2022-2023学年福建省福州市五校联考高二（下）期中数学试卷及答案解析

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年福建省福州市五校联考高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线x+3yA.π3 B.π6 C.2π2.已知直线l1：mx−y+1=0A.直线l1过定点(0,−1)

B.当l1⊥l2时，m=13

C.当3.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足S2A.−2 B.2 C.−3 4.四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PCA.1

B.1112

C.116

5.从0，1，2，3，4，5，6七个数字中取四个不同的数组成被5整除的四位数，这样的四位数的个数有(

)A.260 B.240 C.220 D.2006.已知函数f(x)的导函数是f′(xA.f(−2)=−5

B.f(x)在(−∞,0)7.已知F1，F2是双曲线x2a2−y2b2A.2 B.3 C.2 8.已知函数f(x)=x+2A.12 B.32 C.−二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.等差数列{an}中，Sn为{anA.若a2+a3+a8=15，则a3+a7=10

B.若a9=610.椭圆x24+y23=1的左右两焦点分别为F1，F2，点PA.若PF1⊥x轴，则|PF2|=32 B.四边形PF1QF211.抛物线C：y2=4x焦点为FA.过焦点F的直线交抛物线于A，B，若|AB|=8，则弦AB中点到y轴距离为4

B.A，B，C为抛物线上三点，若F是△ABC的重心，则|FA|+|FB|+|F12.已知函数f(x)为定义在(−∞,0)∪(A.πf(e)<ef(π)

B.当m<三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线2x+3y−1=14.五个学生(含甲、乙、丙)排成一排，甲与乙必须相邻，甲与丙不能相邻，则不同的排法种数有______.(用数字作答)15.直线y=a(x+2)与曲线x2−16.法国数学家拉格朗日于1778年在共著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数y=f(x)满足如下两个条件：①其图象在闭区间[a,b]上是连续不断的；②在区间(a,b)上都有导数.则在区间(a,b)上至少存在一个数c四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知圆C经过点A(2,−1)，与直线x+y=1相切，且圆心在直线y=−2x上．

(1)18.(本小题12.0分)

(1)二项式(5x−13x)n展开式中所有二项式系数和为64，求其展开式中含x2项的系数．19.(本小题12.0分)

已知在公差不为零的等差数列{an}中，a1=−3，a4是a3与a7的等比中项，数列{bn}的前n项和为Sn，满足Sn=2bn20.(本小题12.0分)

在四棱锥P−ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ADC=90°，AB=A21.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=lnx−x．

(1)求曲线y=f(x)在x=22.(本小题12.0分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(2,1)，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，且|PF答案和解析1.【答案】D

【解析】解：∵直线x+3y−1=0的斜率等于−33，设直线x+3y−1=0的倾斜角为θ，

则tanθ=−2.【答案】B

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，直线l1：mx−y+1=0，即y=mx+1，恒过点(0,1)，A错误；

对于B，当l1⊥l2时，有2m+(m−1)=0，解可得m=13，B正确；

对于C，当l1//l2时，有−m(m−1)=−2，即m(m−1)=2，解可得m=2或−1，

当m=2时，直线l13.【答案】B

【解析】解：设等比数列的公比为q，

当q=1时，S2mSm=2≠9，不满足题意，舍去，

当q≠1时，

则a1(1−q2m)1−qa1(1−qm)4.【答案】B

【解析】解：如图所示，

因为底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，

所以AE=12(AP+AC)=12AP+12(AB+BC)=12AB+12BC+12AP5.【答案】C

【解析】解：无重复数字的能被5整除的四位数末尾数字只能为0或5，

当末尾数字为0时，有A63=120个，当末尾数字为5时，有5A52=100个，

所以无重复数字的能被5整除的四位数为120+100=220个．

故选：C．

无重复数字的能被6.【答案】D

【解析】解：由题意得，f′(x)=3f′(1)x2+2x，当x=1时，f′(1)=3f′(1)+2，解得f′(1)=−1，

∴f(x)=−x3+x2−1，f(−2)=−(−2)3+(−2)2−1=11，A错误；

f′(x7.【答案】C

【解析】解：由题意，F1(−c,0)，F2(c,0)，

设一条渐近线方程为y=bax，则F1到渐近线的距离为bca2+b2=b．

设F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线交于A，∴|MF1|=2b，

A为F1M的中点，又O是F8.【答案】D

【解析】解：因为f(x)=x+2sinx，则f′(x)=1+2cosx，

由f′(x)<0，即cosx<−12，可得2kπ+2π3<x<2kπ+4π3(k∈Z)，

由f′(x9.【答案】AB【解析】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，

依次分析选项：

对于A，若a2+a3+a8=15，即a1+d+a1+2d+a1+7d=3a1+10d=15，

而a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d，其值无法确定，10.【答案】BC【解析】解：椭圆x24+y23=1的左右两焦点分别为F1，F2，可得c=1，a=2，b=3，

PF1⊥x轴，|PF1|=32，所以|PF2|=2a−|PF1|=4−32=52，所以A不正确；

椭圆x24+y23=1，点P为椭圆上的一点，点11.【答案】BC【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F(1,0)，准线方程为x=−1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，

A中，由抛物线的性质可得|AB|=x1+x2+p=x1+x2+2=8，所以x1+x2=6，

所以AB的中点到y轴的距离d=x1+x22=3，故A不正确；

B中，由F为△ABC的重心，所以1=x1+x2+x33，所以x1+x2+x3=3，

可得|FA|+|F12.【答案】CD【解析】解：令F(x)=f(x)x，

因为函数f(x)为定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，

所以f(−x)=−f(x)，

所以F(−x)=f(−x)−x=−f(x)−x=f(x)x=F(x)

所以F(x)为定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，

F′(x)=f′(x)⋅x−f(x)x2，

因为当x<0时，xf′(x)−f(x)>0，

所以当x<0时，F′(x)>0，

所以F(x)在(−∞,0)上单调递增，

由对称性可知F(x)在(0,+∞)上单调递减，

因为f(2)=0，

所以F(2)=f(2)2=0，

对于A：因为π>e，

所以F(π)<F(e)，

所以f(π)π<f(e)e，

所以ef(π)<πf(e)，故A错误；

对于B：当0<m<2时，F(m)>F(2)，

所以f(m)m>f(2)13.【答案】(1,【解析】解：根据题意，直线2x+3y−1=0，

当x=0时，y=13，直线经过点A(0,13)，

当x=1时，14.【答案】36

【解析】解：甲与乙必须相邻，采用捆绑法，将其看成一个整体，与除丙外的其他2人排列，共A33×A22=12种排法，

甲与丙不能相邻，采用插空法，甲与乙与除丙外的其他2人排好后形成4个空位，但甲与丙不能相邻，

故丙只有3种选择，

根据分步乘法计数原理可知，不同的排法种数有12×315.【答案】(−【解析】解：对于曲线x2−yy=1而言，

当y≥0时，曲线为x2−y2=1，

当y<0时，曲线为x2+y2=1，

因为直线y=a(x+2)为过定点(−2,0)斜率为a的直线，

当曲线取上半部分时，曲线方程为：x2−y2=1，

此时要让直线与上半部分有两个交点，故直线的斜率需小于渐近线斜率，

对于双曲线x2−16.【答案】1l【解析】解：g′(x)=1+1x，g(2)−g(1)=ln2+1，g17.【答案】解：(1)∵圆心在直线y=−2x上，故设所求圆心坐标为C(a,−2a)，

∵圆C经过点A(2,−1)，与直线x+y=1相切，

∴圆的半径即等于|AC|，也等于C到直线x+y=1的距离，

∴(a−2)2+(−2a+1)2=|a−2a−1|2，

化简得a2−2a+1=0，∴a=1，

∴圆心为C(1,−2)，半径r=2，

∴所求圆方程为(x−1)【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，属于中档题．

(1)设出圆心的坐标为(a,−2a)，利用两点间的距离公式表示出圆心到A的距离即为圆的半径，且根据圆与直线x+y=1相切，根据圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出圆心坐标，进而求出圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可；

(2)18.【答案】(1)解：∵二项式(5x−13x)n展开式中所有二项式系数和为2n=64，∴n=6，

∴二项式(5x−13x)n=(5x−13x)6，故它的展开式的通项公式为Tr+1=C6r⋅(−1)r⋅56−r⋅x【解析】(1)由题意，求得它的通项公式，令x的幂指数等于2，求得r的值，可得其展开式中含x2项的系数．

(2)在所给的等式中，分别令x=1，x=−119.【答案】解：(1)设公差为d(d≠0)，由a1=−3，a4是a3与a7的等比中项，可得a42=a3a7，

即为(−3+3d)2=(−3+2d)(−3+6d)，

解得d=2，

则an=−3+2【解析】(1)由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得公差，求得an；由数列的递推式和等比数列的通项公式可得bn；

(2)20.【答案】(1)证明：∵平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，

∴PD⊥平面ABCD，

又PD⊥AD，以D为原点建立空间直角坐标系D−xyz．

则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，

DB=(1,1,0)，BC=(−1,1,0)，

∵BC⋅DB=0，∴BC⊥DB，

又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，又BD∩PD=D，∴B【解析】(1)由题设条件可证得DP，DA，DC三线两两垂直，故可以D为原点建立空间直角坐标系D−xyz，按题中所给的条件，给出各点的坐标，求出直线BC的方向向量以及平面PBD的法向量，由数量积为0证明线面垂直；

(2)求出PA的坐标及平面PDB的一个法向量，由向量法可得直线AP与平面PDB所成角的正弦值；

(3)21.【答案】解：(1)f′(x)=1x−1，

所以切线的斜率为f′(e)=1e−1，

又f(e)=lne−e=1−e，

所以f(x)在x=e处的切线方程为y−(1−e)=(1e−1)(x−e)，即y=(1e−1)x．

(2)g(x)=f(x)+2x−4lnx−2x=lnx−x+2x−4lnx−2x=−3lnx+x−2【解析】(1)求导得f′(x)=1x−1，由导数的几何意义可得切线的斜率为f′(e)=1e−1，又f(e)=1−e，由点斜式，可得切线的方程．

(2)22.