i
51巩工+-SfiT)
答案C"万=(”为(1+20=5=_2+i,故选C.
评析本题主要考查复数的基本运算,分母实数化是解答本题的关键,属容易题.
&4-7i
20.(2018天津,理9,文9,5分)i是虚数单位,复数计公忆.
答案4-i
解析本题主要考查复数的四则运算.
&¥7ig71)(1-2i)20-Si
_-
fj^=(i+2i)(i-a)=F=4_j
21.(2018上海,5,4分)已知复数z满足(l+i)z=l-7i(i是虚数单位)厕|z|=.
答案5
l-7i("硕"。-6-S
解析本题主要考查复数的运算.由Q+i)z=l-7i得z='五="门"一"=2=-3-4i,
一年.(一靖
/.|z|==5.
a
22.(2016天津理,9,5分)已知a,beR,i是虚数单位.若(l+i)(l-bi)=a,则"的值为.
答案2
产+1=«,
解析由(l+i)(l-bi)=a得l+b+(Lb)i=a,则卜一5=6
fa=2--
解得也=〔,所以*=2.
专题十二数系的扩充与复数的引入
一、选择题
1.(2021安徽宣城第二次调研,2)若复数(4+ai)(l+i)(i为虚数单位,a£R)为纯虚数,贝Ua的值为()
A.-4B3C.4D.5
答案C•.•(4+ai)(l+i)=4+ai+4i+ai2=4-a+(a+4)i,..4-a=0,a+4±0JMa=4.故选C.
2.(2021湘豫名校联盟4月联考,2)已知复数z满足z+\8,z*=25,则z=()
A.3±4iB.±3+4iC.4±3iD.±4+3i
答案C设z=a+bi(a,b£R),依题意得2a=8,a2+b2=25.解得a=4,b=±3,所以z二4±3i.故选C.
旧尸
3.(2022届河南省实验中学11月月考,2)已知i为虚数单位,若t为纯虚数,则实数x的值为()
A.lB.2C.-lD.-2
旧尸*理・1+
答案B因为t=-*-=-(x-2)-i为纯虚数,所以x-2=0,则x=2.故选B.
4.(2022届重庆缙云教育联盟11月质检,2)如图,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为L复数zi
向
和Z2对应的点分别是A和B,则等于()
0x
宠"一
百
A.2B.lC.5D
闫向西
答案D由题图知,A(0,l),B亿-l)「Zi=i,Z2=2-i,则同=同=钙.故选D.
5.(2022届安徽淮南第一中学月考三,2)若复数z二・(i为虚数单位),则复数,在复平面内对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
2-i
答案B.z==-l+2i,.1复数在复平面内对应的点(-1,2)位于第二象限.故选B.
6.(2020内蒙古赤峰二模,2)设复数z在复平面上对应的点为(1,-1)'为z的共聊复数,则()
A.Z+'是纯虚数B.Z-*是实数
Z
Cz31是纯虚数D”是纯虚数
答案D••复数z在复平面上对应的点为」=l+i.对于从2+*=14+:1+1=27+”是实数,故A
错误;对于B,z-、l-i-l-i=-2i,z-H是纯虚数,故B错误;
对于C,z*=Q-i)(l+i)=2,zH是实数,故C错误;
Z1-HZ
对于。,7豆产是纯虚数,故D正确.故选D.
名师点睛复数的分类:
'珏心=。>
kfi»(a=O)v
+O)
z=a+bi*
7.(2022届内蒙古海拉尔第二中学期中,2)已知i为虚数单位,以下四个说法中正确的是()
A.已知复数z满足|z-l|=|z+l|,则复数z在复平面内对应的点的轨迹为圆
B.复数z=3-i的虚部为-i
C.若z=(l+2i)2,则复数”在复平面内对应的点位于第二象限
D.i+i2+i3+i4=o
答案D对于A:|z-l|=|z+l|=|z-(-l)|表示复数z对应的点到点AQQ)和点B(-l,0)的距离相等,故复数z
对应的点的轨迹是线段AB的垂直平分线,故A不正确.
对于B:复数z的虚部为-1,故B错误.
对于C:z=(l+2i)2=-3+4i,=-3-4i,故复数在复平面内对应的点(-3,-4)在第三象限,故C错误.
对于D:i+P+P+i4=i-l-i+l=0,S(D正确.故选D.
8.(2022届银川一中月考三,2)已知复数z满足(l+i)z=4(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点所在的
象限为()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案D由题意得zn;1如=任^^=2-21故复数z在复平面内对应的点(2,-2)在第四象限故选口.
9.(2022届长春外国语学校期中,5)已知i为虚数单位,若zi+2=z,则W=()
yfi.「。
AA.Bn.4C.2D.2
22(1刊2(1㈣
ggn.cR(TWritJ-.
答案D.Z+2=Z3.Z==k八J==l+i,
2
.•.Z2=(l+i)2=2i,/.|z|==2.故选D.
s-2i
10.(2022届河北衡水第一中学调研一,2)已知i为虚数单位,复数7=宜匕6咫是纯虚数,则1+ai的虚部为
()
A.2B.2iC.-2D.-2i
a-a(i!■型14Pa+2a-2
答案C/z===+i是纯虚数,
fa+2.
,二明
a-2,0
2/.a=-2./.l+ai的虚部为・2.故选C.
易错警示注意复数z=a+bi(a,b£R)的实部是a,虚部是'V的系数b,不能写成bi.
11.(2022届昆明第一中学双基检测三,2)已知i为虚数单位,则i+i2+i3+...+i202i=()
A.iB.-iC.lD.-l
答案A因为i4n+l+i4n+2+i4n+3+i4n+4=i_l_i+l=0(neN),
所以i+i2+i3+…+i2021=505x0+i2021=i.故选A.
12.(2022届江西智学联盟联考一,2)已知i为虚数单位,复数zi=3-4i,z2=cos2x-isin2x,则)
A.2B.3C.4D.5
c叼oS2x-«n2i回加,7用乒s2x+言12X)......_...
答案D"=='八=(3-4i)(cos2x+isin2x)
=(3cos2x+4sin2x)+i(3sin2x-4cos2x),
zzzz
7(3as2x+4n2x)+(3n2x-4as2x)725(a>s2x+n2x)5故选口
13.(多选)(2021济南十一学校联考,9)欧拉公式exi=cosx+isinx(其中i为虚数单位,xGR)是由瑞士著名数学
家欧拉创立的,该公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的联系,在复变函数论里
面占有非常重要的地位,被誉为数学中的"天桥".依据欧拉公式,下列选项正确的是()
A.复数e2i对应的点位于第三象限
B.a为纯虚数
炉1
C.复数两的模等于z
产的共辑复数好
BC对于A,e2i=cos2+isin2,/2e,..cos2s(-l,0),sin2G(0,1),.,.e2i表示的复数在复平面中对应的
点位于第二象限故A错误;
li55Ti
对于B,k=cos3+isin2=i,则E为纯虚数,故B正确;
对于c,后"=1节x_L雨盟
2:故C正确;
JLnTi依:
对于D..xosi+isinkN+Ni,可得'的共轨复数为丁餐,故口错误,故选BC.
二、填空题
14.(2022届云南十五校11月联考,14)已知i为虚数单位,zi为复数,且&|=2,则|zi+2i|的最大值为.
答案4
解析设zi=a+bi(a,bGR)厕zi+2i=a+(b+2)i.设复数zi表示复平面内的点乙「区|=2,「=2,即
a2+b2=4,故Z的轨迹是以(0,0)为圆心,2为半径的圆.又|zi+2i|=再’百表示点(a,b)到点(0,-2)之间
的距离,易知|zi+2i|的最大值为4.
z41
15.(2022届河南重点中学模拟一,13)若为虚数单位),则z=.
答案lz
1-H
解析由题意可得z=-「+i=-i+l+i=L
综合检测卷(二)
时间:120分钟分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分洪40分.在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2017课标m文,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则AAB中元素的个数为()
A.lB.2C.3D.4
答案B由题意得ACIB={2,4},所以ACIB中元素的个数为2.故选B.
2.(2022届清华大学中学生标准学术能力测试(10月),3)复数z满足Q-i)z=3+2i(i为虚数单位),则*=()
[芋1-S-1蛆1-5«
A."-B.HC.2D.N
3+30+可口㈣1+S1S
答案B由题意得z=k=E<E=/,
3.(2020课标m文,3,5分)设一组样本数据XLX2,…,Xn的方差为0.0L则数据10xi,10x2,…,10xn的方差为
()
A.0.01B.0.1
ClD.10
答案C由已知条件可知样本数据Xi,X2,...,Xn的平均数'二员,方差
_
工1[的/)2+仅23)2+...+仅《')2]=0.01,则数据10X1,10X2,../OXn的平均数为
1
nx
X(10X1+10X2+...+10xn)=10.
所以这组数据的方差
,11OC,
元片
2nXX2i2-n~X2X22f
=[(10X1-10)24-(10X2-10)+...+(10xn-10)]=[(xx-)+(X2-)+...+(Xn-)]=100=100x0.01=
L故选C.
产工口>1,
4.(2021河南安阳4月模拟,4)已知函数且f(m)=-2,则f(8+m)=()
A.-16B.16C.24D.26
答案D若mzl,则f(m)=3m」-l=-2,即方程无解;若m<l,则f(m)=-l-log3(m+7)=-2,即
Iog3(m+7)=1,解得m=-4「.f(8+m)=f(4)=34-i-l=26.故选D.
5。—知2…卜町―()
A.-2B.-lC.lD.2
答案D2tan0-tan("J)=2tand"^=7,整理可得tan20-4tane+4=0,/.tan6=2.故选D.
6.(2022届河南驻马店月考,12)三棱锥S-ABC的各个顶点都在球O的表面上,且dABC是等边三角形,SA,
底面ABC,SA=4,AB=6.若点D在线段SA上,且AD=3SD测过点D的平面截球。所得截面的
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