鲁教版七年级直角三角形练习50题及参考答案(难度系数0.6)

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………七年级直角三角形（难度系数0.6）一、单选题（共15题；共30分）1.如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，则下列说法正确的个数有（

）①DF平分∠BDE；②△BFD是等腰三角形；；③△CED的周长等于BC的长.A.

0个；

B.

1个；

C.

2个；

D.

3个.【答案】C【考点】翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形2.下列命题中，正确个数是（

）①若三条线段的比为1：1：2，则它们组成一个等腰直角三角形；②两条对角线相等的平行四边形是矩形；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④有两个角相等的梯形是等腰梯形；⑤一条直线与矩形的一组对边相交，必分矩形为两个直角梯形。A.

2个

B.

3个

C.

4个

D.

5个【答案】A【考点】菱形的判定，矩形的判定，等腰直角三角形3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BC=7，则AE的长为（

）A.

4

B.

5

C.

6

D.

7【答案】D【考点】直角三角形全等的判定，角平分线的性质4.如图3，AD是△ABC的高，AD＝BD，DE＝DC，∠BAC＝75°，则∠ABE的度数是（

）A.

10°

B.

15°

C.

30°

D.

45°【答案】B【考点】垂线，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形5.如图，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB’C’则

∠BAC’等于（

）A.

60°

B.

105°

C.

120°

D.

135°【答案】B【考点】旋转的性质，等腰直角三角形6.如图，桌面上竖直放置一等腰直角三角板ABC，若测得斜边AB在桌面上的投影DE为8cm，且点B距离桌面的高度为3cm，则点A距离桌面的高度为（

）A.

6.5cm

B.

5cm

C.

9.5cm

D.

11cm【答案】B【考点】全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形7.如图，已知AB=AD，∠BAD=∠CAE，则增加以下哪个条件仍不能判断△BAC≅△DAE的是（

）A.

AC=AE

B.

BC=DE

C.

∠B=∠D

D.

∠C=∠E【答案】B【考点】直角三角形全等的判定8.如图：有一块含有45°的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=20°，那么∠2的度数是（

）A.

30°

B.

25°

C.

20°

D.

15°【答案】B【考点】平行线的性质，等腰直角三角形9.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（

）A.

3，4，5

B.

7，24，25

C.

1，2，3

D.

2，3，4【答案】D【考点】勾股定理的逆定理10.△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D，BD=2cm，则△ABE的面积为（

）A.

2cm2

B.

4cm2

C.

6cm2

D.

8cm2【答案】B【考点】全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形11.下列说法：①两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等．

②角的对称轴是角平分线

③两边对应相等的两直角三角形全等

④成轴对称的两图形一定全等

⑤到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，

正确的有（

）个．A.

2

B.

3

C.

4

D.

5【答案】A【考点】直角三角形全等的判定，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，轴对称图形12.如图，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→……，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第n＋2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2015条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（

）．

A.

0

B.

1

C.

2

D.

3【答案】C【考点】勾股定理，探索数与式的规律，有理数的除法13.如图，在5×5的方格中，有一个正方形ABCD，假设每一个小方格的边长为1个单位长度，则正方形的边长为（

）A.

12

B.

13

C.

14

D.

15【答案】B【考点】勾股定理14.下列几组数能作为直角三角形的三边长的是（

）

A.

2，2，8

B.

3，2，5

C.

9，12，18

D.

12，15，20【答案】A【考点】勾股定理的逆定理15.如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3=（

）A.

105°

B.

120°

C.

115°

D.

135°【答案】D【考点】全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形二、填空题（共16题；共20分）16.RtΔABC中，∠C=900，AC=3，BC=2，将此三角形绕点A旋转，当点B落在直线BC上的点D处时，点C落在点E处，此时点E到直线【答案】2413【考点】三角形的面积，勾股定理，相似三角形的判定与性质，旋转的性质17.如图，△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC的长为

________

【答案】12

【考点】三角形的角平分线、中线和高，直角三角形斜边上的中线18.如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为__.【答案】262【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理的逆定理19.小强想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度是________米.【答案】12【考点】勾股定理的应用20.如图所示的方格中，∠1+∠2+∠3=________度．

【答案】135°.【考点】全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形21.如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放:含30°角的直角三角板的斜边与含45°角的直角三角板一直角边重合，含45°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含30°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是________．

【答案】135°【考点】平行线的性质，等腰直角三角形22.如图∠C=∠D=900，要使△ABC≌△BAD需要添加的一个条件是________.

【答案】∠CAB=∠DBA（答案不唯一）【考点】直角三角形全等的判定23.Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，O到三边的距离r=________．【答案】1【考点】角平分线的性质，勾股定理的逆定理24.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=________度．

【答案】45【考点】全等三角形的性质，直角三角形全等的判定25.如图，在等边△ABC中，AD平分∠BAC交BC与点D，点E为AC边的中点，BC=8；在AD上有一动点Q，则QC+QE的最小值为________．【答案】43【考点】等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的应用-最短距离问题26.已知⊙O的直径CD为4，AC的度数为80°，点B是AC的中点，点P在直径CD上移动，则BP+AP的最小值为________．【答案】23【考点】勾股定理，垂径定理，轴对称-最短路线问题27.如图，四边形BCDE是正方形，数轴上点A表示的实数是________．【答案】1﹣2【考点】实数在数轴上的表示，勾股定理28.如图，数轴上点A所对应的数是________．【答案】﹣5【考点】实数在数轴上的表示，勾股定理29.如图，△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等三角形，AB=AC=6cm，BC=4cm，将△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D1B1C1，连接AC1，BD1．如果四边形ABD1C1是矩形，那么平移的距离为________．【答案】14cm【考点】全等三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，平移的性质30.已知一个直角三角形的两条直角边的差为2，两条直角边的平方和为8，则这个直角三角形的面积是________【答案】1【考点】勾股定理31.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，如果点F是弧EC的中点，联结FB，那么tan∠FBC的值为________

【答案】13【考点】勾股定理三、解答题（共8题；共40分）32.如图所示，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF）左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，求∠ABC+∠DFE的度数。

【答案】解：∵AC⊥AB，∴∠CAB=90°．

∵ED⊥DF，

∴∠EDF=90°．

∴∠CAB=∠FDE，

在Rt△ABC和Rt△DEF中，

∵BC=EF，AC=DF，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF，

∴∠BCA=∠DFE．

∵∠CBA+∠BCA=90°，

∴∠ABC+∠DFE=90°【考点】三角形内角和定理，全等三角形的性质，直角三角形全等的判定33.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上，BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°

求证：△AEF≌△BCF．

【答案】证明：∵AD⊥BC，BF⊥AC，

∴∠AFB=∠BFC=∠ADB=90°，

∴∠C+∠CBF=90°，∠C+∠EAF=90°，

∴∠CBF=∠EAF，

∵∠AFB=90°，∠BAC=45°，

∴∠ABF=∠BAF=45°，

∴AF=BF，

在△AEF和△BCF中，

∠EAF=∠CBF，AF=BF，∠AFE=∠BFC，

∴△AEF≌△BCF（SAS）.【考点】余角和补角，垂线，直角三角形全等的判定，等腰三角形的性质34.在一次课外实践活动中，同学们要知道校园内A，B两处的距离，但无法直接测得．已知校园内A、B、C三点形成的三角形如图所示，现测得AC=6m，BC=14m，∠CAB=120°，请计算A，B两处之间的距离．

【答案】解：过C作CH⊥AB于H，

∵∠CAB=120°，

∴∠CAH=60°，

∵AC=6，

∴AH=3，HC=33，

在Rt△BCH中，∵BC=14，HC=33，

∴BH=BC2−H【考点】勾股定理的应用35.如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在AB上，如果，△ABC旋转后能与△ADE重合，那么哪一点是旋转中心？旋转了多少度？

【答案】解：∵△ABC与△ADE是两个全等的等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠DAE=45°，

根据图形，△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转45°与△ADE重合．

答：点A是旋转中心；旋转了45度．【考点】旋转的性质，等腰直角三角形36.如图四边形ABCD是实验中学的一块空地的平面图，其中∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m现计划在空地上植上草地绿化环境，若每平方米的草皮需150元；问需投入资金多少元？【答案】解：连接AC，

在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42=52，

∴AC=5．

在△DAC中，CD2=122，AD2=132，

而122+52=132，

即AC2+CD2=AD2，

∴∠DCA=90°，

S四边形ABCD=S△BAC+S△DAC=•BC•AB+DC•AC，

=×4×3+×12×5=36（m2）；

36×150=5400（元），．

答：总共需要投入5400元．【考点】勾股定理的应用37.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？【答案】解：由勾股定理，AC===12（m）．则地毯总长为12+5=17（m），

则地毯的总面积为17×2=34（平方米），

所以铺完这个楼道至少需要34×18=612元【考点】勾股定理的应用38.如图，△ABC中，D是BC上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．【答案】解：∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，∴△ABD是直角三角形，

∴AD⊥BC，

在Rt△ACD中，，

∴S△ABC=，

因此△ABC的面积为84．

答：△ABC的面积是84【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理39.如图，△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，B，C，D在同一直线上，连接EC．求证：EC⊥BD．

【答案】证明：∵在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，

∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，∠ABC=∠BCA=45°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE，

∴∠ACE=∠ABD=∠ABC=45°，

∴∠BCA+∠ACE=90°，

∴EC⊥BD【考点】全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形四、综合题（共11题；共114分）40.如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°，将一个含45°角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．（1）将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM＝________度（答案直接填写在答题卡的横线上）；在图2中，OM是否平分∠CON?请说明理由；（2）紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，请你直接写出t的值为多少．【答案】（1）90°，OM平分∠CON．理由如下：∵∠BOC=135°，∴∠MOC=135°-90°=45°，而∠MON=45°，∴∠MOC=∠MON

（2）∠AOM=∠CON．理由如下：如图3，∵∠MON=45°，∴∠AOM=45°-∠AON，∵∠AOC=45°，∴∠NOC=45°-∠AON，∴∠AOM=∠CON

（3）解：t=12故答案为90°；4.5秒或40.5秒．【考点】角的平分线，角的运算，余角、补角及其性质，等腰直角三角形41.如图1，教材P41页有这样一个探究：把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的大正方形．试根据这个研究方法回答下列问题：（1）所得到的面积为2dm2的大正方形的边就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为________；（2）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数分别为________，________；（3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请用（2）中相同的方法在两条数轴上分别找到表示5以及5−3【答案】（1）2

（2）1−2；1+2【考点】平方根，实数在数轴上的表示，勾股定理42.如图,在长方形ABCD中,AB=12厘米,BC=6厘米.点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm、s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么:（1）如图1,当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?（2）如图2,当t为何值时,△QAB的面积等于长方形面积的14（3）如图3,P、Q到达B、A后继续运动,P点到达C点后都停止运动.当t为何值时,线段AQ的长等于线段CP的长的一半?【答案】（1）解：由题可知：DQ=tcm，AQ=（6-t）cm，∵△QAB的面积=12依题意得：12（6-t）×12=1解得：t=3

（2）解：由题可知：DQ=tcm，AQ=（6-t）cm，AP=2tcm，使△QAP为等腰三角形，∴AQ=AP，⇒6-t=2t解得t=2

（3）解：由题可知：AQ=（t-6）cm，CP=（18-2t）cm，依题意使线段AQ的长等于线段CP的长的一半，∴t-6=12解得：t=7.5【考点】一元一次方程的其他应用，矩形的性质，等腰直角三角形43.我们在学习“实数”时，画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A”，请根据图形回答下列问题：

（1）线段OA的长度是多少？（要求写出求解过程）（2）这个图形的目的是为了说明什么？（3）这种研究和解决问题的方式，体现了（

）的数学思想方法．A.

数形结合；

B.

代入；

C.

换元；

D.

归纳．【答案】（1）解：∵OB2=12+12=2，

∴OB=2，

∴OA=OB=2

（2）解：数轴上的点和实数-一对应关系

（3）A【考点】实数在数轴上的表示，勾股定理44.一个直角三角形的两条直角边分别为a、b(b>a)，斜边为c.我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图的正方形，（1）探究活动：如图，中间围成的小正方形的边长为________（用含有a、b的代数式表示）；

（2）探究活动：如图，用不同的方法表示这个大正方形的面积，并写出你发现的结论；（3）新知运用：根据你所发现的结论完成下列问题

①某个直角三角形的两条直角边a、b满足式子a2+2b2−6a−16b+41=0，求它的斜边c的值；

②由①中结论，求此三角形斜边c上的高。

③如图，这个勾股树图形是由正方形和直角三角形组成的，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，4，1，2【答案】（1）解：由题意得

中间围成的小正方形的边长为b-a

（2）解：①大正方形的面积=C2

②大正方形的面积=(b-a)2+12ab×4=b2+a2-2ab+2ab=b2+a2

∴结论是：b2+a2=C2

（3）解：①∵a2+2b2−6a−16b+41=0

∴(a2-6a+9)+(2b2-16b+32)=0

∴(a-3)2+2(b-4)2=0

∴a-3=0

,b-4=0

∴a=3,b=4

∴c=a2+b2=5

②设此三角形斜边c上的高为h,根据面积法得出ab=ch

∴3×4=5h

∴h=2.4【考点】勾股定理，勾股定理的证明45.某校机器人兴趣小组在如图①所示的矩形场地上开展训练．机器人从点A出发，在矩形ABCD边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，到达点D时停止移动．已知机器人的速度为1个单位长度/s，移动至拐角处调整方向需要1s（即在B、C处拐弯时分别用时1s）．设机器人所用时间为t（s）时，其所在位置用点P表示，P到对角线BD的距离（即垂线段PQ的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图象如图②所示．（1）求AB、BC的长；（2）如图②，点M、N分别在线段EF、GH上，线段MN平行于横轴，M、N的横坐标分别为t1、t2．设机器人用了t1（s）到达点P1处，用了t2（s）到达点P2处（见图①）．若CP1+CP2=7，求t1、t2的值．【答案】（1）解：作AT⊥BD，垂足为T，

由题意得，AB=8，AT=，

在Rt△ABT中，AB2=BT2+AT2，

∴BT=，

∵tan∠ABD=，

∴AD=6，

即BC=6

（2）解：在图①中，连接P1P2．过P1，P2分别作BD的垂线，垂足为Q1，Q2．则P1Q1∥P2Q2．

∵在图②中，线段MN平行于横轴，

∴d1=d2，即P1Q1=P2Q2．∴

P1P2∥BD．

∴．

即．

又∵CP1+CP2=7，

∴CP1=3，CP2=4．

设M，N的横坐标分别为t1，t2，

由题意得，CP1=15﹣t1，CP2=t2﹣16，

∴t1=12，t2=20【考点】分段函数，勾股定理，矩形的性质46.观察图1：每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积为1．（1）图1中阴影正方形的面积是________，并由面积求正方形的边长，可得边长AB长为________；（2）在图2：3×3正方形方格中，由题（1）的解题思路和方法，设计一个方案画出长为5的线段，并说明理由．【答案】（1）2；2

（2）【考点】算术平方根，勾股定理47.如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．

（1）求证：∠FMC=∠FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．【答案】（1）证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，

∴DF⊥AE，DF=AF=EF，

又∵∠ABC=90°，

∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，

∴∠DCF=∠AM