第二型曲面积分

第二型曲面积分演示文稿现在是1页\一共有36页\编辑于星期二优选第二型曲面积分现在是2页\一共有36页\编辑于星期二1定向曲面观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧能区分出曲面的侧的曲面叫做双侧曲面.一、第二型曲面积分的概念和性质现在是3页\一共有36页\编辑于星期二典型双侧曲面现在是4页\一共有36页\编辑于星期二选定了侧的双侧曲面称为定向曲面或有向曲面.用∑表示选定了某个侧的定向曲面，则选定其相反侧的定向曲面用∑－表示.注意：∑

与∑－是不同的曲面.∑∑

－1定向曲面现在是5页\一共有36页\编辑于星期二规定:定向曲面上任一点处的法向量的方向总是指向曲面取定的侧.例如，空间直角坐标系中

x轴指向前方，

y轴指向右方，

z轴指向上方。yzOx1定向曲面现在是6页\一共有36页\编辑于星期二取上侧，则它在点(x,y,z(x,y))处的法向量取S,),(yxzz=的方程为：若光滑曲面S即与oz轴正向交成锐角关于oz轴的方向余弦1定向曲面现在是7页\一共有36页\编辑于星期二取下侧，则它在点(x,y,z(x,y))处的法向量取S,),(yxzz=的方程为：若光滑曲面S即与oz轴正向交角为钝角关于oz轴的方向余弦1定向曲面现在是8页\一共有36页\编辑于星期二光滑曲面y=y(x,z)的右侧和左侧的法向量分别为：光滑曲面x=x(y,z)的前侧和后侧的法向量分别为：1定向曲面现在是9页\一共有36页\编辑于星期二光滑曲面由参数方程：则它的侧由法向量：x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v).

选定“+”号或“—”号确定例1

在球坐标系下单位球面表示为1定向曲面现在是10页\一共有36页\编辑于星期二典型单侧曲面:

莫比乌斯带现在是11页\一共有36页\编辑于星期二2第二型曲面积分的概念

设

表示流体的流速场，∑为场中的一片定向曲面，欲求单位时间内流体由曲面负侧经曲面∑流向正侧的流量。实例:流向曲面一侧的流量.①分割把曲面Σ细分成小块任取任取一典型的微元在其上任取一点设其面积也记成曲面Σ在点处的单位法向量现在是12页\一共有36页\编辑于星期二MSdS

单位时间流经曲面微元的流量可近似地看做一细柱体，底面为，高为故②求和单位时间流经Σ的流量：③

取极限流量的精确值，取极限得到2第二型曲面积分的概念现在是13页\一共有36页\编辑于星期二

定义1:设是一向量场，∑是场中的一定向曲面，称为向量场流经曲面∑的通量.记当是电位移向量，则就是穿过曲面∑的电通量，当是磁感应强度，则就是穿过曲面∑的磁通量.2第二型曲面积分的概念现在是14页\一共有36页\编辑于星期二则在单位时间流经曲面∑的通量为2第二型曲面积分的概念现在是15页\一共有36页\编辑于星期二

定义2:设∑是一片光滑的定向曲面，向量函数

在∑上有界，是∑上点(x,y,z)处的单位向量，若曲面积分

存在，则称此积分为沿曲面∑的第二型积分。其中称为定向曲面积分微元，(1.2)若记2第二型曲面积分的概念现在是16页\一共有36页\编辑于星期二

则

这时第二型曲面积分(1.2)也可写成

第二型曲面积分又称为对坐标的曲面积分。2第二型曲面积分的概念现在是17页\一共有36页\编辑于星期二

曲面积分

都是第二型曲面积分。例如：可理解为沿∑的第二型曲面积分。2第二型曲面积分的概念现在是18页\一共有36页\编辑于星期二3第二型曲面积分的性质(1)（线性）

其中，和为常数.(2)（可加性）设且则现在是19页\一共有36页\编辑于星期二(4)（长大不等式）设则(3)设

表示相对的负侧，则3第二型曲面积分的性质现在是20页\一共有36页\编辑于星期二第二型曲面积分主要化为二重积分计算二、第二型曲面积分的计算1分面投影法

设光滑曲面Σ是由定义在投影区域的单值函数z=z(x,y)表示则其中，面积微元是dS在xoy平面的投影.现在是21页\一共有36页\编辑于星期二因此，在第二型曲面积分，而，二、第二型曲面积分的计算现在是22页\一共有36页\编辑于星期二二、第二型曲面积分的计算现在是23页\一共有36页\编辑于星期二

若过投影区域的点作平行于oz轴的直线和曲面∑的交点多于一个，则可把∑分割成若干个小片，使每个小片均与平行于oz轴的直线的交点不多于一个，然后利用积分可加性计算沿曲面∑的积分。

若曲面∑由单值函数是它在zox平面的投影区域；

若曲面∑由单值函数

是∑在yoz平面的投影区域。

都有相类似的结果，参见课本P202页。二、第二型曲面积分的计算现在是24页\一共有36页\编辑于星期二例2

计算曲面积分其中∑是球面的外侧并满足的部分。解把∑分成上下两片，即位于第一卦限的部分和位于第二卦限的部分，它们在xoy平面的投影区域Oyzx二、第二型曲面积分的计算现在是25页\一共有36页\编辑于星期二其法向量指向上侧

的方程是

的方程是其法向量指向下侧二、第二型曲面积分的计算现在是26页\一共有36页\编辑于星期二Oyzx解：例3

设∑是由以O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0)和C(0,0,1)为顶点的四面体OABC的表面，取外侧，求向量场

通过∑的通量。C(0,0,1)B(0,1,0)A(1,0,0)OAB的方程是二、第二型曲面积分的计算现在是27页\一共有36页\编辑于星期二由(1.14)和(1.13)知故同理二、第二型曲面积分的计算现在是28页\一共有36页\编辑于星期二面ABC的方程为x+y+z=1，上侧单位法向量可取

，故所以通量

由例2看到，我们可把第二型曲面积分化为相应坐标面的投影区域的二重积分进行计算，称这种方法为“分面投影法”。二、第二型曲面积分的计算现在是29页\一共有36页\编辑于星期二[注记]利用第一型曲面积分与第二型曲面积分的关系也可以计算沿面ABC的积分。二、第二型曲面积分的计算现在是30页\一共有36页\编辑于星期二2合一投影法

把三种类型的积分转化为对同一坐标面的积分.因

例如，设曲面∑的方程为它与平行于坐标轴的直线均至多交于一点，其单位法向量为故二、第二型曲面积分的计算现在是31页\一共有36页\编辑于星期二于是然后化为对xoy平面的二重积分.

若∑的方程为则二、第二型曲面积分的计算现在是32页\一共有36页\编辑于星期二故例如，在例3中的面ABC由方程：表示，沿ABC

的积分二、第二型曲面积分的计算现在是33页\一共有36页\编辑于星期二例4

计算曲面积分其中∑是旋转抛物面介于及之间的部分，取下侧。ozxy解：曲面∑在xoy平面的投影区域又二、第二型曲面积分的计算现在是34页\一共有36页\编辑于星期二由(1.16)因