高考数学总复习配套教案11.6离散型随机变量的均值与方差

第十一章

计数原理、随机变量分布列

第时

离散型随机变量的均值与方差对应学生用书(理)177～178页考情分析离散型随机变量的分布列、期望、方差和概率的计算问题结合在一起进行考查，这是当前高考命题的热点，因为概率问题不仅具有很强的综合性，而且与实际生产、生活问题密切联系，能很好地考查分析、解决问题的能力．

考点新知①了解取有限值的离散型随机变的均值、方差的意义．②会求离散型随机变量的均值、方差和标准差，并能解决有关实际问(选修23P习题4改)单位有一台电话交换机，其中有个机．设每个分机在67内平均占线且各个分机是否占线是相互独立的任时刻占线的分机数目X的数学期望________．答案：解析：每个分机占线的概率为，XB，＝8＝.

，即X服从二项分布，所以期望E(X)(选修例改编)一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出66件商品，设中次品数为X，E(X)＝________，V(X)＝________.答案：2解析：X，所以期望E(X)＝200×＝，＝200×－0.01)＝选修23P习编)某人进行射击，每次中靶的概均为0，规定：若中靶就71停止射击若没中靶则继续射如果只有3子弹射击数X的值(填数字答案：解析：击次数X的布列为X

0.8

∴E(X)＝×＋×2＋×3＝选修23P习编)随机变量X的布列如下：71

22222222222222X

－1a

c其中，bc成差列，若＝，则差V(X)的值．答案：解析：、、c成差数列，有＝＋，又＋b＋＝，E(X)＝－×＋×＝c－＝111115得a＝，＝，＝，V(X)＝－1×＋×＋×＝26329一考考生咨询中心有A、B、C三咨询热线．已知某一时刻热线A、B占的概率均为0.5，热线占的概率为，热线是否占线相互之间没有影响，假设该时刻ξ条热线占线，则随机变量ξ期望为．答案：1.4解析：机变量ξ可取的值为、、2、依题意，得P(＝＝0.15,P(＝＝0.4，P(＝＝0.35ξ＝＝0.1∴ξ分布列为ξ

0.4

0.1∴它期望为ξ＝×＋1×0.4×＋3＝1.4.均若散型随机变量ξ的布列为：ξ

x1

x

2

„

x

n

1

2

„

n则称E()x＋x＋„p为的值数期，称期望．11nn离型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值平水．数期望的性质．E(c)，E(a＋b)＝aE＋、b、c为数)．方若散型随机变量ξ所可能的取值是x，，„且些值的概率分别是p，1n1，„，称：2nV()(x－＋－ξ))p＋„(x－E(p为ξ的方差．1122nσ＝V，叫标准差．随变量的差反映了取值的稳定性．方的性质a为常数，则V(＋b)＝Vξ.若～，p)则ξ＝，V()＝np(1．期与方差的关系

222227777222222227777222均值(期望反映了随机变量取值的平均水平，而方差则表了随机变量所取的值对于它的均值(期望)的集中与离散的程度因二者的关系是十分密切的有关系式V(ξ)＝E()＋ξ

[备课札记]例1已离散型随机变量ξ的率分布为1ξ

1

离散型随机变量的概率分布为2ξ

2

3.7

3.8

3.9

4.1

4.2

4.3求这两个随机变量数学期望、方差与标准差．11解：E()＝1＋×＋„＝；1V()＝－4)1

11×＋(2－4)ׄ－4)×＝4，σ＝V（）2.111E()＝×＋3.8＋„×＝；2V()＝，σ＝V（＝22甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数，9的率分别为0.20.6，；射手乙击中环数，，的率分别为，0.2用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平．解：ξ＝8×＋9×0.6×0.2，1V()＝－9)×＋(9－×0.6(10－×0.2＝0.4；1同理有E()＝，V(＝22由上可知E()＝ξ)V(ξ)所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所11得的平均环数很接近，均在环右，但甲所得环数较集中环居多而得环数较分散，得、10环次数多些．例2某艺厂开发一种新工艺品，头两天试制中，该厂要求每位师傅每天制10件，该厂质检部每天从每位师傅制作的10件品中随机抽取进行检查，若发现有次品，则当天该师傅的产品不能通过．已知李师傅第一天、第二天制作的工艺品中分别有件次品．

448944153515355444101044894415351535544410104422022010ï求天中李师傅的产品全部通过检查的概率；若内对师傅们制作的工艺品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过、分别得1分、2分求李师傅在这两天内得分的数学期望．解：(1)设师傅产品第一天通过检查为事件A；第二天产品通过检查事件B.CC则有P(A)＝＝，＝＝，C2510由事件AB独，∴P(AB)P(A)P(B)答：李师傅这两天产品全部通过检查的概率为.记分为ξ，则的可能值，，12311∵P(＝0)＝×＝；ξ＝1)＝×＋×＝＝＝×＝.114∴E()×＋×＋×＝.答：李师傅在这两天内得分的数学期望为.备变（师享一盒中装有零件12，其中有9个品3个次品，从中任取一个，如果次取出次品就不再放回去再取一个零件到取得正品为止求取得正品之前已取出次品数的期望．解：设取得正品之前已取出的次数为ξ，显然ξ所有可能取的值为，1，3当＝时，即第一次取得正品，试验停止，则ξ＝0)＝＝9当＝时即一次取出次品第次取得正品试验停止则＝1)＝×＝当＝时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，29则P(＝2)＝××＝当＝时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，211则P(＝3)＝×××＝.993所以，E()0×＋×＋×＋3＝.例某器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ξ是个随机变量，它的分布列为ξi)＝(i，，„12)；设每售出一台电冰箱，电器商获利元．如销售不出，则每台每月需花保管100元问器商每初购进多少台电冰箱才能使月平均收益最大？解：设x为器商每初购进的冰箱的台数，依题意，只需考虑1x≤的情．设电器商每月的收益为y元则y是机量的数y＝ï

300x³),300x-)(xp)

于

2*2*是电器商每月获益的平均数，即为数学期望＝＋＋„＋[300－－xx12＋×300－100(x－2)]P＋„[(x－×－100]P＝－x＋1x1x（x－1）（x－）x25300×－×＝(2x＋38x)3

1＋因为x∈，以＝9或x＝时，数期望最大．故电器商每月初购进或10台冰箱时，月收益最大，最大收益为元备变（师享甲乙名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变ξ和η且ξη分布列为ξη

a0.3

0.1

0.60.3求a、b的；计、的望和方差，并以此分析甲乙的技术状况．解：(1)由散型随机变量的分布列性质可知a＋＋＝1即a＝0.3同理＋b＋＝，＝E()1×＋2×0.1＋3＝，E()1×＋×0.4＋×0.3V()，V()＝0.6.由计算结果E(η)，说明在一次射击中甲的平均得分比乙高V(ξ)>V(η)说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术都不够全面．广东)已知离散型随机变量X的布列为X

则X的学期望E(X)．答案：3115解析：E(X)＝1＋2＋×＝＝101010

2222222922222229湖北理如图一个各面都涂了油漆的正方体割125个样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，X的均值为E(X)＝________．答案：解析：分布列解决这个问题，根据题意易知X0，12，列表如下：Xξ

86所以E(X)＝0＋×＋×＋3×＝＝.125125125上海理设非零常数等差数列xx，„的差，随机变量可13能地取值，x，，„，方差V(ξ)．1答案：解析：＝，10V()

（9

＋8

＋„

＋0＋1＋„

）＝30|d|.(2013·浙江)袋子中装有a个红球，b个黄球c个球，且规定：取出一个红球得，取出一个黄球得分取出一个蓝球得．当a＝3b2＝时从该袋子中任(放回，且每球取到的机会均)2个球，记随机变量ξ为出此两球所得分之和，求ξ分列；从袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为出此球所得分5数．若E()，η＝，求∶b×1解：(1)由知得到：当两次摸到的球分别是红红时＝2，此时ξ＝2)＝；×4××11当两次摸到的球分别是黄黄红红时ξ＝4时P(＝＝＋＋＝；××661832×1当两次摸到的球分别是红黄，黄红时ξ＝时P(＝3)＝＋＝；66×12×1当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时ξ＝时P(＝5)＝＋＝；66××当两次摸到的球分别是蓝蓝时＝P(＝＝＝×所以ξ的布列为ξ

35

22222k622222k6

由知得到：有三种取值即1，，3所以的布列为η

aa＋＋c

a＋c

ca＋c所以，

ab3Eaa523cD)(2))3a3所以＝，＝3c，以a∶c＝∶2∶1.袋有5红球3只黑球现袋中随机取出球，设取到一只红球得2分取到一只黑球得分，则得分ξ的学期望ξ．答案：30解析：可、、、，ξ＝＝(3黑红;P(＝＝黑2红；P(＝＝红1黑；＝＝(4红)．∴＝＝为止山体滑坡地决定建设既美化又防护的绿化带植松树柳树等植物某人一次种植了株柳树，各株柳树成活与否是相互独立的，成活率为，设ξ为活柳树的株数，数学期望)＝3，标准差()为

求、值并写出ξ的布列；若或3株上柳树未成活，则需要补种，求需要补种柳树的概率．1解：(1)由E(＝np＝3(())＝np(1－＝，得1－＝，而n＝，＝，ξ的分布列为ξ

记需补种柳”为事件则P(A)＝P(≤，得＝

＋＋15＋21＝.将枚硬币抛掷6次求正面次数与反面次数之差ξ的率分布列，并求出ξ的期望ξ.解：正面的次数是η，则η从二项分布B(6，，概率分布为＝＝0.5，k6

k6333k633342242＝01，„且η＝而反面次数为－，＝－－)＝－6.于是ξ的率分布为P(＝2k＝P(＝＝C0.5，k＝0，，„6故E()2－＝2E()－62×－6课标Ⅰ)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任件作检验，这件产品中优质品的件数记为如n＝，从这批产品任取作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝，再从这批产品任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，各件产品是否为优质品相互独立．求批产品通过检验的概率；已每件产品检验费用为元凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：)，求X的布列及数学期望．解：(1)设一次取出的4产品中恰有3件质品为事件A，第一次取出的4件品全为优质品为事件B，第二次取出的4件品是优质品为事件C，第二次取出的1件品优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，21414∴P(E)＝P(A)P(B|A)＝××＋×＝.422X的可能取值为，，，并且341113P(X400)1－C×－＝，P(X＝＝，P(X800)C×＝，∴