文档：逻辑联结词相关知识小结优秀

逻辑联结词相关知识小结(一)逻辑联结词1．逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词。2．简单命题：不含逻辑联结词的命题。3．复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p4．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合的“交”“并”“补”的关系：复合命题的构成与集合理论之间的关系

(1)复合命题

p或q

设命题p所述范畴记为集合A

命题q所述范畴记为集合B

则复合命题：p或q所述范畴对应于集合A∪B，韦恩图如图1

(2)复合命题p且q

设：命题p所述范畴记为集合A

命题q所述范畴记为集合B

则复合命题：p且q

所述范畴对应于集合A∩B，韦恩图如图2(3)复合命题：非P设命题P所述范畴记为集合A，全集为U，则复合命题非P所述范畴对应于集合CuA。韦恩图如图3应用：命题：非(P或q)对应于集合Cu(A∪B)。而(非P)且(非q)对应于集合(CuA)∩(CuB)，由集合理论德摩根律：Cu(A∪B)=(CuA)∩(CuB)，可以清楚看到，使学生更加深刻地认识到：非(P或q)(非P)且(非q)的正确性。例1、将命题：若x+y≤0则x≤0或y≤0改变成否命题。解：其否命题为：若x+y＞0则x＞0且y＞0例2、将命题：“菱形的对角互相垂直平分”改变成逆否命题。解：其逆否命题为：对角线不垂直或不平分的四边形不是菱形。（二）判断复合命题的真假1．“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：p非p真假假真2．“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqp且q真真真真假假假真假假假假3．“p或q”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqP或q真真真真假真假真真假假假注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；4．判断复合命题真假的步骤：（1）把复合命题写成两个简单命题，并确定复合命题的构成形式；（2）判断简单命题的真假；（3）根据真值表判断复合命题的真假。难点分析关于非命题问题1：怎样构造简单命题的非命题?非命题也叫命题的否定。非命题与原命题的真值相反。原命题为真，非命题为假；原命题为假，非命题为真。对量词和判断词的否定：判断词“是”的否定是“不是”；“有”的否定是“没有”；“存在”的否定是“不存在”。量词“所有”的否定是“不所有”即“有的”；“每一个”的否定是“至少有一个不”；“都是”的否定是“不都是”即“至少有一个不是”；“都不是”的否定是“不都不是”即“至少有一个是”。对单称命题的否定只要直接否定判断词。如“3是正数”的非命题就是“3不是正数”。对全称命题的否定在否定判断词时还要否定全称量词变成特称命题。对省略全称量词的全称命题要补回全称量词再否定。如“整数是有理数”就是全称命题“所有整数都是有理数”；它的非命题是“有的整数不是有理数”对特称命题的否定要否定特称量词变成全称命题。如特称命题“有的实数的平方不是正数”的非命题是“所有实数的平方都是正数”；命题“所有的分数都是无理数”的非命题是“有的分数不是无理数”。问题2：怎样构造复合命题的非命题?对复合命题的否定：“两个命题的或命题”的否定是这“两个命题的非命题的且命题”；“两个命题的且命题”的否定是这“两个命题的非命题的或命题”例如“3>1或2<3”的非命题是”3≤1且2≥3”;“3>5或2<3”的非命题是”3≤5且2≥3”;“3>5或2<1”的非命题是”3≤5且2≥1”。该结论的逻辑表达式是：非（p或q）（非p）且（非q）非（p且q）（非p）或（非q），这其实就是逻辑运算的摩根律；可用真值表证明如下：非（p或q）（非p）且（非q）命题p命题qp或q非（p或q）非p非q（非p）且（非q）TTTFFFFTFTFFTFFTTFTFFFFFTTTT(2)非（p且q）（非p）或（非q）命题p命题qp且q非（p且q）非p非q（非p）或（非q）TTTFFFFTFFTFTTFTFTTFTFFFTTTT3复合命题“若P则q”形式的否定。

“若P则q”型命题的否定实质上较复杂，但在中学数学里所研究的命题都是具有实质性蕴涵关系的命题，是具有真假性的命题，不能区分真假性的命题不作研究。“若P则q”的否定命题真值性与命题“P且非q”相同，故是等价命题。我们就此认为：命题”若P则q”的否定为“P则非q”，且习惯表达为“虽然P，却非q”的形式，或是“尽管P，然而非q”.

4含量词命题的否定。

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。那么它的否定又怎么样？

在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.由此看来，要准确表达含量词命题的否定，就要求我们掌握好一些词语的否定如下表：词语：是一定是都是大于小于且词语的否定：不是一定不是不都是小于或等于大于或等于或词语：必有一个至少有n个至多有一个所有x成立所有x不成立词语的否定：一个也没有至多有n-1个至少有两个存在一个x不成立存在有一个成立5命题的否定与否命题的区别。

命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：一，任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。二，命题的否定是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。原命题“若P则q”的形式，它的否定命题在前面已讲过，命题”若P则q”的否定为“P则非q”，且习惯表达为“虽然P，却非q”的形式，或是“尽管P，然而非q”.；而它的否命题为“若非P，则非q”，（记为“若┓p，则┓q”）即是说既否定条件又否定结论。范例分析：例1写出下列命题的否定命题与否命题。并判断其真假性。（1）若x＞y,则5x＞5y。（2）正方形的四条边相等。（3）已知a,b为实数，若+ax+b≤0有非空实解集，则-4b≥0。解：（1）的否定：若x＞y，则5x≤5y。假命题否命题：若x≤y则5x≤5y。真命题（原命题为：若x＞y则5x＞5y。真命题）（2）的否定：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等。假命题否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题（原命题是真命题）。（3）的否定：存在两个实数a,b，虽然满足+ax+b≤0有非空实解集，但使-4b﹤0。假命题否命题：已知a,b为实数，若+ax+b≤0没有非空实解集，则-4b﹤0。真命题（原命题为：对任意的实数a,b,若+ax+b≤0有非空实解集，则-4b≥0真命题）例2已知.设 函数在R上单调递减. 不等式的解集为R.如果和有且仅有一个正确，求的取值范围.[分析]此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中，绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系，属于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分知识内容有机地结合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等能力，在不同的方法下有不同的运算量，较好地体现出了“多考一点想，少考一点算”的命题原则.解答:函数在R上单调递减，不等式的解集为R函数在R上恒大于1，∵∴函数在R上的最小值为，∴不等式的解集为R，即，若正确，且不正确，则；若正确，且不正确，则；所以的取值范围为.例3已知条件和条件，请选取适当的实数的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.[分析]本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的，也能先猜后证，所找到的实数只需满足，且1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研究性学习的教学方向.[解答]已知条件即，或，∴，或，已知条件即，∴，或；令，则即，或，此时必有成立，反之不然.故可以选取的一个实数是，A为，B为，对应的命题是若则，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.例4已知；¬是¬的必要不充分条件，求实数的取值范围.[分析]本题实为上一命题的姊妹题，将命题的表述重心移至充要条件，使用了学生较为熟悉的语言形式.充要条件是一个十分重要的数学概念，新教材将这一内容的学习放在第一章，从而也可能利用第一章的知识内容来命题考查这一概念.本例是一道揉绝对值不等式、二次不等式的求解与充要条件的运用于一起的较好试题，要求学生能正确运用数学符号，规范数学学习行为，否则连读题审题都感困难.[解答]由得，由，得，∴¬即，或，而¬即，或