高考数学 导数中的不等式问题的解题策略

22导中不式题解策导数的综合问题是高考数学的压轴题之一包含信息量大计算繁琐对学生的思维能力要求较高令多同学望而畏造严重失分而用导数解决不等式问题更是压轴题中的压轴题多同学直接选择放弃实导数中的不等式问题并不像很多同学想象的那样是们缺少对它的研究才得它高不可攀面们通过具体的实例来分析导数中的不等式问题，解密其隐藏的规律轻松解决导数中的不等式问题。1.承启型在解决导数问题中的不等式时出现这样一类问题明需要应用到前一问的结论。由前一问的结论得到一个不等式根据其与要证明的不等式的关系进行证明类在证明的过程中也经常应用到一些常见的结论，如：

x,e

等。例1.已

为函数yln

图象上一点,O为标原点,记线OP的斜率f

.(I)若函数

f

1在区间mmm

上存在极值求数m的值范围(II)当

时不式f

tx

恒成立求数的值范围(III)求证

n

*

分析：本题考查了函数的极值、恒成立问题及不等式的证明(I)由极值的定义其极值点，极值点在m

内，从而确定m的范。分参数t，利用导数求最值(III)利用第(II)问结论结合所要证明的不等式的特点进行适当的放缩求解。解(Ⅰ)由题意kf

lnx

,

所以

f

lnxx2当

时,

f

;当

x

时,

f

.所

f

上单调递增,在

上单调递减故

f

在

x

处取得极大值

因为函数

f

在区间mm3

m(其中)上存在极,所3

得

m

.即实数的取值范围是1

22(由f

tx

得

t

令xxx

则g

xlnxx

令

lnx

则

x因为x以

上单调递增

所以

h

,从而

g

上单调递增

g所以实数

t

的取值范围是

(由Ⅱ)知f

x

x

恒成立即

x2lnxx令

2n

所以ln

21

,ln

22

,,

lnn

2n

.所以ln2

1111nn

1

所以

1

2

所以

n

点评本题题目较为综合考了函数的极值最值又考查到了不等式的证明及数列的相关知识。本题中不等式的证明利用到了第Ⅱ)结论即f

x

恒成立。对于含有正整数的省略号的不定式证明，先观察通项，联想基本不定式（上述结论中的13要明的函数不定（往与所给的函数及上一问所得到的结论有关自变量x赋令x分等于1…把这些不定式累加可要证的不定式。2.x/x型12在证明有关导数的不等式时，若所证明的不等式含有两个未知数，可考虑构造x/x这12种型决其用把个知转为个知从达解决题目。例2.已知函数

f()

图象上一点

f

处的切线方程为y2

.（Ⅰ）求

a

的值；2

00（Ⅱ）若方程

f(x

在

内有两个不等实根，求

的取值范围（其中

e

为自然对数的底数（Ⅲ）令

gx)f()，)

的图象与x轴交于

x,0),,0)12

（其中x1

AB

的中点为

C,0)0

，求证：

g(x

在

x0

处的导数

)0.0分析：本题考查了导数的几何意义，函数的零点问题及导数证明不等式问题直接利用导数的几何意义求解通过分析函数的单调性利用数形结合思想求解问的本质

g

)0

与0的大小比较。解）

f

afbf(2)lnb.ab2a解得

且

aln22（Ⅱ）

fx)2ln

2

，令

h()x)mx2,

则h

22(12)x,令

h

，得

x

舍去).当

1xe

时，

hh(x

是增函数；当

x[1,e]

时，

hhx)

是减函数；于是方程

h(x

在

1[]e

内有两个不等实根的充要条件是：

()(1)(e

.即

1

1e

.（Ⅲ）由题意

g()2lnx

2

2

x.假设结论成立，则有：x112lnx222x③10④0

①②3

2121221212①-②，得

)()k122

1

x.由④得

20

x,0

x0即

1x1

，即

x21xxln2xxx2

⑤令

2tt1,()lnt(0t2则

u

t2t(t2

u(t)

在0，1）增函数t)

⑤式不成立，与假设矛盾.g)0点评:本题中（出了两个未知数

xx1

,此处理的方式是通过

lnxxln2

,把1看作一个未知数,从而把两个自变量转化为一个未知.23.两求型证明不等式时如构造出的函不易求解时考虑利用两边的最值的大小进行比较如证明

f(xg(x),

只需证明

f(

min

g(x

max

，因此，可转化为利用导数求最值的问题。例3.已知函数

f,

其中

a

为常数设

e

为自然对数的底数.(1)当

,

的最大;(2)若

f(x

在区间

0,e

上的最大值为-3,求a的;(3)当

a

时证

lnxf2分析：本题考查了函数的最值及不等式的证明问题(1)据单调性求解（）a进分类讨论，分别求解分对不等式的左右两边求解，只要左边的最小值大于右边的最大值即可。解(1)当

aff

11x

.当

0

时

f

;当

时

f

.f

f

.4

(2)

f

11,x,①若

a

1e

,则

f

,从

上是增函数

f

.不合题意②若

a

1e

,则由

f

得

a

10.即0

,由

f

,得:

a

10,即a

.从而

f

1a

增函数,在,函.f

f

1lna

,1a

,即

.

1e

为所求（3）由①知当

时

f

f

,f

.又令

g

lnxx,gx

,令

,得

.当

0时

当x时

g

g

11gxe2f

lnx

,点评:本题中第3)问证明不等式程很容易考虑构造不等式求,但本题构造不等式后不容易求解故虑两边分别求最,用

f

g()

从而求解.4.二求导型在证明不等式经常出现构造函数其最值与0行比较类不等式其本质是求函数的