四川省达州市铭仁园学校2022-2023学年高二年级下册学期第一次月考文科数学试题【含答案】

四川省达州市铭仁园中学2022-2023学年第二学期第一次月考高二数学（文科）一单项选择题（每题5分，共12道小题，共计60分）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据交集直接计算求解.【详解】，．故选：A2.复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算求出后即可得出.【详解】，虚部是.故选：D.3.执行如图所示的程序框图，输出的为A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】，满足的为奇数，不满足有解，故选C.4.已知命题“”是假命题，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意可知该命题的否定是真命题，再根据一元二次不等式恒成立即可求解.【详解】由题意可知，命题“”是假命题则该命题的否定“”是真命题，所以，解得；故选：D.5.已知实数满足，则的最小值为A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又由目标函数，可得，平移直线，当图象可知当直线过点时，直线的截距最小，此时取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为.故选：D.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】利用诱导公式化简所求表达式，结合已知条件得出正确选项.【详解】因为，故选：C.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题7.设等比数列的前项和为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设等比数列公比为，由结合已知条件求、，再利用等比数列前n项和公式求.【详解】设等比数列公比为，则，又，∴，故，又，即.故选：C8.如图正方体中，点分别是的中点，为正方形的中心，则（）A.直线是异面直线 B.直线是相交直线C.直线与所成角为 D.直线所成角的余弦值为【答案】C【解析】【分析】根据空间直线的位置关系判断直线与，是否异面，用向量法求异面直线所成角.即可得到答案.【详解】在正方体中，点分别是的中点，为正方形的中心，易知四边形为平行四边形，所以相交，故A不正确.若直线是相交直线，则直线相交或平行，这与题意不符合，故B不正确.以分别为轴建立空间坐标系，设正方体的棱长为2，如图则,则,,则.所以直线与所成角为，故C正确.,故D不正确.故选：C【点睛】本题考查空间直线的位置关系，异面直线所成角，属于中档题.9.如图在中，，为中点，，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积；【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，又，，，则，即，即，则，则，，则；故选：C．10.已知，，且，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】已知，，且，则，所以，.当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11.过双曲线的左顶点A作斜率为1的直线，若与双曲线的两条渐近线分别交于B,C，且，则此双曲线的离心率是A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】,直线的方程为，与渐近线方程联立，，解得：，，；，解得：，，根据,，，可得，解得，双曲线的离心率，故选C.12.已知，且，，，则（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，根据单调性即可确定的大小.【详解】设函数，，当，此时单调递增，当，此时单调递减，由题，，，得，因，所以，则，且，所以.故选：A.【点睛】解本题的关键是发掘题中三个式子的相似性，并进行等价变形，易于构造函数，本题多次利用函数的单调性，先利用单调性判断函数值大小，再由函数单调性判断自变量大小.二填空题（每题5分，共4道小题，共计20分）13.已知某校随机抽取了名学生，将他们某次体育测试成绩制成如图所示的频率分布直方图.若该校有名学生，则在本次体育测试中，成绩不低于分的学生人数约为__________．【答案】【解析】【详解】依题意，所求人数为，故答案为.14.已知函数的图象如图所示，则_____________.【答案】【解析】【分析】根据函数的图象，求得函数的最小正周期，进而得到的值，再由，求得的值，即可得到答案．【详解】由图象可知:，又，，所以，因为在图象上，所以，，所以，又，所以，，故答案为：.15.已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则点到平面的距离为_______________.【答案】【解析】【分析】根据球与几何体的组合体的几何性质，利用垂直关系，即可求解.【详解】设球心为,过三点的小圆的圆心为,则平面,延长交球于点,则平面.高.故答案为：16.已知函数，若，则实数的取值范围为____________.【答案】【解析】【分析】根据偶函数的定义判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，利用函数性质化简不等式求其解.【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域关于原点对称，又所以为偶函数,当时,，所以，当且仅当时取等号，在上是增函数,由得,,,解得或所以实数的取值范围为.故答案为：.三解答题（共6道小题，共计70分，22题，23题选做一题，多做按照第一题计分，写清楚必要的文字说明和演算步骤）17.已知数列的前项和，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，可得，后可得的通项公式；（2）由（1）可得，后可由错位相减法求数列的前项和.【小问1详解】当时，，当时，，又满足上式，∴，∴.【小问2详解】由（1）得，，，∴，∴，∴，①①×2得，②①②得，∴.18.在直四棱柱中，四边形为平行四边形,为的中点，.（1）求证:面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）三棱锥的体积为.【解析】【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，利用向量方法证明，，结合线面垂直判定定理证明平面；方法二：证明和，再根据线面垂直判定定理证明平面；（2）先求的面积和，结合锥体体积公式可求三棱锥的体积.【小问1详解】方法一：四边形为平行四边形，，又，，，又平面，以为坐标原点，为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，即，，，平面，平面.方法二：因为，，可得，，又，.又是直四棱柱，平面，平面，.，平面，平面，平面，，取中点，连接，且，为平行四边形，，=，，，，又，，又，平面，平面；【小问2详解】在中，，所以，在中，，所以，因为，，，所以，所以为直角三角形，其面积，因为面，所以三棱锥的底面上的高为，在中，，所以，所以.所以三棱锥的体积为.19.第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：收看时间（单位：小时）收看人数143016282012（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全列联表：男女合计体育达人40非体育达人30合计并判断能否有90％的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.求抽取的这两人恰好是一男一女的概率.附表及公式：.【答案】（1）填表见解析；有90％的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关；（2）.【解析】【分析】(1)依题意完善列联表，计算卡方，再跟参考值相比较，即可判断；（2）记“抽取的这两人恰好是一男一女”为事件，则，计算可得；【详解】解:（1）由题意得下表：男女合计体育达人402060非体育达人303060合计7050120的观测值为.所以有90％的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关.（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，记“抽取的这两人恰好是一男一女”为事件，.答：抽取的这两人恰好是一男一女的概率为.【点睛】本题考查独立性检验以及古典概型的概率计算，属于基础题.20.已知函数.（1）求的单调区间与最值；（2）若，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，无最小值；（2）【解析】【分析】（1）对f(x)求导，利用导函数的正负可得原函数的单调性及最值.（2）利用（1）的结论得到，将所求不等式进行分类参数后得到，利用上述结论可得，再说明等号可以成立，即可得到结果.【详解】（1）因为，所以所以当时，；当时，，则的单调递增区间为，单调递减区间为故无最小值（2）由（1）可知，即，则，即若，则因为，所以（当且仅当时，等号成立），而显然有解.故，即的取值范围为【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调区间及最值，考查了解决不等式恒成立问题的方法技巧，其中利用进行放缩是难点，属于较难题型.21.已知椭圆的离心率为，点为椭圆的右顶点，点为椭圆的上顶点，点为椭圆的左焦点，且的面积是.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为与不重合)，则直线与轴交于点，求面积的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据离心率和以及可求得的值，从而得到椭圆方程；（2）直线与椭圆相交问题，设交点为，则有，把直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后可得，写出直线方程，求出点坐标为，又直线过定点，因此，可用表示出来，可设换元结合单调性求其范围．【小问1详解】由题意可得，所以，，，解得，椭圆的方程为:.【小问2详解】设,由,得显然,由韦达定理有:，，直线的方程为:，令,则，又，则，所以直线与轴交点，直线过定点，，，令，则，因，当时，单调递增，所以在上单调递减，.所以面积取值范围为.【点睛】关键点点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l交于P，Q两点，求的值.【答案】（1）；；（2）2.【解析】【分析】（1）直接把曲线的参数方程中的参数消去，可得曲线的直角坐标方程；把直线的极坐标方程展开两角和的余弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程；（2）化曲线的直角坐标方程为极坐标方程，联立曲线的极坐标方程与直线的极坐标方程，消去，可得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解．【详解】（1）由为参数），消去参数得．曲线的普通方程为．由，得，而，．直线的直角坐标方程为；（2）化曲线的方程为极坐标方程：．联立直线的极坐标方程．消去得：．设，两点所对应的极径分别为，，则．．【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题．23.已知函数f(x)＝|2x－3|＋|2x＋3|.（1）解不等式f(x)≤8；（2）设x∈R时，f(x)的最小值为M，若实数a，b，c满足a＋b＋2c＝M，求