云南省大理州祥云2021学年上学期高二年级期末统测数学试卷（文科）

云南省大理州祥云2020-2021学年上学期高二年级期末统测数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分．满分150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷选择题，共60分一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A＝{eq\b\lc\|\a\vs4\al\co11＜≤4}，B＝{1，2，3，4，5}，则A∩B＝A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{2，3，4}2．已知a是实数，eq\fa－i,1＋i是纯虚数，则a＝A．1B．－1C．eq\r2D．－eq\r23．已知下表为与y之间的一组数据，若y与线性相关，则y与的回归直线y＝b＋a必过点0123y1357A2，2B．，0C．1，2D．，44．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β5．在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是6．已知α∈0，π，若taneq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\fπ,4－α＝eq\f1,3，则sin2α＝图1A．－eq\f4,5B．eq\f4,5C．－eq\f5,4D．eq\f5,47．阅读如图1所示的程序框图，则输出的S等于A．40B．20C．32D．388．设等比数列{an}的公比q＝eq\f1,2，前n项和为Sn，则eq\fS4,a2＝A．eq\f15,4B．eq\f15,2C．4D．29．已知直线y＝－2＋1是曲线y＝eq\f1,22－3ln＋m的一条切线，则实数m的值为A．1B．2C．－eq\f1,2D．－eq\f3,210．甲、乙两组统计数据用如图2所示的茎叶图表示，设甲、乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则图2A．<，m甲>m乙B．<，m甲<m乙C．>，m甲>m乙D．>，m甲<m乙11．已知，eq\ob,\s\up6→为单位向量，且，向量满足，则的取值范围为A．B．C．D．12．设函数f是定义在R上的偶函数，且f＋2＝f2－，当∈时，f＝eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f\r2,2eq\s\up12－1在区间－2，6上关于的方程f－log8＋2＝0的解的个数为A．4B．3C．2D．1第Ⅱ卷非选择题，共90分本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．把答案填写在答题卡上相应的位置，在试题卷上作答无效．二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分13．命题“∃0∈eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co10，\fπ,2，tan0≤sin0”的否定是____________．14．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，eq\fS7,7－eq\fS3,3＝6，则a5＝____________．15．已知椭圆C：eq\f2,a2＋eq\fy2,b2＝1a>b>0的右焦点为F，直线l：y＝eq\r3与椭圆C相交于A，B两点，若AF⊥BF，则椭圆C的离心率为____________．16．已知实数，y满足约束条件eq\b\lc\{\a\vs4\al\co1y≤2，,＋y≥1，,y≥2（－2），＝＋tyt>0的最大值为11，则实数t＝____________．三、解答题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．本小题满分12分某校有1400名考生参加市模拟考试，现采取分层抽样的方法从文、理考生中分别抽取20份和50份数学试卷，进行成绩分析，得到下面的成绩频数分布表：分数分组[0，30[30，60文科频数24833理科频数3712208Ⅰ估计文科数学平均分及理科考生的及格人数90分为及格分数线；Ⅱ在试卷分析中，发现概念性失分非常严重，统计结果如下：文理失分文理概念1530其它520问是否有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关本题可以参考独立性检验临界值表PK2≥00参考公式：K2＝eq\fn（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d18．本小题满分12分已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．Ⅰ若△ABC的面积S△ABC＝eq\f\r3,2，c＝2，A＝60°，求a，b的值；Ⅱ若a＝ccosB，且b＝csinA，试判断△ABC的形状．19．本小题满分12分如图3，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，且PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：图3ⅠCD⊥AE；ⅡPD⊥平面ABE20．本小题满分12分已知函数g＝eq\f1,42－eq\f3,2＋ln＋bⅠ当b＝－eq\f5,4时，求g在1，g1的切线方程；Ⅱ若函数g在上有两个不同的零点，求实数b的取值范围．21．本小题满分12分图4如图4，已知三点A，P，Q在抛物线C：2＝8y上，点A，Q关于y轴对称点A在第一象限，直线PQ过抛物物线的焦点FⅠ若△APQ的重心为Geq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f8,3，3，求直线AP的方程；Ⅱ设△OAP，△OFQ的面积分别为S1，S2，求Seq\o\al\s\up12,\s\do11＋Seq\o\al\s\up12,\s\do12的最小值．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．22．本小题满分10分【选修4－4：坐标系与参数方程】在直角坐标系Oy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\a\vs4\al\co1＝1＋\f\r2,2t，,y＝1－\f\r2,2t，t为参数，在极坐标系与直角坐标系Oy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴的正半轴为极轴中，圆C的极坐标方程为ρ2－6ρcosθ＋5＝0，圆C与直线l交于A，B两点，P点的直角坐标为1，1Ⅰ将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；Ⅱ求eq\b\lc\|\rc\|\a\vs4\al\co1PA＋eq\b\lc\|\rc\|\a\vs4\al\co1PB的值．23．本小题满分10分【选修4－5：不等式选讲】已知函数f＝eq\b\lc\|\rc\|\a\vs4\al\co12－1－eq\b\lc\|\rc\|\a\vs4\al\co1＋1，g＝eq\b\lc\|\rc\|\a\vs4\al\co1－a－eq\b\lc\|\rc\|\a\vs4\al\co1＋aⅠ解不等式f>4；Ⅱ∀1∈R，∃2∈R，使得f1＝g2，求实数a的取值范围．

高二数学（文科）参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DADCBBDADBBB【解析】1．集合，，则，故选D．2．，所以，故选A．3．由题可得，，，，则回归方程为，将A，B，C，D四项分别代入方程，只有这个点在直线上，故选D．4．若，，则或，即A不符合题意；若，，则或，即B不符合题意；若，，则l，平行或垂直或相交，即D不符合题意，故选C．5．因为钢球与棱锥的四个面都接触，所以钢球与棱锥的棱相离，而与棱对应的高相切．所以经过棱锥的一条侧棱和高所作的截面中，球的截面圆与两条高相切，而与棱相离，且与棱锥的高相交，故选B．6．，解得，，故选B．7．本程序的功能为，故选D．8．因为等比数列的公比，所以，，则，故选A．9．曲线的导数为，由题意直线是曲线的一条切线，设其切点为，∴，解得舍负，切点在直线上，所以切点坐标为，所以，即，故选D．10．甲的平均数，乙的平均数，所以．甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以，故选B．11．由，是单位向量，，可设，，，由向量满足，∴，∴，即，其圆心，半径，∴，∴，故选B．图112．由题意，原方程等价于与的图象的交点个数问题．由，可知的图象关于对称，作出在上的图象，再根据是偶函数，图象关于y轴对称，结合对称性，可得作出在上的图象，如图1所示．再在同一坐标系下，画出的图象，同时注意其图象过点，由图可知，两图象在区间内有三个交点，从而原方程有三个根，故选B．图1第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案，134【解析】13．因为命题，P的否定为，，故答案为，．14．设，则，所以是等差数列，其公差是a，其中，由知，，，所以，，，，，．15．如图2所示，设左焦点为，连接，，由椭圆的对称性及，可知为矩形，∴．由直线得，∴，且，．由椭圆的定义可得，，∴．16．由已知得到可行域如图3：可求出三个交点坐标，，，目标函数的最大值为11，几何意义是直线截距的最大值为11，由图得知，当过点A截距取得最大值，故，解得．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵，…（3分）∴估计文科数学平均分为．……………（4分）又理科总人数，样本中理科考生有28人及格，所以估计有，∴理科考生有560人及格．………（7分）（Ⅱ），……………（10分）故没有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关．…………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵，∴，得．………（3分）由余弦定理得，所以．……………………（6分）（Ⅱ）由余弦定理得，所以．………（9分）在Rt△ABC中，，所以，所以△ABC是等腰直角三角形．……（12分）19．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，因为，，所以平面PAC，又平面PAC，所以．…………（4分）（Ⅱ）由，，可得，因为E是PC的中点，所以．由（Ⅰ）知，且，所以平面PCD．………（7分）又平面PCD，所以．因为平面ABCD，平面ABCD，所以．又，，PA，平面PAD，所以平面PAD，………………（10分）又平面PAD，所以．又，所以平面ABE．………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为，所以，……………（2分）所以，又因为切点为，…………………（4分）所以切线的方程为．………（5分）（Ⅱ）若函数在上有两个不同的零点，可得在内有两个实根．…………………（6分）设，，当时，递减，当时，递增，由，，，…………………（9分）画出的图象，如图4所示，可得，解得．…………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设，，，则，所以所以，，所以AP：．…………………（4分）（Ⅱ）设PQ：，由得，所以，即．………（6分）又设AP：，由得，所以，所以，所以AP：．…………………（8分）即AP过定点，所以，，………（10分）所以，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为．………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由消去参数t得，