2022-2023学年浙江省嘉兴八校联盟高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年浙江省嘉兴八校联盟高二上学期期中数学试题一、单选题1．若直线l的斜率为，则该直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据斜率的定义求解.【详解】由定义：斜率，其中为直线l的倾斜角，，又；故选：C.2．已知等差数列的通项公式，则它的公差为（

）A．3 B． C．5 D．【答案】B【分析】根据公差的定义求解.【详解】由题意：公差；故选：B.3．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为，由双曲线的定义知，，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为，半焦距为c，则由题意可知，，即，故，所以双曲线的标准方程为.故选：C．4．数列中，，则（

）A． B．9 C． D．13【答案】D【分析】根据题意，分别令，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，且，令，则，令，则.故选:D5．若圆与圆外切，则实数a的值为（

）A．3 B．5 C．3或 D．5或【答案】C【分析】利用圆与圆的位置关系求解.【详解】解：因为圆与圆外切，所以，解得或，故选：C6．若直线与圆相交于点P，Q，则（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，求圆心到直线的距离，结合直线与圆相交弦长公式求解即可.【详解】直线与圆相交于点P，Q，则圆心到直线的距离为,所以.故选：D.7．抛物线上一点P到点的距离与点P到准线的距离之和的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出焦点F坐标和准线方程，根据抛物线的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，当P，F，A三点共线时所求距离之和最小.【详解】对于，，所以焦点坐标为，准线方程为，则P点到准线的距离，显然当P，F，A三点共线时，并且P在A，F之间时最小，如下图：的最小值=；故选：B.8．如图，椭圆的左、右焦点分别为，两平行直线分别过交M于A，B，C，D四点，且，则M的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，则，由椭圆定义得，由椭圆的对称性可知，连接，则．又，利用勾股定理可得答案.【详解】设，则，由椭圆定义得，由椭圆的对称性可知，连接，则．又，所以，在中，，所以，解得，所以，中，，所以，得，所以M的离心率，故选：D.二、多选题9．下列各结论，正确的是（

）A．直线与两坐标轴交于A，B两点，则B．直线与直线之间的距离为C．直线上的点到原点的距离最小为1D．点与点到直线的距离相等【答案】ACD【分析】由两点间、点到直线，平行线的距离公式对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，直线与两坐标轴的交点，则，故A正确；对于B，直线与直线之间的距离为，故B不正确；对于C，直线上的点到原点的距离最小为原点到直线的距离即，故C正确；对于D，点到直线的距离为与点到直线的距离为.所以点与点到直线的距离相等，故D正确.故选：ACD.10．设数列的前n项和为，且满足，则下列说法中正确的有（

）A． B．数列为递增数列 C． D．【答案】AD【分析】根据题意，分别求得，得到数列构成以为周期的周期数列，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，数列满足，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；，归纳可得数列构成以为周期的周期数列，所以，A正确，B不正确；又由，所以C不正确；因为，所以，所以D正确.故选：AD.11．己知直线和圆，则下列说法正确的是（

）A．直线l恒过定点B．直线l与圆相切时，C．若直线的倾斜角为，则直线l与圆相交所得弦长为6D．若直线l与圆相交所得弦AB的长为，则该弦AB在x轴上的投影长为3【答案】BCD【分析】对A，通过将直线整理为，则得到，解出即可，对B，利用圆心到直线的距离等于半径即可得到方程，解出即可，对C，求出代入直线，利用弦长公式即可，对D，根据弦长求出，得到直线倾斜角，即可求出答案.【详解】对A，直线的方程化为：，则，解得，故直线恒过定点，故A错误；对B，由题得圆心到直线的距离等于半径，而圆的半径为，则有，化简得，解得，故B正确；对C，若直线的倾斜角为，则，解得，则直线的方程为，设圆心到直线的距离为，则，则直线与圆相交所得弦长为，故C正确；对D，若圆心到直线的距离为，根据弦长，则有，则，则有，化简得，解得，则，设直线的倾斜角为，，且，则，所以该弦在轴上的投影长为，故D正确.故选：BCD.12．设点为抛物线：的焦点，过点斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），直线交抛物线的准线于点，若，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．的面积为（为坐标原点）【答案】BC【分析】设，利用焦半径公式求出，进而求出，并结合，求出，即可判断A；求出三点的坐标，从而求出向量，的坐标，即可判断B；已知两点坐标，且，利用斜率公式可得，即可判断C；由，求出的面积，即可判断D.【详解】如图，设，，，，又，，即，解得：；故选项A不正确；由上述分析可知，又容易知，则，，故成立；故选项B正确；；故选项C正确；，故选项D不正确；故选：BC．三、填空题13．圆的方程为，则该圆的半径为____________．【答案】【分析】将圆的方程化为标准式，即可求出圆的半径.【详解】由可得，所以圆心坐标为，半径.故答案为：14．记为等差数列的前n项和，已知，则____________．【答案】3【分析】根据等差数列的前项和公式和通项公式求解.【详解】设公差为，因为，所以，即，故答案为:3.15．已知分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交双曲线于A、B两点，若，则的值为____________．【答案】29【分析】根据双曲线方程及已知有在双曲线的下支上，应用双曲线定义及，即可求目标式的值.【详解】由题设，故在双曲线的下支上，如下图示，根据双曲线定义：，所以.故答案为：16．在平面内，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是______．【答案】【分析】求得点关于轴的对称点为，结合圆的性质，即可求解.【详解】由圆，得圆心坐标，半径为，求得点关于轴的对称点为，可得.如图所示，可得爬到的最短路程为.故答案为：四、解答题17．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：.（1）当l1//l2时，求实数a的值；（2）当l1⊥l2时，求实数a的值.【答案】（1）-1；（2）.【分析】（1）根据两直线平行的位置关系建立关系式求解参数即可；（2）根据两直线垂直的位置关系建立关系式求解参数即可.【详解】解：由题意得：（1）(方法1)当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：，l2：时，解得a＝-1综上可知，当a＝-1时，l1//l2(方法2)∵l1//l2∴⇔解得a＝－1故当a＝－1时，l1//l2.（2）(方法1)当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；当a≠1且a≠0时，l1：，l2：由，得(方法2)∵l1⊥l2，∴a＋2(a－1)＝0，解得18．已知圆，(1)若，直线QA、QB分别与圆C相切于A，B两点，求这两条切线的方程；(2)若，过点Q且斜率为的直线交圆C于M，N两点，求的面积．【答案】(1)或x=1(2)【分析】(1)根据直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径即可求解；(2)利用直线被圆截得的弦长公式和点到直线的距离公式求解.【详解】（1）由题意，过点且与x轴垂直的直线为，与圆M相切，此时，切线方程为，

当过点的直线不与x轴垂直时，设其方程为，即，由

解得，此时切线方程为．

综上所述，这两条切线的方程为或.（2）因为直线过且斜率为，则直线方程为圆心C到直线的距离为,

则,

.19．如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2），盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中F点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）．已知镜口圆的直径为，镜深．(1)建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标；(2)若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度（单位）．【答案】(1)，(2)架子所用钢筋总长度为【分析】（1）先建立直角坐标系，得到A点坐标，然后设出抛物线方程进而求得的值，从而可以确定抛物线的方程和焦点的位置.（2）根据盛水或食物的容器在焦点处，结合两点间距离公式可得每根铁筋的长度.【详解】（1）如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径．由已知，得A点坐标是，设抛物线方程为，则，解得，则抛物线的标准方程是，焦点坐标是.（2）因为盛水的容器在焦点处，所以A、F两点间的距离即为每根铁筋长，所以每根铁筋长为，

所以架子所用钢筋总长度为.20．已知是等差数列，，其前5项和.(1)求的通项；(2)求前项和的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）设的公差为，结合等差数列通项公式和前项和的性质可得，进而求得通项公式；（2）结合等差设数列的函数性质直接求解即可.【详解】（1）为等差数列，，，.又，即，解得，故，即（2）因为，随着的增大而减小，且，，故当或时，有最大值.21．已知点在抛物线上．过点的直线l与抛物线C交于A，B两点（异于点M）．(1)若的倾斜角为，求弦长；(2)试探究直线AM与BM的斜率之积是否为定值：若为定值，求出该定值，若不是，说明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意可得抛物线的方程，然后联立抛物线与直线方程结合弦长公式，即可得到结果；（2）根据题意，分直线斜率存在与不存在讨论，当直线斜率存在时，联立直线与抛物线方程结合韦达定理，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，所以．

因为．

所以，得，设则，所以（2）假设存在该定值．若直线轴，则此时所以．

解法一：若直线l斜率存在，设为，且，则由可得，所以

所以为定值．

解法二：若直线l斜率存在，设为，且，则由，可得，所以

所以为定值．22．如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由离心率及联立方程求解即可；（2）设的直线方程为：，，，联立直线与椭圆方程，由一元二次方程根与系数的关系及可利用向量数量积为0化简求出，据此可得三角形的面积，化简后换元利用均值不等式求最值即可.【详解】（1