高考数学(理科)必考题型过关练专题6 第23练 完美破解立体几何证明题

CABEDCABED第23练

完美破解体几何证明题型一空间中的平行问题例

在如图所示多面体中，⊥平面，⊥平面，

且＝＝CD＝DE2，＝(1)请在线段CE上到点的位置，使得恰有直线BF平面ACD并证(2)求多面体的体积．破题切入点(1)可猜证，可以利用线面平行的判定定理进行证明．(2)找到合适的底面．

明．解

(1)⊥ACDDEACD∥HCDFHFH綊ED綊ABFH∥BFAHACD∥ACD.(2)GCG⊥ACDCG⊥⊥AB∩ADCG⊥ABEDCABEDV×××3题型二空间中的垂直问题例2如，三棱柱ABC－AC的侧面AAB正方形，侧面1111∠CBB＝60°AB⊥C.11

BB为菱形，1

22(1)求证：平面B⊥平面C1111(2)若AB＝，求三棱柱ABC－ABC的体积．11破题切入点(1)考面垂直的判定定理．(2)注意利用棱柱体积和锥体体积公式间的关系．(1)证明BBAB11⊥B∩B111⊥BBCC11AA1AAB⊥1(2)解CB1CO⊥.1(1)⊥AAB11

BC2AB1

V

ABB

3ABCOVB

VC-ABB

13

C

VABCBC23.11BC3.11题型三空间中的平行、垂直综问题例在图所示几何体中，四边形是正方形MA平面PDMAEGF分为MBPC中点，且AD＝＝MA.(1)求证：平面∥平面PMA(2)求证：平面⊥平面(3)求三棱锥P－MAB与棱锥－的积之比．破题切入点(1)证、都行平面PMA.(2)证明⊥平面.(3)设MA为，从而其他边的长度都可表示，问题可求解．(1)证明∵EMBPBPC∴∥PM∥BC.∵ABCD∴∥ADGF∥.∵PMAPMA

，

∴∥PMAGF∥PMA.∵∴EFG∥(2)证明MAABCDPD∥∴PD⊥ABCD⊂∴⊥BC.∵ABCD∴⊥DCPD∩DC∴BCPDC(1)∥∴⊥PDCGF⊂∴EFG.(3)解PD⊥ABCDMAPD∵DA⊥MAB∥∴DAPMAB1∴∶VDA∶PDPMABPABCDMAB3∶×1×2∶(2×2)1MABABCDABCD∶总结提高a．证明平行关系的方法：(1)证明线线平行的常用方法：①利用平行公理，即证明两直线时和第三条直线平行；②利用平行四边形进行转换；③利用三角形中位线定理证明；④利用线面平行、面面平行的性定理证明．(2)证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，把明线面平行转化为证明线线平行；②利用面面平行的性质定理，把明线面平行转化为证明面面平行．(3)证明面面平行的方法：证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．．证明空间中垂直关系的方法：(1)证明线线垂直的常用方法①利用特殊平面图形的性质，如用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；②利用勾股定理逆定理；③利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可．

(2)证明线面垂直的常用方法①利用线面垂直的判定定理，把面垂直的判定转化为证明线线垂直；②利用面面垂直的性质定理，把明线面垂直转化为证明面面垂直；③利用常见结论，如两条平行线的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等．(3)证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加助线解决．．若平面∥平面β，直线a⊂点∈，在β内点的有直线)A不一定存在与a平的直线B只有两条与平行的直线C．在无数条与a平的直线D．在一与a平的直线答案D解析Bβa．在正方体CD中，是上动点，则直线与线所的角等()111AC．30°

BD．点E的置而变化答案B解析D⊥ABAD⊥AD1AD⊥ADC⊂CD⊥B.1111湖州质量检)已知αβ是个不同的平面出下列四个条件①存在一条直线a⊥⊥；②存在一个平面，⊥γ；③存在两条平行直线a、，⊂b⊂∥，∥；④存在两条异面直线a、，a⊂⊂aβ，b∥，可以推出∥的是()A①③

B②④

C．④

D．③答案C解析②α③aαβ②①C.如图，正方形中、F别是、的点，∩＝GEF、把个正方折成一个四面体，使B、C、三重合，重合后的在四面体P－AEF中有)AAP⊥△PEF所在平面B．⊥△PEF所平面

现在沿AE点记为P

C．EP⊥△AEF所平面D⊥△AEF所平面答案A解析⊥BEAD⊥∴

⊥PE⊥PF

⇒⊥.∩PFP如图所，直线垂直于⊙O在的平面eq\o\ac(△,，)ABC内于，且AB径，点M为段PB的点．现有结论：BC⊥；②OM∥平APC；面PAC距离等于线段BC的．中正确的()

为⊙O的③点B到平A①②C．

B①②③D．③答案B解析①∵⊥ABCPABC∵⊙O⊥∴⊥⊂∴BC②∵M∴∥PA⊂∴∥PAC③①⊥PAC∴BCPAC①③如图，Ω是方体ABCDAD被平面去几何体EBF11

－G所得1到的几何体，其中E为段A上异于的F为线段上于B11EHAD，则下列结论中不正确的()1AEHFGB四边形矩形C．是柱D．是台答案D解析A∵∥AD∴EH∥1∴EH∥BCCB.1EFGHBCCBFG1∴EH∥FGABEFGH∵BC⊥ABBA11

1

的点，且

∴BC⊥FG∴EFGHBCAEFBAHCAD11如，在空间四边形ABCD中，∈AB，∈AD，若的置关系________．答案平行AM解析ABDMBND∴∥BD.⊄⊂BCD∴∥

AM＝，直线MBND

MN与平面如图，方体—CD中＝，E为AD的中点，点11EF∥平面AB，则线段长度等于．1

在CD上若答案

解析ABCDABD∴AC2.111∥ABCEF⊂ADC1∩AB∴∥1∴F∴EFAC2.如图，知六棱锥－ABCDEF的面正六边形PA⊥平面ABC下列结论中：PB⊥AE；②平面ABC平面；③直线∥平面；＝其中正确的有________(把所有正确的序号都填上．答案①④解析⊥⊂ABC⊥AE⊥PA⊥⊂∴AE⊥∵PAD⊥∴ABC⊥PBC②BCADAD⊂PADBC⊄∴∥∴∥③PAAD2∴∠PDA45°∴④

＝2则④∠

．出命题：①在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；②设l，m是同的直线α是个平面，若l⊥，∥，m；③已知，表示两个不同平面为面α内一条直线，α⊥”是“mβ”充要条件；④在三棱锥－ABC中SA⊥BCAC则S在面的射影ABC的心；⑤a两条异面直线，为空间一点，过总可以作一个平面与a，b之垂，与另一条平行．其中，正确的命题是．(只填序号)答案②④解析①③“⊥”“⊥β⑤b②11如图所示，，分是正方体ABCD—BD的，CDC的中点．1111求证：AN平面；1(2)平面AB⊥平面11证明

(1)NK.ABCDABCD111∵AADDDC1∴DDDDD∥CDCDCD111111∵KCDD11∴DN∥KDK1∴DD1∴KN∥DDKNDD∴AA∥.111∴AAKN∴∥K1∵K1

AANAMK11∴AN∥A1(2)BC.ABCDAD111ABCDABCD11∵MKABD1∴BMCKBM1

1212∴BCKM∴MK.1ABCDABCD⊥BB11111BC⊂BBC∴B⊥11∵MKBC∴⊥11∵BBC∴⊥.11∴MKB.∵AB⊂BC⊂BB∩BC∴MK⊥1111111∵⊂A1∴ABC⊥1．(2014·课标全国)如图，四棱锥－ABCD，底面为矩形，ABCD，E为中点．(1)证明∥平面AEC；(2)设二面角D－AEC为60°＝，AD＝，三棱锥－ACD的(1)证明BDAC∥⊂