高考数学一轮必备 4.4正弦型函数yAsin(ωxφ)的图

4.4正弦型数y＝Asin(＋φ图及用考分1．考查正弦型函数＝sin(ωxφ的图象变换．2．结合三角恒等变换考查＝sin(＋)的性质及简单应用3．考查y＝sinx到y＝＋)的图象的两种变换途径基础知识1．用五点法画＝sin(ωx＋)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示xωx＋φy＝sin(φ)

0－φω00

π－φ2ωπ2A

π－φωπ0

3π－φ2ω3π2－

2π－φω2π02．函数y＝sinx的象变换得到y＝sin(＋)的图象的步骤3．当函数y＝sin(ωxφ)(＞0ω＞0，，＋∞))表示一个振动时叫振幅，2π1T＝叫周期，＝叫频率，＋叫做相位φ叫做初相．ω4．图象的对称性函数y＝sin(＋)(＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心称图形，具体如下：π(1)函数y＝Asin(＋)的图象关于直线＝(中ωx＋＝π＋成对称2图形．(2)函数yAsin()图象关于(x0)(其中＋＝π成心称图形．1

ππ－＜＜0ππ－＜＜0【例1】设数f()＝cos(＋φ)的最小正周期为πf注意事项M－Mm1.在图象求三角函数解析式时若最大值为，最小值为m，A＝k由222π周期T确定，即由＝出φ由特殊点确定．ω2.由y＝sinx的图象变换到y＝sin(＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换伸缩变换)平的量||个单位而先周期变(伸缩变换再相位变换平移||的量是(＞0)单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x言，即x身加减ω多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．3.作弦型函数y＝sin(＋)的象时应注意：(1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．题型一作函数y＝sin(＋)的图象＝232

.(1)求和的值；(2)在给定坐标系中作出函数f)在[0π]的图象．2π解(1)周期T＝＝π，∴ω，ω2

ππ∵＋4

π＝cos＋φ

3＝－sinφ＝，2ππ∵－＜＜0∴＝－.23π(2)由1)知()＝cos如下：3ππ2－－33

0

π2

π

35π23

πx

0

π5612

π

211π312

ππf(x)

12

10－10

12图象如图：1π【变式】已知数f()＝3sin－4

，(1)画出函数fx)在长度为一个周期的闭区间上简图；(2)将函数y＝sin的象作怎的变换可得到f(x)的图象？解(1)列表取值：x

π35π222

π

72

π

9π21π－24

0

π2

π

32

π2π()030－30描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．3

π(2)先把y＝sinx的象向右平移个位，然把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，4再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍得到()图象．题型二求函数y＝sin(＋)的解析式【例2】如图是周期为2π的角函数y＝x)的图象，那么(x可以写成A.f(x)＝sin(1＋)B.f(x)－1－)C.f(x)＝sin(－1)D.f(x)＝sin(1－)答案：解析：设＝sin()点(1,0)为五点法作图的第三点，∴sin(1＋＝01φ＝π，＝π－1，∴＝sin(＋π－1)＝sin(1－)．π【变式】已知函数＝sin(＋φ)(＞0|＞0)图象的一部分如图所示．24

ππ(1)求(x的表达式；(2)试写出fx的对称轴方程．解(1)观察图象可知：＝2点0,1)在图象上，＝2sin(ω·0＋)，1即sinφ＝2ππ11∵|φ|＜，φ＝.又∵π是函数的一个零点，且是图象增穿过轴形的零点，261211ππ∴ω＋＝2π，∴ω＝2.126∴(sin.6π(2)设2x＝，函数B对称轴方程为6πB＝＋π，∈Z2ππ即2＋＝＋π(∈Z)，62kππ解上式得x＝＋(k∈Z)，26ππ∴(＝2sin的对称轴方程为x＝＋k∈Z)．626题型三函数y＝sin(ωx＋φ的象与性质的合应用【例3】函数x)＝sin(＋φA>0，>0,0<<

π2

)的部分图象如图所示．5

ππππ(1)求(的解析式；πππ(2)设g(x＝[(x－)]，函数(在∈[－，]上的最大值，并确定时x1263的值．Tπ2ππ3解：(1)由题图知＝2＝，则＝4×，∴＝.432π3ππ又－)＝2sin[×()φ]－＋)＝0，6264πππππ∴sin(φ－)，∵0<φ，∴－<－<，4244ππ∴－＝0即＝，443π∴(的解析式为(x＝2sin(＋)．24π3ππ(2)由(1)可得f(－)＝2sin[(－)＋1221243π＝2sin(＋)，28π1－cos3＋π4∴(＝[(－)]＝4×122π＝2－2cos(3＋)4ππππ5π∵∈[，]∴－≤3＋≤，63444ππ∴当3＋＝π，即x＝时()＝4.44【变式3】已知函数＝sin(＋φ)(＞0，＞0)的图象过点，0

，图象上与点P最近的一个最高点是，5

.6

π＋ππππππππ＋πππππππ(1)求函数的解析式；(2)求函数fx的递增区间．ππ解(1)依题意得：＝5周期T＝4－122π∴＝＝2.＝5sin(2＋)，又图象过点，0π

，∴5sin

＝0，ππ由已知可得＋＝0，∴φ－66∴＝5sin6

.πππ(2)由－＋2π≤2－≤＋2π，k∈Z，262得：－＋π≤≤＋kπk，故数f()的递增区间为，π6363Z)．重点破【例4】已知函数f(x)＝4cossin(1)求(x的最小正周期；

－1.ππ(2)求(x在区间，4

上的最大值和最小值．[解析(1)因为()＝4cossin

－131＝4cosxsin＋cos2＝3sin2＋2cos－1＝3sin2x＋cos2xπ＝2sin6

，(4分)所以f(的最小正周期为π.(6分ππππ2(2)因为－≤≤，所以－≤2＋≤.(8分64663πππ于是，当2＋＝，即＝时626f()取得最大值；(10)πππ当2＋＝－，即＝－时，(取得最小值1.(12分6667

巩固提高π1.函数y＝cos(2－)的部分图象可是)3答案：πππ解析：∵＝cos(2－)，∴当2x－＝0即＝时，函数取得最大值，结合图336π象看，可使函数在＝时取得最大值的只有D.6ππ2π2.函数y＝sin(ωxφ)(>0且||<)在区间，]单调递减，且函数值从1263减小到，么此函数图象与轴点的纵坐标()A.C.

1232

B.D.

226＋24答案：π2π解析：函数＝sin(ωx)的最大值为1，最小值为－1，由该数在区间，632πππ2π上单调递减，且函数值从1减小1，可知－＝为半周期，则周期为π＝3622ππ＝＝2此时原函数式为＝sin(2＋，又由函数y的图象过点(，π6ππ11)，入可得φ＝，因此函数为y2＋，令x＝0，得y＝，故选A.6623.函y＝sin3x的象可以由函数＝cos3x的象)πA.向平移个单位得到3

πB.向平移个位得到38

3π3ππC.向平移个单位得到6

πD.向平移个位得到6答案：ππ解析：∵sin3＝cos(－3)＝cos(3x－)22π＝cos[3(－)]6π∴函数y＝cos3x图象向右平移个位即可得到函数y＝sin3x的图象，故选D.64.将数f(x＝sin(其ω>0)的图象向右平移，0的最小值是)

π4

个单位长度，所得图象经过点A.C.

1353

B.1D.2答案：π3ππ解析：＝sin(－)过点π，∴sinω＝0，∴ωkπ，ω＝2k当k442＝1时，最小值为2.5.如图所示为函数

f()＝2sin(ωx＋φω>0,0≤≤的分图象中AB两之间的距离为5，那么－1))A.2C.－3

B.3D.－2答案：1解析：由图可知(0)＝1即2sin＝1，得sinφ又因为≤≤π，所以φ2π5π5＝或.显然应在函数f)的单调递减区间内，则φ＝.又，两是函数图象666上的最高点和