2020版高考数学（理）一轮复习通用版讲义第八章第二节空间几何体的表面积与体积

第二节空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式❶圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l2.柱、锥、台、球的表面积和体积❷名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的联系：S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl.柱体、锥体、台体的体积公式间的联系：V柱体＝ShV台体＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)heq\o(→,\s\up7(S′＝0),\s\do5())V锥体＝eq\f(1,3)Sh.[熟记常用结论]1．设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝eq\f(a,2)，外接球半径R＝eq\f(\r(3),2)a.2．设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2).3．设正四面体的棱长为a，则它的高为eq\f(\r(6),3)a，内切球半径r＝eq\f(\r(6),12)a，外接球半径R＝eq\f(\r(6),4)a.4．直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．()(2)锥体的体积等于底面积与高之积．()(3)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．()(4)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×二、选填题1．一个球的表面积为16π，那么这个球的体积为()A.eq\f(16,3)π B.eq\f(32,3)πC．16π D．24π解析：选B设球的半径为R，则由4πR2＝16π，解得R＝2，所以这个球的体积为eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π.2．将一个相邻边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是()A．40π22C．32π2或64π2 D．32π2＋8π或32π2＋32π解析：选D当底面周长为4π时，底面圆的半径为2，两个底面的面积之和是8π；当底面周长为8π时，底面圆的半径为4，两个底面的面积之和为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2.故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.3．(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20π B．24πC．28π D．32π解析：选C由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得l＝eq\r(22＋2\r(3)2)＝4，S表＝πr2＋ch＋eq\f(1,2)cl＝4π＋16π＋8π＝28π.4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边长为2，高为eq\r(3)的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h＝3，所以该几何体的体积V＝S·h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(3)))×3＝3eq\r(3).答案：3eq\r(3)5.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)a×eq\f(1,2)b×eq\f(1,2)c＝eq\f(1,48)abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－eq\f(1,48)abc＝eq\f(47,48)abc，所以V1∶V2＝1∶47.答案：1∶47eq\a\vs4\al(考点一空间几何体的表面积)eq\a\vs4\al([师生共研过关])[典例精析](1)(2019·武汉调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为()A．28 B．24＋2eq\r(5)C．20＋4eq\r(5) D．20＋2eq\r(5)(2)(2018·黄冈模拟)已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为()A．16＋12π B.32＋12πC．24＋12π D．32＋20π[解析](1)如图所示，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIE­DCMH，则该几何体的表面积S＝(2×2)×5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2))×2＋2×1＋2×eq\r(5)＝24＋2eq\r(5).(2)由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为eq\r(2)，底面对角线长为4，球的半径为2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为2eq\r(2)，该几何体的表面积S＝eq\f(1,2)×4π×22＋π×22＋2eq\r(2)×eq\r(2)×4＝12π＋16.[答案](1)B(2)A[解题技法]求空间几何体表面积的常见类型及思路求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积由三视图求几何体的表面积关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小，然后还原几何体的直观图，套用公式求解[过关训练]ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2ABABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A．4π B.(4＋eq\r(2))πC．6π D．(5＋eq\r(2))π解析：选D∵在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱减去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥的组合体，∴几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋eq\f(1,2)×2π×1×eq\r(12＋12)＝(5＋eq\r(2))π.2．如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．解析：该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长、宽、高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积S＝S长方体表－2S半圆柱底－S圆柱轴截面＋S半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋eq\f(1,2)×2π×1＝26.答案：26eq\a\vs4\al(考点二空间几何体的体积)eq\a\vs4\al([全析考法过关])[考法全析]考法(一)直接利用公式求体积[例1](2019·武汉调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A.eq\f(1,12) B.eq\f(9,4)C.eq\f(9,2) D．3[解析]如图，三棱锥P­ABC为三视图所对应几何体的直观图，由三视图可知，S△ABC＝eq\f(1,2)×2×3＝3，点P到平面ABC的距离h＝3，则VP­ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)×3×3＝3，故选D.[答案]D考法(二)割补法求体积[例2](1)(2019·长春监测)《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1)，那么该刍甍的体积为()C．6 D．12(2)(2018·天津高考)如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1­BB1D1D的体积为________．[解析](1)如图所示，由三视图可还原得到几何体ABCDEF，过E，F分别作垂直于底面的截面EGH和FMN，可将原几何体切割成三棱柱EHG­FNM，四棱锥E­ADHG和四棱锥F­MBCN，易知三棱柱的体积为eq\f(1,2)×3×1×2＝3，两个四棱锥的体积相同，都为eq\f(1,3)×1×3×1＝1，则原几何体的体积为3＋1＋1＝5.(2)连接BD1，则四棱锥A1­BB1D1D分成两个三棱锥B­A1DD1与B­A1B1D1，所以VA1­BB1D1D＝VB­A1DD1＋VB­A1B1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,3).[答案](1)B(2)eq\f(1,3)考法(三)等体积法求体积[例3]如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为()A.eq\f(\r(3),12) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12) D.eq\f(\r(6),4)[解析]易知三棱锥B1­ABC1的体积等于三棱锥A­B1BC1的体积，又三棱锥A­B1BC1的高为eq\f(\r(3),2)，底面积为eq\f(1,2)，故其体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).[答案]A[技法点拨]求空间几何体的体积的常用方法公式法对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解割补法把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积等体积法一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积[过关训练]1．[公式法]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：选C由三视图易知该几何体为锥体，所以V＝eq\f(1,3)Sh，其中S指的是锥体的底面积，即俯视图中四边形的面积，易知S＝1，h指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知h＝1，所以V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3).2．[割补法]已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A．48cm3 B.78cm3C．88cm3 D．98cm3解析：选D由三视图可知几何体为一个长方体截去一个角后剩余的几何体，所以其体积是6×3×6－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×5×3＝98(cm3)．3.[等体积法]如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥P­ABA1的体积为________．解析：三棱锥P­ABA1的体积为V三棱锥P­ABA1＝V三棱锥C­ABA1＝V三棱锥A1­ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·AA1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×32×3＝eq\f(9\r(3),4).答案：eq\f(9\r(3),4)eq\a\vs4\al(考点三与球有关的切、接问题)eq\a\vs4\al([全析考法过关])[考法全析]考法(一)几何体的外接球[例1](1)(2019·福州模拟)已知圆锥的高为3，底面半径为eq\r(3)，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于()A.eq\f(8,3)π B.eq\f(32,3)πC．16π D．32π(2)(2018·成都模拟)在三棱锥P­ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝eq\r(3)，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A.eq\f(4π,3) B.eq\f(8\r(2)π,3)C．8π D．12π[解析](1)设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋(eq\r(3))2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32,3)π.(2)易知△ABC是等边三角形．如图，作OM⊥平面ABC，其中M为△ABC的中心，且点O满足OM＝eq\f(1,2)PA＝1，则点O为三棱锥P­ABC外接球的球心．于是，该外接球的半径R＝OA＝eq\r(AM2＋OM2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)×\r(3)×\f(2,3)))2＋12)＝eq\r(2).故该球的表面积S＝4πR2＝8π.[答案](1)B(2)C考法(二)几何体的内切球[例2](1)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值是________．(2)已知正三棱锥的高为1，底面边长为2eq\r(3)，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．[解析](1)设圆柱内切球的半径为R，则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R，高为2R，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).(2)如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，∵△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．∵AB＝2eq\r(3)，∴S△ABC＝3eq\r(3)，DE＝1，PE＝eq\r(2).∴S表＝3×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(2)＋3eq\r(3)＝3eq\r(6)＋3eq\r(3).∵PD＝1，∴三棱锥的体积V＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)×1＝eq\r(3).设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，则r＝eq\f(3\r(3),3\r(6)＋3\r(3))＝eq\r(2)－1.[答案](1)eq\f(3,2)(2)eq\r(2)－1[规律探求]看个性考法(一)是几何体的外接球一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.考法(二)是几何体的内切球求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径找共性解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：[过关训练]1．(2019·南宁模拟)已知三棱锥P­ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，则三棱锥P­ABC的外接球的体积为()A.eq\f(27,2)π B.eq\f(27\r(3),2)πC．27eq\r(3)π D．27π解析：选B∵三棱锥P­ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，∴△PAB≌△PBC≌△PAC.∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PC⊥PB.以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P­ABC的外接球．∵正方体的体对角线长为eq\r(32＋32＋32)＝3eq\r(3)，∴其外接球半径R＝eq\f(3\r(3),2).因此三棱锥P­ABC的外接球的体积V＝eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))3＝eq\f(27\r(3),2)π.2.(2018·唐山模拟)把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为()A．10eq\r(3)cm B.10cmC．10eq\r(2)cm D．30cm解析：选B依题意，在四棱锥S­ABCD中，所有棱长均为20cm，连接AC，BD交于点O，连接SO，则SO＝AO＝BO＝CO＝DO＝10eq\r(2)cm，易知点O到AB，BC，CD，AD的距离均为10cm，在等腰三角形OAS中，AO＝SO＝10eq\r(2)cm，SA＝20cm，所以O到SA的距离d＝10cm，同理可证O到SB，SC，SD的距离也为10cm，所以球心为四棱锥底面ABCD的中心O，所以皮球的半径r＝10cm.eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、题点全面练1．(2019·沈阳质检)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是()A．4＋4eq\r(2) B．4eq\r(2)＋2C．8＋4eq\r(2) D.eq\f(8,3)解析：选A由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P­ABCD，如图所示，其中PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA＝2，AB＝2，PB＝2eq\r(2)，所以该四棱锥的侧面积S是四个直角三角形的面积和，即S＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2＋\f(1,2)×2×2\r(2)))＝4＋4eq\r(2).2．(2019·开封模拟)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()C.eq\f(4π,3) D．π解析：选B由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tanα＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3)，得α＝eq\f(π,3)，故底面面积为eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×22＝eq\f(2π,3)，则该几何体的体积为eq\f(2π,3)×3＝2π.3．一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为()A．72＋6π B．72＋4πC．48＋6π D．48＋4π解析：选A由三视图知，该几何体由一个正方体的eq\f(3,4)部分与一个圆柱的eq\f(1,4)部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π.4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A．64－eq\f(16π,3) B.64－eq\f(32π,3)C．64－16π D．64－eq\f(64π,3)解析：选A由三视图可知，该几何体是一个正方体中间挖去两个顶点相接的圆锥，其中，两个圆锥的体积和是V锥＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×22×4＝eq\f(16π,3)，∴V＝V正方体－V锥＝43－eq\f(16π,3)＝64－eq\f(16π,3).5.(2018·广州调研)如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为()A.eq\f(11,2)C．11π D．12π解析：选C根据三视图知，可将该三棱锥放在长方体中，如图中三棱锥S­ABC所示，取线段AC的中点O1，过O1作直线垂直于平面ABC交长方体的上底面于点P，因为△ABC是直角三角形，所以外接球的球心O必在直线PO1上，连接SO，SP，OC，设OO1＝x，球的半径为R，易得SP＝eq\f(\r(10),2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R2＝x2＋\f(1,2)，,R2＝1－x2＋\f(5,2)，))解得R2＝eq\f(11,4)，所以该三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝11π，故选C.6.如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，过点A，P，C1的平面截正方体所得的截面为M，则截面M的面积为________．解析：如图，取A1D1，AD的中点分别为F，G.连接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.∵F为A1D1的中点，P为BC的中点，G为AD的中点，∴AF＝FC1＝AP＝PC1＝eq\f(\r(5),2)，PG綊CD，AF綊D1G.由题意易知CD綊C1D1，∴PG綊C1D1，∴四边形C1D1GP为平行四边形，∴PC1綊D1G，∴PC1綊AF，∴A，P，C1，F四点共面，∴四边形APC1F为菱形．∵AC1＝eq\r(3)，PF＝eq\r(2)，过点A，P，C1的平面截正方体所得的截面M为菱形APC1F，∴截面M的面积S＝eq\f(1,2)AC1·PF＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),2).答案：eq\f(\r(6),2)7．(2019·合肥质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体由一个半圆柱与两个半球构成，故其表面积为4π×12＋eq\f(1,2)×2×π×1×3＋2×eq\f(1,2)×π×12＋3×2＝8π＋6.答案：8π＋68．已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S­ABC的体积为9，则球O的表面积为________．解析：如图，取SC的中点O，连接OA，OB.∵SA＝AC，SB＝BC，∴OA⊥SC，OB⊥SC，∵平面SAC⊥平面SBC，∴OA⊥平面SBC.设OA＝r，则VS­ABC＝VA­SBC＝eq\f(1,3)S△SBC×OA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2r×r×r＝eq\f(1,3)r3＝9.∴r＝3.∴球O的表面积为4πr2＝36π.答案：36π9．已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？解：如图为其轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＋r2＝R2，即h＝2eq\r(R2－r2).因为S＝2πrh＝4πr·eq\r(R2－r2)＝4πeq\r(r2·R2－r2)≤4πeq\r(\f(r2＋R2－r22,4))＝2πR2，当且仅当r2＝R2－r2，即r＝eq\f(\r(2),2)R时，取等号，所以当内接圆柱底面半径为eq\f(\r(2),2)R，高为eq\r(2)R时，其侧面积的值最大，最大值为2πR2.10.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)求证：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E­ACD的体积为eq\f(\r(6),3)，求该三棱锥的侧面积．解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC.因为BD∩BE＝B，BD⊂平面BED，BE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\f(\r(3),2)x，GB＝GD＝eq\f(x,2).因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝eq\f(\r(3),2)x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝eq\f(\r(2),2)x.由已知得，三棱锥E­ACD的体积V三棱锥E­ACD＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)AC·GD·BE＝eq\f(\r(6),24)x3＝eq\f(\r(6),3)，故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝eq\r(6).所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为eq\r(5).故三棱锥E­ACD的侧面积为3＋2eq\r(5).二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．(2018·衡水二模)如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是()A．π＋4eq\r(2)＋4 B.2π＋4eq\r(2)＋4C．2π＋4eq\r(2)＋2 D．2π＋2eq\r(2)＋4解析：选B由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱与一个三棱柱组成的几何体，其直观图如图所示，其表面积S＝2×eq\f(1,2)π×12＋2×eq\f(1,2)×2×1＋eq\f(1,2)π×2×1＋(eq\r(2)＋eq\r(2)＋2)×2－2×1＝2π＋4eq\r(2)＋4.2．(2019·石家庄质检)如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为()A.eq\f(8,3) B.eq\f(4,3)C.eq\f(8\r(2),3) D.eq\f(4\r(2),3)解析：选A记由三视图还原后的几何体为四棱锥A­BCDE，如图，将其放入棱长为2的正方体中，其中点D，E分别为所在棱的中点，分析知平面ABE⊥平面BCDE，点A到直线BE的距离即棱锥的高，设为h，在△ABE中，易知AE＝BE＝eq\r(5)，cos∠ABE＝eq\f(\r(5),5)，则sin∠ABE＝eq\f(2\r(5),5)，所以h＝eq\f(4\r(5),5)，故四棱锥的体积V＝eq\f(1,3)×2×eq\r(5)×eq\f(4\r(5),5)＝eq\f(8,3).3．三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为eq\r(3)的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，若球O与三棱柱ABC­A1B1C1各侧面、底面均相切，则侧棱AA1的长为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C．1 D.eq\r(3)解析：选C因为球O与直三棱柱的侧面、底面均相切，所以侧棱AA1的长等于球的直径．设球的半径为R，则球心在底面上的射影是底面正三角形ABC的中心，如图所示．因为AC＝eq\r(3)，所以AD＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(3),2).因为taneq\f(π,6)＝eq\f(MD,AD)，所以球的半径R＝MD＝ADtaneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(1,2)，所以AA1＝2R＝2×eq\f(1,2)＝1.4．(2018·洛阳联考)已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为()A.eq\f(8\r(2),3)π B.eq\f(8\r(3),3)πC.eq\f(8\r(6),3)π D.eq\f(16\r(2),3)π解析：选A将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2eq\r(2).因为球O与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方体的内切球，即球O的直径为正方体的棱长2eq\r(2)，则球O的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(8\r(2),3)π.(二)技法专练——活用快得分5．[构造法]某几何体的三视图如图所示(粗实线部分)，正方形网格的边长为1，该几何体的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()C．17π D．18π解析：选C由题中的三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥D1­BCD，将其放在长方体ABCD­A1B1C1D1中，则该几何体的外接球即长方体的外接球，长方体的长、宽、高分别为2,2,3，长方体的体对角线长为eq\r(4＋4＋9)＝eq\r(17)，球O的直径为eq\r(17)，所以球O的表面积S＝17π.6．[补形法]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(3,2) B.eq\f(13,6)C．2 D.eq\f(11,6)解析：选D由三视图可知，该几何体是一个底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱柱，截去一个小三棱锥的组合体，直观图如图所示．直三棱柱的体积为eq\f(1,2)×2×1×2＝2，而截去的三棱锥的体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)，故所求几何体的体积为2－eq\f(1,6)＝eq\f(11,6).7．[等体积法]在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝1，AB＝2，AA1＝2，点M在平面ACB1内运动，则线段BM的最小值为()A.eq\f(\r(6),2) B.eq\r(6)C.eq\f(\r(6),3) D．3解析：选C线段BM的最小值即点B到平面ACB1的距离h.在△ACB1中，AC＝B1C＝eq\r(5)，AB1＝2eq\r(2)，所以AB1边上的高为eq\r(5－2)＝eq\r(3)，所以S△ACB1＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\r(6).又三棱锥