焦点弦公式及其应用

焦点弦公式及其应用引言焦点弦公式是高中数学中经典的一道经典问题，是直线和圆相交的重要性质之一。本文将详细介绍焦点弦公式和其应用。一、定义和公式（一）定义给定圆O和直线l，若直线l交圆O于A、B两点，圆心O与直线l的距离为d，那么A、B连结线段AB就是直线l与圆O的交线段。以线段AB中点M为圆O的圆心，以弦AB的长度对圆心M的距离d来表达的比例r，称为焦点弦的长度比。（二）公式设直线l的方程为Ax+By+C=0，圆的方程为(x-p)²+(y-q)²=r²，其中圆心坐标为(p,q)，半径为r。则有焦点弦公式：$$\\frac{|Ax+By+C|}{\\sqrt{A^2+B^2}}=\\frac{2r}{\\sqrt{1+m^2}}$$其中，m表示AB线段的斜率。二、证明1.延长直线l直到与圆O相交于两点A'、B'，则线段AB是线段A'B'的一部分，设AB'的长为x，A'B的长为y。2.画圆O的直径CD，且交线段A'B'于E点，则AF=Fb，因此F为焦点。此时，连接AD、BC两线段。3.根据圆心角的公式可得：$\\angleAOC=2∠B'EB$$\\angleAOD=2∠A'ED$$\\angleDOC=2∠A'AB$$\\angleBOC=2∠B'BA$4.观察图中的三角形ADM、BNC，因为MN=CD/2，所以MD=MN+ND=CD/2+x/2。同理，NB=CD/2+y/2。那么，我们可以得到：$MD^2+ND^2−MN^2−AD^2=(CD/2)^2$$NB^2+NC^2−MN^2−BC^2=(CD/2)2$化简得到：$$x^2+y^2-\\frac{A^2+B^2}{4}=r^2-d^2$$5.根据AB的斜率可得：$x=\\frac{2n}{\\sqrt{1+n^2}}r$$y=\\frac{2m}{\\sqrt{1+m^2}}r$其中，m表示AB的斜率，n表示-1/m。结合第四步的式子，我们可以得到：$$\\frac{Ar+By+C}{\\sqrt{A^2+B^2}}=\\frac{2r}{\\sqrt{1+m^2}}$$6.综上所述，得证。三、应用1.利用焦点弦公式，可以求出直线和圆的交点坐标。例如，求圆x²+y²=4和过点(2,-1)的直线的交点坐标。首先将直线y=2x-5带入弦长公式，得到：$$|2x-y-1|=2\\sqrt{2}$$化简可得：$$\\frac{-2-\\sqrt{2}}{2}≤x≤\\frac{2+\\sqrt{2}}{2}$$代入y=2x-5，即可得到交点坐标为:$(\\frac{4-3\\sqrt{2}}{2},-\\sqrt{2}-1),(\\frac{4+3\\sqrt{2}}{2},\\sqrt{2}-1)$2.焦点弦公式也可以用来解决课本上经典的相关公式问题。例如，在$\\triangleABC$的外接圆$O$上，边$AB$、$AC$的垂直平分线相交于点$M$，垂线$CD$和$BM$相交于点$E$，证明四边形$ABCE$是平行四边形。解：因为$\\angleBOC=2\\angleA,\\angleBAC=\\angleBOC/2$，所以$\\angleBAM=\\angleACM=\\angleA$.$AB=AC,r$为外接圆半径，则$\\angleBEO=\\angleCFO=\\angleOBM+\\angleMBO=180º-2\\angleA$，$EO=\\frac{1}{2}AB\\cdot\\sin2\\angleA=r\\sin2\\angleA$，$CO=2r\\cos\\angleA$。因此，$\\frac{EO}{CO}=\\frac{\\sin2\\angleA}{2\\cos\\angleA}=\\tan\\angleA$，根据焦点弦公式，易得：$$\\frac{MN}{BM}=\\tan\\angleA$$同时，又因为$MN=AB/2$，所以$BM=2MN\\tan\\angleA=AB$,因此，四边形$ABCE$是平行四边形。参考文献1.焦点弦的长度比[EB/OL]。/zkhd/Article?id=42632718122.高中数学几何知识点3-16--