原子物理学习题答案褚圣麟很详细

千里之行，始于足下让知识带有温度。第2页/共2页精品文档推荐原子物理学习题答案褚圣麟很详细1．原子的基本情况

1.1解：按照卢瑟福散射公式：

2

02

22

442KMvctg

bbZeZe

αθ

πεπε==得到：

2192

1501522

12619079(1.6010)3.97104(48.8510)(7.681010)

ZectgctgbKο

θαπεπ??===??????米

式中2

12

KMvα=是α粒子的功能。1.2已知散射角为θ的α粒子与散射核的最短距离为

2202

1

21

()(1)4sinm

ZerMvθ

πε=+，试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离mr多大？解：将1.1题中各量代入mr的表达式，得：2min

202

1

21

()(1)4sinZerMvθπε=+1929

619479(1.6010)1910(1)7.68101.6010sin75ο

--???=???+???14

3.0210-=?米

1.3若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。问质子与金箔。问质子与金箔原子核可能达到的最

解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180ο。当入射粒子的动能所有转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。

按照上面的分析可得：

22

0min

124pZeMvKrπε==，故有：2min04pZerKπε=

1929

13

619

79(1.6010)9101.1410101.6010

??=??=???米由上式看出：minr与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核

代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为131.1410-?米。

1.7能量为3.5兆电子伏特的细α粒子束射到单位面积上质量为22/1005.1米公斤-?的银箔上，α粒

解：设靶厚度为't。非垂直入射时引起α粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚度't，而是ο60sin/'tt=，如图1-1所示。

由于散射到θ与θθd+之间Ωd立体

角内的粒子数dn与总入射粒子数n的比为：

dn

Ntdn

σ=(1)而σd为：2

sin)()41

(4

2

2

22

0θ

πεσΩ=dMv

zed（2）

把（2）式代入（1）式，得：

2

sin)()41(4

22220θπεΩ

=dMv

zeNtndn(3)

式中立体角元0'0'220,3/260sin/,/====ΩθtttLdsd

N为原子密度。'Nt为单位面上的原子数，10')/(/-==NAmNtAgAgηη，其中η是单位面积式上的质量；Agm是银原子的质量；AgA是银原子的原子量；0N是阿佛加德罗常数。

将各量代入（3）式，得：

2

sin)

()41(324

2222

0θπεηΩ=dMvzeANndnAg

由此，得：Z=47

其次章原子的能级和辐射

2.1试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。

解：电子在第一玻尔轨道上即年n=1。按照量子化条件，

π

φ2h

n

mvrp==可得：频率21

211222mahmanhavπππν===赫兹151058.6?=速度：6

1110188.2/2?===mahavνπ米/秒加速度：2

22122/10046.9//秒米?===avrvw

2.3用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基跃迁时，会浮现那些波长的光谱线？

解：把氢原子有基态激发到你n=2,3,4……等能级上去所需要的能量是：

)1

11(22n

hcREH-=其中6.13=HhcR电子伏特

2.10)21

1(6.1321=-?=E电子伏特

1.12)31

1(6.1322=-?=E电子伏特

8.12)4

1

1(6.1323=-?=E电子伏特

其中21EE和小于12.5电子伏特，3E大于12.5电子伏特。可见，具有12.5电子伏特能量的电子不足以把基态氢原子激发到4≥n的能级上去，所以只能浮现3≤n的能级间的跃迁。跃迁时可能发出的光谱线的波长为：

ο

ο

ο

λλλλλλA

RRA

RRA

RRHHHHHH102598)3111(1

121543)2

111(1

656536/5)3121(

1

3223222212

21

==-===-===-=

91

,41111

1==+

++HLiH

Heλλλλ

2.5试问二次电离的锂离子+

+iL从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可

能使处于基态的一次电离的氦粒子+eH的电子电离掉？

解：++iL由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为：

+eH的电离能量为：

Li

HeHeLiHeLiHe

HeHeMmMmRRhvhvhcRhcRv/1/1162716274)1

1

1(42++?

===∞-=++++

因为LiHeLiHeMmMmMM/1/1,+>+HeLihvhv，所以能将+eH的电子电离掉。

2.9Li原子序数Z=3，其光谱的主线系可用下式表示：

解：与氢光谱类似，碱金属光谱亦是单电子原子光谱。锂光谱的主线系是锂原子的价电子由高的p能级向基态跃迁而产生的。一次电离能对应于主线系的系限能量，所以+Li离子电离成++Li离子时，有电子伏特35.5)

5951.01()5951.01(2

21=+≈∞-+=

∞hcRRhc

RhcE++Li是类氢离子，可用氢原子的能量公式，因此+++++→LiLi时，电离能3E为：

电子伏特4.1221

22

23=≈=∞hcRZRhcZER

。设+++→LiLi的电离能为2E。而+++→LiLi需要的总能量是E=203.44电子伏特，所以有

电子伏特7.75312=--=EEEE

2.10具有磁矩的原子，在横向匀称磁场和横向非匀称磁场中运动时有什么不同？答：设原子的磁矩为μ，磁场沿Z方向，则原子磁矩在磁场方向的重量记为Zμ，于是具有磁矩的原子在磁场中所受的力为ZBFZ??=μ，其中Z

B

??是磁场沿Z方向的梯度。对匀称磁场，

0=??Z

B

，原子在磁场中不受力，原子磁矩绕磁场方向做拉摩进动，且对磁场

的取向听从空间量子化规章。对于非均磁场，0≠??Z

B

原子在磁场中除做上述运动外，还受到力的作用，原子射束的路径要发生偏转。

2.11史特恩-盖拉赫试验中，处于基态的窄银原子束通过不匀称横向磁场，磁场的梯度为

310=??Z

B

特解：银原子在非匀称磁场中受到垂直于入射方向的磁场力作用。其轨道为抛物线；在

2L区域粒子不受力作惯性运动。经磁场区域1L后向外射出时粒子的速度为'

v?，出射方向与

入射方向间的夹角为θ。θ与速度间的关系为：v

vtg⊥

=

θ粒子经过磁场1L出射时偏离入射方向的距离S为：

Zv

LZBmSμ2

1)(21??=

……（1）将上式中用已知量表示出来变可以求出Zμ

2212

2

121

12'2'/,,vLLZBmdSdSvLLZBmtgLSv

LZBmvvLtZBmmfaatvZ

Z

Z

??-=-=??==??=∴=??==

=⊥⊥μμθμμ

把S代入（1）式中，得：

2

2

1

22122vLZBmvLLZBmdZZ??=??-μμ收拾，得：2

)2(2212

1

d

LLvLZBmZ=

+??μ由此得：特焦耳/1093.023-?=Z

μ

第三章量子力学初步

3.1波长为ο

A1的X光光子的动量和能量各为多少？解：按照德布罗意关系式，得：

动量为：12410

34

1063.610

1063.6???=?==秒米千克λh

p能量为：λ/hchvE==

焦耳151083410986.110/1031063.6?=???=。

3.2经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长?=λ用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？

解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：

meVh2/=λ对于电子：库仑公斤，19311060.11011.9--?=?=em

把上述二量及h的值代入波长的表示式，可得：

ο

οο

λAAAV1225.010000

25.1225.12==

=

对于质子，库仑公斤，19271060.11067.1--?=?=em，代入波长的表示式，得：

ο

λA3

19

27

34

10862.210000

1060.110

67.1210626.6?=??????=

3.3电子被加速后的速度很大，必需考虑相对论修正。因而本来ο

λAV

25.12=的电子德

布罗意波长与加速电压的关系式应改为：

ο

λAVV

)10489.01(25.126

-?-=

其中V是以伏特为单位的电子加速电压。试证实之。

证实：德布罗意波长：ph/=λ

对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K与其动量p之间有如下关系：

222022cpcKmK=+而被电压V加速的电子的动能为：eVK=

2

2022

22

/)(22)(ceVeVmpeV

mceVp+=+=∴

因此有：

2

002112/cmeVeV

mhph+

?=

=λ

普通状况下，等式右边根式中202/cmeV一项的值都是很小的。所以，可以将上式的根式作泰勒绽开。只取前两项，得：

)10489.01(2)41(26

02

00VeV

mhcmeVeV

mh-?-=-

=

λ因为上式中ο

AV

eVmh25.122/0≈

，其中V以伏特为单位，代回原式得：

ο

λAVV

)10489.01(25.126

-?-=

由此可见，随着加速电压逐渐上升，电子的速度增大，因为相对论效应引起的德布罗意波长变短。

第四章碱金属原子

4.1已知Li原子光谱主线系最长波长ο

λA6707=，辅线系系限波长ο

λA3519=∞。求锂原子第一激发电势和电离电势。

解：主线系最长波长是电子从第一激发态向基态跃迁产生的。辅线系系限波长是电子从无穷处向第一激发态跃迁产生的。设第一激发电势为1V，电离电势为∞V，则有：

伏特。伏特375.5)11(850.111=+=

∴+===

∴=∞

∞∞

∞λλλλ

λλ

ehcVc

h

cheVehc

Vc

heV

4.2Na原子的基态3S。已知其共振线波长为5893ο

A，漫线系第一条的波长为8193ο

A，基线系第一条的波长为18459ο

A，主线系的系限波长为2413ο

A。试求3S、3P、3D、4F各谱项的项值。

解：将上述波长依次记为

ο

ο

ο

ο

λλλλλλλλA

AAApfdppfdp2413,18459,8193,5893,

,,,maxmaxmaxmaxmaxmax====∞∞即

简单看出：

1

6max

3416max

331

6max

316310685.01

10227.11

10447.21

1

10144.41

~∞-∞

∞?=-

=?=-=?=-

=

?===米米米米fDFdpDpPPPSTTTTTvTλλλλλ

4.3K原子共振线波长7665ο

A，主线系的系限波长为2858ο

A。已知K原子的基态4S。试求4S、4P谱项的量子数修正项ps??,值各为多少？

解：由题意知：P

PsppvTAAλλλο

ο

/1~,2858,76654max====∞∞由2

4)

4(sR

TS?-=

，得：SkTRs4/4=?-设RRK≈,则有max

41

1,229.2PPPTsλλ-

=

=?∞

与上类似764.1/44=-≈?∞PTRp

4.4Li原子的基态项2S。当把Li原子激发到3P态后，问当3P激发态向低能级跃迁时可能产生哪些谱线（不考虑精细结构）？

答：因为原子实的极化和轨道贯通的影响，使碱金属原子中n相同而l不同的能级有很大差别，即碱金属原子价电子的能量不仅与主量子数n有关，而且与角量子数l有关，可以记为),(lnEE=。理论计算和试验结果都表明l越小，能量越低于相应的氢原子的能量。当从3P激发态向低能级跃迁时，考虑到挑选定则：1±=?l，可能产生四条光谱，分离由以下能级跃迁产生：

。SPSPPSSP23;22;23;33→→→→

第五章多电子原子

5.1eH原子的两个电子处在2p3d电子组态。问可能组成哪几种原子态?用原子态的符号表示之。已知电子间是LS耦合。

解：由于2

1,2,12121====ssll，

1

,2,3;1,0,,1,;

2121212121==∴-?-++=-+=LSllllllLssssS，或所以可以有如下12个组态：

4

,3,23313,2,13

212,1,0311,1,3,0,3,1,2,0,2,1,1,0,1FSLFSLDSLDSLPSLPSL============

5.2已知eH原子的两个电子被分离激发到2p和3d轨道，器所构成的原子态为D3，问这两电子的轨道角动量21llpp与之间的夹角，自旋角动量21sspp与之间的夹角分离为多少？

解：（1）已知原子态为D3，电子组态为2p3d

2,1,1,221====∴llSL

因此，

'

212

22

12

212

22

12

222111461063

212/)(coscos26)1(6)1(22)1(οθθθπ

=-

=--=∴++==+==+==+=LllllLLL

llllLLllppppPppppPLLPllph

llpηηηηη

（2）

121212SssppP==∴=====Q

而

'

212

22

12

212

22

12

32703

12/)(coscos2οθθθ==

--=∴++=SssssSss

ssssSppppPppppP5.3锌原子（Z=30）的最外层电子有两个，基态时的组态是4s4s。当其中有一个被激发，考虑两种状况：（1）那电子被激发到5s态；（2）它被激发到4p态。试求出LS耦合状况下这两种电子组态分离组成的原子状态。画出相应的能级图。从（1）和（2）状况形成的激发态向低能级跃迁分离发生几种光谱跃迁？

解：（1）组态为4s5s时2

1

,02121====ssll，

1

301,1;1,001

,0,0SJSSLJSSL三重态时单重态时，=======∴按照洪特定则可画出相应的能级图，有挑选定则能够推断出能级间可以发生的5种跃迁：

11123131313031311014445;45;45,45SPPSPSPSPS→→→→→所以有5条光谱线。

（2）外层两个电子组态为4s4p时：

2

1

,1,02121=

===ssll，1

3

12,1,01,0,1

01,;1

;2,1,0,LSSJLPSJP∴=======时，单重态时三重态

按照洪特定则可以画出能级图，按照挑选定则可以看出，只能产生一种跃迁，011144SP→，因此惟独一条光谱线。

5.4试以两个价电子3221==ll和为例说明,不论是LS耦合还是jj耦合都给出同样数

目的可能状态.

证实:(1)LS耦合

L

JSLS====;0,1,2,3,4,5;10时，

5个L值分离得出5个J值,即5个单重态．

;1,,1;1-+==LLLJS时

代入一个L值便有一个三重态．５个L值共有５乘３等于１５个原子态：

6,5,435,4,334,3,233,2,132,1,03

;;;;HGFDP

因此，LS耦合时共有２０个可能的状态．

（２）jj耦合：

2

1212121,...,2527;2325;jjjjjjJjjsljslj-++===-=+=或

或或

将每个21jj、合成J得：

1

,2,3,42

5

230,1,2,3,4,525

252

,3,4,527

231,2,3,4,5,627

252

12

12

121============

JjjJjjJjjJjj，合成和，合成和，合成和，合成和

共２０个状态：1,2,3,40,1,2,3,4,52,3,4,51,2,3,4,5,6)2

5,23(;)2

5,25(;)2

7,23(,)2

7,25(

所以，对于相同的组态无论是LS耦合还是jj耦合，都会给出同样数目的可能状态．

第六章磁场中的原子

6.1已知钒原子的基态是2/34F。（1）问钒原子束在不匀称横向磁场中将分裂为几束？（2）求基态钒原子的有效磁矩。

解：（1）原子在不匀称的磁场中将受到力的作用，力的大小与原子磁矩（因而于角动量）在磁场方向的重量成正比。钒原子基态2/34F之角动量量子数2/3=J，角动量在磁场方

向的重量的个数为412

3212=+?=+J，因此，基态钒原子束在不匀称横向磁场中将分裂为4束。

（2）JJPm

e

g

2=μhhJJPJ2

15)1(=

+=按LS耦合：5

2

156)1(2)1()1()1(1==++++-++

=JJSSLLJJg

BBJhmeμμμ7746.05

15

215252≈=???=

∴

6.3Li漫线系的一条谱线)23(2/122/32PD→在弱磁场中将分裂成多少条谱线？试作出相应的能级跃迁图。

解：在弱磁场中，不考虑核磁矩。

2/323D

能级：,2

3,21,2===jSl

5

4

)1(2)1()1()1(12

3

,21,21,232=

++++-++=-

-=jjsslljjgM

2

/122P能级：,2

1

,21,2===jSl3

2,21,211=-=gM

Lv

)30

26,3022,302,302,3022,3026(~=?所以：在弱磁场中由2/122/3223PD→跃迁产生的光谱线分裂成六条，谱线之间间隔不等。

6.5氦原子光谱中波长为)2131(1.667811

21

PpsDdsA→ο及)2131(1.70650311PpsSssA→ο

的两条谱

线，在磁场中发生塞曼效应时应分裂成几条？分离作出能级跃迁图。问哪一个是正常塞曼效应？哪个不是？为什么？

解：（1）1,0,1,2,2,0,22221=±±====gMJSLD谱项：。

1,0,1,1,0,11111

=±====gMJSLP谱项：

Lv

)1,0,1(~+-=?。可以发生九种跃迁，但惟独三个波长，所以ο

λA1.6678=的光谱线分裂成三条光谱线，且迸裂的两谱线与原谱线的波数差均为L，是正常塞曼效应。

（2）对2,0,1,1,1