2023届湖北省荆荆宜仙四市高三年级下册学期2月联考数学试题【含答案】

2023届湖北省荆荆宜仙四市高三下学期2月联考数学试题一、单选题1．若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将集合化简，然后根据交集的运算，即可得到结果.【详解】集合，则，故选:D.2．已知复数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的运算即可得到，从而得到即可.【详解】复数，故，故选:.3．已知向量，则“与共线”是“存在唯一实数使得”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】充分性根据验证；必要性直接证明即可.【详解】当时，满足与共线，但是不存在实数使得，故充分性不成立；存在唯一实数使得则与共线成立，即必要性成立.故“与共线”是“存在唯一实数使得”的必要不充分条件.故选：B.4．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.则鲑鱼以游动时的耗氧量是它静止时的耗氧量的（

）A．7倍 B．8倍 C．9倍 D．10倍【答案】C【分析】根据题意，结合对数的运算，代入即可得到结果.【详解】由得.当时，，当时，，故，故选:C.5．的展开式中，常数项是（

）A． B． C．9 D．10【答案】A【分析】由二项式定理的通项公式计算可得结果.【详解】∵，第项为：，，的第项为：，∴展开式中的常数项.故选：A.6．已知则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用余弦函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性，借助中间量进行比较大小.【详解】因为，所以，所以函数单调递减，则，因为函数单调递减，由有：，因为函数在上单调递增，由有：，所以.故选：C.7．六名同学排成一排照相，则其中甲､乙､丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】六名同学排成一排照相，共有中不同的排列方法，满足条件的共有种排法，得到概率.【详解】六名同学排成一排照相，共有中不同的排列方法.甲､乙､丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻共有：先确定除甲乙丙三人外的位置，共有种方式，再确定甲在丁的两边有种方式，最后将乙丙放入3个空中，（甲旁边不能放入），有种方式，故共有种不同的排法，故概率，故选：D8．已知双曲线为双曲线的右焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，根据列式，根据的取值范围求得的取值范围，进而求得离心率的取值范围.【详解】依题意可知在第一象限，在第二象限，到渐近线的距离为，即，设，则，，由得，故，，.故选:C二、多选题9．已知，且，则（

）A． B．若，则C． D．若，则【答案】BC【分析】对于AD，举反例排除即可；对于B，由条件得，从而得以判断；对于D，利用基本不等式求解即可.【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，因为，所以，则，故，故B正确；对于C，因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，显然，所以，故C正确；对于D，当时，，故D错误.故选：BC.10．下列命题中，真命题的是（

）A．中位数就是第50百分位数B．已知随机变量，若，则C．已知随机变量，且函数为偶函数，则D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生､女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为120.【答案】ABC【分析】利用中位数的概念即可判断A正确；对于选项B，利用二项分布的方差公式及方差性质求解；对选项C，利用正态分布的对称性即可求解，对选项D，利用平均数和方差公式计算即可【详解】对于选项A，中位数就是第50百分位数，选项A正确；对选项B，，则，故B正确；对选项C，，函数为偶函数，则，区间与关于对称，故，选项C正确；对选项D，分层抽样的平均数，按分成抽样样本方差的计算公式，选项D错误.故选：ABC11．折纸是一种高雅的艺术活动.已知正方形纸片的边长为2，现将沿对角线旋转，记旋转过程中点的位置为点中点分别为，则（

）A．B．最大为C．旋转过程中，与平面BOP所成的角的正弦值的取值范围是D．旋转形成的几何体的体积是【答案】ACD【分析】对于A项，证明平面即可；对于B项，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆上的点，然后再根据求解；对于C项，以为一组基底，则，求出用来表示，再根据求范围；对于D项，旋转形成的几何体由两个半圆锥组成，求解即可.【详解】对选项，在旋转过程中，连接，且为中点，同理，且平面平面，故，选项A正确；对选项B，在旋转过程中，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆上的点，所以始终满足，故，，当且仅当时等号成立，故选项B错误；对选项C，在旋转过程中，记，以为一组基底，则.设旋转过程中，与平面所成角为，则，故选项C正确；对选项D，旋转形成的几何体由两个半圆锥组成，其体积为，选项D正确，故选：ACD12．已知过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，弦的中点为，过两点分别作抛物线的两条切线交于点交抛物线于，过作抛物线的切线分别交于，则（

）A．轴 B．C． D．成等比数列【答案】ABD【分析】通过切线求得点横坐标与点的横坐标相同，由此判断A选项的正确性.利用判断B选项的正确性.利用点到直线的距离公式以及三角形的面积公式判断CD选项的正确性.【详解】设，则，由得，故在处的切线方程分别为：，即有：（），设，切线均过点，则切点弦所在直线方程为：，又过点，则恒成立，即在直线上，由（）可得，故轴，选项A正确，，故，故，选项B正确；根据题意，直线的斜率显然存在，设为，则.故，到直线的距离分别为，，故是的中位线，，且，根据题意可得是中点，，故，选项C错误，D正确；答案选：ABD【点睛】在圆锥曲线中求三角形的面积，关键点有两点，一个是选取底和高，不同的问题，求解三角形面积所用的底和高会有所不同.另一个是点到直线的距离公式，点到直线的距离公式的用途很广，需要准确的记忆，如要将直线方程转化为一般式，分子有绝对值等.三、填空题13．在边长为3的等边三角形中，，则__________.【答案】【分析】根据平面向量的数量积运算即可得到结果.【详解】因为，则为靠近的三等分点，所以.故答案为:14．已知函数，若是函数的图像的一条对称轴，是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为__________.【答案】##【分析】根据题意，由正弦型函数的对称性列出方程，即可得到，从而得到结果.【详解】根据题意可得，.，又，故.故答案为:15．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为__________.【答案】##【分析】设，利用与圆的关系，得到，，进而得到点均在以为直径的圆上，进而得到圆的方程，则直线为两圆的公共弦，进而可求出直线以及该直线所过的定点，即可求得的最小值【详解】设，则有①，又由圆的圆心为，直线，是圆的两条切线，为切点，则，，则点均在以为直径的圆上，设的中点为，则圆的方程为，化简得；直线即为两圆的公共弦，所以对于和，两式相减可得直线的方程为，由①可得，，整理得，由得故直线过定点，因为，说明在圆内，当时，此时最小，为故答案为：16．若关于的不等式有解，则的取值范围是__________.（其中）【答案】【分析】根据题意，将式子变形为，结合，即可得到结果.【详解】关于的不等式有解，则有解，设，则，当时，，当时，；所以在上递减，在上递增，所以，即，又，当时（与显然在有交点，故此方程有解），等号成立，所以.故答案为:【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将改写成，再利用常见不等式放缩得到.四、解答题17．已知数列和数列满足：，其中.(1)求数列的通项公式.(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）解方程组得与的通项公式，再解方程组可得、的通项公式.（2）求得的通项公式，运用分组求和、等差数列求和公式、错位相减求和可得结果.【详解】（1）∵，①，②①+②得：，∴是以为首项，公差为0的等差数列，∴，③①-②得：，∴是以为首项，公比为的等比数列，∴，④∴由③④得：，.（2）∴，令∴③④由③-④得：∴∴.18．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面，(1)求到平面的距离；(2)求平面与平面的夹角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等体积求解.（2）以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设平面与平面的夹角为，则代入求解.【详解】（1）平面，所以是三棱锥的高，根据题意，设到平面的距离为，，由得，代入数据，得，所以到平面的距离为.（2）由平面，平面，，又则，两两垂直，以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，则设平面的一个法向量为，则，令，则，平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则，，平面与平面的夹角的正弦值为19．在锐角中，角所对的边分别是，满足.(1)求证：；(2)求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用正余弦定理化简得，再利用两角和差的正弦公式及三角形的性质得，得证；（2）弦切互化转化为正弦复合函数，先求角C的范围，然后换元，利用函数单调性求范围.【详解】（1）由及余弦定理得，由正弦定理得：，又，，，，都是锐角，，即.（2）令，由（1）得，在锐角三角形中，，即，解得，，令，，又函数在上单调递增，，故的取值范围是.20．某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：语文成绩合计优秀不优秀数学成绩优秀503080不优秀4080120合计90110200(1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？(2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值.(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望.附：【答案】(1)认为数学成绩与语文成绩有关；(2)；(3)分布列见解析，.【分析】（1）零假设后，计算的值与比较即可；（2）根据条件概率公式计算即可；（3）分层抽样后运用超几何分布求解.【详解】（1）零假设：数学成绩与语文成绩无关.据表中数据计算得：根据小概率值的的独立性检验，我们推断不成立，而认为数学成绩与语文成绩有关；（2）∵，∴估计的值为；（3）按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量的所有可能取值为.，，，，∴的概率分布列为：0123∴数学期望.21．已知椭圆的离心率为，长轴长与焦距的和为6，直线过点与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点是直线上的任意一点.(1)求椭圆的方程；(2)记直线的斜率分别为，求证：成等差数列.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，即可得到椭圆方程；（2）设，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出，然后计算化简即可证明.【详解】（1）由题意：，解得，又，得椭圆的方程为（2）显然的斜率存在，设联立消去得.设，则又故成等差数列.22．已知.(1)讨论的单调性；(2)若，对，方程只有唯一实数根，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求导，对参数a分类讨论；（2）构造函数，将原问题转化为曲线与曲线只有一个交点的问题.【详解】（1），，当时无解，，在上单调递增；当时，令，则，时递减，时递增；（2）即，即，令，