2022-2023学年陕西省西安市周至县高二年级上册学期期末数学（理）试题【含答案】

2022-2023学年陕西省西安市周至县高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．设命题：，，则为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得结论.【详解】因为命题为，，所以命题为，.故选：B.2．设则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求解不等式，比较所给范围与所求范围的关系，得出结论.【详解】解：等价于或，所以是或的充分不必要条件.故选：A3．命题p：对任意x∈R，都有sinx<1；命题q：存在x∈R，使得cosx≤－1.则下列命题是真命题的是()A．p且q B．(¬p)且qC．p或(¬q) D．(¬p)且(¬q)【答案】B【分析】根据三角函数的有界性得到为假，为真，对A，B，C，D四个选项根据复合命题真假判断的真值表，得到答案．【详解】根据三角函数的有界性，，所以对任意，都有为假，即命题为假；，所以存在，使得为真，由真值表可得且为假，且为真，或为假，且为假，故选B.【点睛】本题主要考查了复合命题真假的判断，若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可．4．已知平面的法向量是，平面β的法向量是，若，则λ的值是（）A．﹣6 B．6 C． D．【答案】C【分析】两个平面垂直，则它们的法向量也垂直，利用法向量的数量积为零来建立方程，解方程求得λ的值.【详解】由于两个平面垂直，故它们的法向量也垂直，即.故选C.【点睛】本小题主要考查空间两个向量垂直的坐标表示，考查运算求解能力，属于基础题.5．对抛物线，下列描述正确的是A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为【答案】B【详解】解：因为抛物线，可知化为标准式为抛物线，2p=1/4，故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为，选B6．椭圆的一个焦点是，那么实数的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先把椭圆的方程化成焦点在y轴上的标准方程，再求k的值.【详解】由题得，因为椭圆的一个焦点是，所以.故答案为D【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，注意交点在y轴上，属于基础题.7．在四棱锥中，底面是平行四边形，设，则可表示为A． B．C． D．【答案】A【分析】根据空间向量的加减法的运算法则即可解出．【详解】因为，所以，所以，所以．故选：A．8．已知双曲线的两焦点分别为、，双曲线上一点到的距离为，则到的距离为（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】讨论点的位置，结合双曲线的定义列关系式求.【详解】设双曲线的实半轴长为，半焦距长为，因为双曲线的方程为，所以，，当点在双曲线的左支时，，，又，所以，当点在双曲线的右支时，，，解得，矛盾，不存在点满足条件.故选：A.9．如图，长方体中，，，，E、F分别是线段和的中点，则异面直线与所成的角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求出直线与的方向向量，利用向量夹角公式求两向量的夹角，由此可得异面直线与所成的角.【详解】因为，以点为原点，以为的正方向，建立空间直角坐标系，则，所以，，所以，设异面直线与所成的角为，则，又，所以，所以异面直线与所成的角是.故选：B.10．已知抛物线C与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据双曲线的方程可求得其焦点坐标，从而可设抛物线的方程，利用焦点和双曲线焦点相同，求得参数值，即得答案.【详解】由已知可知双曲线的焦点为,故设抛物线方程为，则，故，所以抛物线方程为,故选:D.11．下列说法中错误的个数为（

）①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③是的充要条件；④与是等价的；⑤“”是“”成立的充分条件.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据四个命题间的关系判断①②，由充分、必要条件的推出关系及特殊值法判断③④⑤.【详解】①一个命题的逆命题和否命题是等价命题，正确；②一个命题的否命题为假，原命题不一定为假，错误；③可推出，而时成立，但不满足，故是的充分不必要条件，错误；④如果时，与不等价，错误；⑤当时，故是不充分的，错误，因此有4个命题是错误的．故选：C12．若椭圆的离心率是，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用与表示出椭圆的离心率并且结合椭圆离心率的数值求出，接着利用，表示出双曲线的离心率，即可求出双曲线的离心率．【详解】解：由题意得椭圆的离心率，所以．所以．所以双曲线的离心率．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.二、填空题13．直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.【答案】【分析】由直线与圆的位置关系可得圆心到直线的距离小于半径，即，从而可求出答案.【详解】直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于，解得－1<k<3.故答案为:.【点睛】本题考查了充要条件，考查了直线与圆的位置关系.14．已知,(为两两互相垂直的单位向量)，那么=________.【答案】–65【详解】试题分析：由,可以解得，，所以【解析】本小题主要考查向量的运算.点评：由已知条件可以求出向量的坐标，进而根据向量是数量积运算公式可以求解，难度较低，运算要仔细.15．以为中点的抛物线的弦所在直线方程为：_________________．【答案】【详解】解：此弦不垂直于X轴，故设点（1，-1）为中点的抛物线y2=8x的弦的两端点为A（x1，yi）B（x2，y2）得到yi2=8x1，y22=8x2两式相减得到（yi+y2）（yi-y2）=8（x1-x2）∴k=yi-y2/x1-x2=-4∴直线方程为y+1=-4（x-1），即4x+y-3=016．设，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，则的面积为_____________．【答案】1【分析】在中，由，得到，再由椭圆的定义得到求解.【详解】解：在中，因为，所以，由椭圆的定义得：，两式求得，所以，故答案为：1三、解答题17．判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．(1)末尾数是偶数的数能被整除；(2)对任意实数，都有；(3)方程有一个根是奇数．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】（1）利用全称命题的定义进行判断原命题，又不能被整除，可得命题的否定为真；（2）利用全称命题的定义进行判断原命题，又当时符合不等式，则命题的否定为真；（3）利用特称命题的定义进行判断原命题，又方程的两根为和，则则命题的否定为假．【详解】（1）该命题是全称命题，该命题的否定是：存在末尾数是偶数的数，不能被整除；该命题的否定是真命题．（2）该命题是全称命题，该命题的否定是：存在实数，使得；该命题的否定是真命题．（3）该命题是特称命题，该命题的否定是：方程的两个根都不是奇数；该命题的否定是假命题．18．已知命题：“，”，命题：“，”，若“且”为真命题，求实数的取值范围．【答案】或【分析】先分别求出，为真时，的范围；再求交集，即可得出结果.【详解】若是真命题．则对任意恒成立，∴；若为真命题，则方程有实根，∴，解得或，由题意，真也真，∴或．即实数的取值范围是或.19．已知抛物线的准线方程是.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【详解】试题分析：（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x-2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON试题解析：（Ⅰ）解：因为抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为.（Ⅱ）证明：设，.将代入，消去整理得.所以.由，，两式相乘，得，注意到，异号，所以.所以直线与直线的斜率之积为，即.【解析】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程20．如图，平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，．请用空间向量的知识解答下列问题：(1)证明：平面；(2)求直线与平面DCE所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量方法证明，根据线面平行判定定理证明平面；(2)求平面的一个法向量和直线的方向向量，求两向量的夹角余弦，由此可得结论.【详解】（1）因为平面，平面，所以，因为四边形为正方形，所以，以为坐标原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，．∴，，∴．所以，∵平面，平面，∴平面．（2）由（1）知，，，因为，所以又，平面，，所以平面，所以为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为．21．已知圆：经过椭圆：的两个焦点和两个顶点，点，直线：与椭圆交于两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数．(1)求椭圆的标准方程；(2)求的值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）根据题意找出，，利用即可；（2）设，，联立直线与椭圆方程消元，写出韦达定理，然后表示出直线与直线的斜率、，由题意得，将条件代入化简即可.【详解】（1）由题意知：椭圆的焦点在轴上，圆：与轴交点为，即为椭圆的焦点，圆：与轴交点为，即为椭圆的上下顶点，∴，，∴，∴椭圆的标准方程为：．（2）设，，由，得，则，，又，∴直线的斜率，直线的斜率，∴，解得，故所求的值为1．22．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面．(1)求证：平面SAC；(2)设，当SA的值为多少时，二面角的大小为．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)由线面垂直的性质可得，由正方形的性质可得，由线面垂直的判定定理可证平面；(2)建立空间直角坐标系，设，求出平面