2012年黑龙江大庆市中考数学试卷

2012年黑龙江省大庆市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）一个实数a的相反数是5，则a等于（）A． B．5 C．﹣ D．﹣52．（3分）科学家测得肥皂泡的厚度约为0.0000007米，用科学记数法表示为（）A．0.7×l0﹣6米 B．0.7×l0﹣7米 C．7×l0﹣7米 D．7×l0﹣6米3．（3分）tan60°等于（）A． B． C． D．4．（3分）代数式有意义的x取值范围是（）A． B． C． D．5．（3分）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列各式正确的是（）A．a＞b B．a＝b C．|a|＞|b| D．|a|＜|b|6．（3分）下列哪个函数的图象不是中心对称图形（）A．y＝2﹣x B． C．y＝（x﹣2）2 D．y＝2x7．（3分）如图所示，已知△ACD和△ABE都内接于同一个圆，则∠ADC+∠AEB+∠BAC＝（）A．90° B．180° C．270° D．360°8．（3分）如图所示，△ABC中，E、F、D分别是边AB、AC、BC上的点，且满足，则△EFD与△ABC的面积比为（）A． B． C． D．9．（3分）平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（，1），将OA绕原点按逆时针方向旋转30°得OB，则点B的坐标为（）A．（1，） B．（﹣1，） C．（O，2） D．（2，0）10．（3分）如图所示，将一个圆盘四等分，并把四个区域分别标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，只有区域I为感应区域，中心角为60°的扇形AOB绕点O转动，在其半径OA上装有带指示灯的感应装置，当扇形AOB与区域I有重叠（原点除外）的部分时，指示灯会发光，否则不发光，当扇形AOB任意转动时，指示灯发光的概率为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）计算：＝．12．（3分）分解因式：ab﹣ac+bc﹣b2＝．13．（3分）不等式组的整数解是．14．（3分）甲、乙两名射击运动员在某场测试中各射击20次，他们的测试成绩如下表：环数78910甲的频数4664乙的频数6446则测试成绩比较稳定的是．15．（3分）按照如图所示的程序计算，若输入x＝8.6，则m＝．16．（3分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象上有两点A（﹣7，y1），B（﹣8，y2），则y1y2．（用＞、＜、＝填空）．17．（3分）已知12＝1，112＝121，1112＝12321，…，则依据上述规律，的计算结果中，从左向右数第12个数字是．18．（3分）用八个同样大小的小立方体粘成一个大立方体如图1，得到的几何体的三视图如图2所示，若小明从八个小立方体中取走若干个，剩余小立方体保持原位置不动，并使得到的新几何体的三视图仍是图2，则他取走的小立方体最多可以是个．三．解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（4分）计算：．20．（4分）若方程x2﹣x﹣1＝0的两实根为a、b，求的值．21．（6分）如图△ABC中，BC＝3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC＝120°．（1）求∠ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离．22．（6分）若一次函数和反比例函数的图象都经过点C（1，1）．（1）求一次函数的表达式；（2）已知点A在第三象限，且同时在两个函数图象上，求点A的坐标．23．（6分）将一根长为16π厘米的细铁丝剪成两段．并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为r1和r2．（1）求r1与r2的关系式，并写出r1的取值范围；（2）将两圆的面积和S表示成r1的函数关系式，求S的最小值．24．（6分）已知等边△ABC和⊙M．（l）如图1，若⊙M与BA的延长线AK及边AC均相切，求证：AM∥BC；（2）如图2，若⊙M与BA的延长线AK、BC的延长线CF及边AC均相切，求证：四边形ABCM是平行四边形．25．（9分）甲乙两单位随机选派相同人数参加科普知识比赛；每人得分成绩只有70分、80分、90分三种结果中一种，已知两单位得80分的人数相同，根据下列统计图回答问题．（1）求甲单位得90分的人数，将甲单位职工得分条形统计图补充完整；（2）分别计算两个单位职工参加比赛成绩的平均分，由此你能估计出哪个单位职工对此次科普知识掌握较好，并说明理由；（3）现从甲单位得80分和90分的人中任选两个人，列出所有的选取结果，并求两人得分不同的概率（用大写字母代表得90分的人，小写字母代表得80分的人）．26．（8分）已知等边△ABC的边长为3个单位，若点P由A出发，以每秒1个单位的速度在三角形的边上沿A→B→C→A方向运动，第一次回到点A处停止运动，设AP＝S，用t表示运动时间．（1）当点P由B到C运动的过程中，用t表示S；（2）当t取何值时，S等于（求出所有的t值）；（3）根据（2）中t的取值，直接写出在哪些时段AP？27．（9分）在直角坐标系中，C（2，3），C′（﹣4，3），C″（2，1），D（﹣4，1），A（0，a），B（a，O）（a＞0）．（1）结合坐标系用坐标填空．点C与C′关于点对称；点C与C″关于点对称；点C与D关于点对称；（2）设点C关于点（4，2）的对称点是点P，若△PAB的面积等于5，求a值．28．（8分）已知半径为1cm的圆，在下面三个图中AC＝10cm，AB＝6cm，BC＝8cm，在图2中∠ABC＝90°．（l）如图1，若将圆心由点A沿A→C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；（2）如图2，若将圆心由点A沿A→B→C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；（3）如图3，若将圆心由点A沿A→B→C→A方向运动回到点A．则：I）阴影部分面积为；Ⅱ）圆扫过的区域面积为．

2012年黑龙江省大庆市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，列出方程求解即可．【解答】解：根据题意得，﹣a＝5，解得a＝﹣5．故选：D．【点评】本题考查了实数的性质，主要利用了互为相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000007米＝7×10﹣7米；故选：C．【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．【分析】根据tan60°＝即可得出答案．【解答】解：tan60°＝．故选：D．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，比较简单，注意熟练记忆一些特殊角的三角函数值．4．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：2x﹣1＞0，解得：x＞，故选：A．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．5．【分析】根据数轴的性质，可得a、b的符号与其绝对值的大小关系，比较分析选项可得答案．【解答】解：根据图示知，a＜0＜1＜b，∴a＜b，故A、B选项错误；根据图示知，a距离原点的距离比b距离原点的距离小，∴|a|＜|b|；故C选项错误；故选：D．【点评】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解答此题的关键是熟知数轴的特点，即数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；距原点的距离越大，绝对值越大．6．【分析】根据中心对称图形的概念与一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象，正比例函数图象的形状，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、y＝2﹣x是直线，是中心对称图形，故本选项错误；B、y＝，是双曲线，是中心对称图形，故本选项错误；C、y＝（x﹣2）2，是抛物线，不是中心对称图形，故本选项正确；D、y＝2x是直线，是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形，以及各函数图象的形状，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7．【分析】根据∠ADC，∠AEB，∠BAC所对圆弧正好是一个圆周，利用圆周角定理得出∠ADC+∠AEB+∠BAC的度数即可．【解答】解：∵∠ADC，∠AEB，∠BAC所对圆弧正好是一个圆周，∴∠ADC+∠AEB+∠BAC＝180°．故选：B．【点评】此题主要考查了圆周角定理，根据∠ADC，∠AEB，∠BAC所对圆弧正好是一个圆周得出答案是解题关键．8．【分析】先设△AEF的高是h，△ABC的高是h′，由于，根据比例性质易得＝＝，而∠A＝∠A，易证△AEF∽△ABC，从而易得h′＝3h，那么△DEF的高就是2h，再设△AEF的面积是s，EF＝a，由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，那么S△AEF：S△ABC＝1：9，于是S△ABC＝9s，根据三角形面积公式易求S△DEF＝2s，从而易求S△DEF：S△ABC的值．【解答】解：设△AEF的高是h，△ABC的高是h′，∵，∴＝＝，又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ABC，∴＝，S△AEF：S△ABC＝1：9，∴h′＝3h，∴△DEF的高＝2h，设△AEF的面积是s，EF＝a，∴S△ABC＝9s，∵S△DEF＝•EF•2h＝ah＝2s，∴S△DEF：S△ABC＝2：9．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是先证明△AEF∽△ABC，并注意相似三角形高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．9．【分析】AC⊥x轴于C点，BD⊥y轴于D点，由点A的坐标为（，1）得到AC＝1，OC＝，则∠AOC＝30°，再根据旋转的性质得到∠AOB＝30°，OA＝OB，易得Rt△OAC≌Rt△OBD，则DB＝AC＝1，OD＝OC＝，即可得到B点坐标．【解答】解：如图，作AC⊥x轴于C点，BD⊥y轴于D点，∵点A的坐标为（，1），∴AC＝1，OC＝，∴OA＝＝2，∴∠AOC＝30°，∵OA绕原点按逆时针方向旋转30°得OB，∴∠AOB＝30°，OA＝OB，∴∠BOD＝30°，∴Rt△OAC≌Rt△OBD，∴DB＝AC＝1，OD＝OC＝，∴B点坐标为（1，）．故选：A．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：把点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，根据直角三角形的性质确定点的坐标．也考查了含30°的直角三角形三边的关系．10．【分析】假设扇形区域逆时针转动，当OB越过OE时，指示灯开始发光，当OB越过OC时，指示灯停止发光，此过程中扇形转过的角度为60°+90°＝150°，据此可计算出指示灯发光的概率．【解答】解：如图，∵当扇形AOB落在区域I时，指示灯会发光；假设扇形区域逆时针转动，当OB越过OE时，指示灯开始发光，当OB越过OC时，指示灯停止发光，此过程中OB转过的角度为60°+90°＝150°．∴指示灯发光的概率为：＝．如图，逆时针旋转，只要蓝色扇形位置旋转到红色扇形位置，扇形AOB与区域Ⅰ就有重叠部分，在这个过程中，指示灯会发亮，即：灯发亮，OB扫过的圆心角为60°+90°＝150°，∴指示灯发光的概率为：＝．顺时针旋转是一样的）故选：C．【点评】本题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到指示灯发光的区域是解题的关键，本题难度中等．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．【分析】先分母有理化，再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝2+﹣＝2．故答案是2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是注意平方差公式的使用．12．【分析】首先把前两项分成一组，后两项分成一组，每一组可以提公因式，然后再利用提公因式法即可．【解答】解：ab﹣ac+bc﹣b2＝（ab﹣ac）+（bc﹣b2）＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）＝（b﹣c）（a﹣b）．故答案是：（b﹣c）（a﹣b）．【点评】本题考查了分组分解法分解因式，此题因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系．13．【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后确定解集中的整数即可．【解答】解：，解①得：x＞2，解②得：x≤3，则不等式组的解集是：2＜x≤3．则不等式组的整数解是：3．故答案是：3．【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．14．【分析】根据题意，分别计算甲乙两个人的方差可得，甲的方差小于乙的方差，结合方差的意义，可得甲最稳定．【解答】解：甲的平均数＝（7×4+8×6+9×6+10×4）÷20＝8.5乙的平均数＝（7×6+8×4+9×4+10×6）÷20＝8.5S甲2＝[4×（7﹣8.5）2+6×（8﹣8.5）2+6×（9﹣8.5）2+4×（10﹣8.5）2]÷20＝1.05S乙2＝[4×（8﹣8.5）2+6×（7﹣8.5）2+6×（10﹣8.5）2+4×（9﹣8.5）2]÷20＝1.45∵S甲2＜S乙2故甲的成绩更稳定．故答案为甲．【点评】本题考查方差的定义与意义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．15．【分析】根据图表可以得到m表示x的整数部分，据此即可求解．【解答】解：根据题意可得：m是8.6的整数部分，则m＝8．故答案是：8．【点评】本题考查了代数式的求值，正确理解表中说明的x与m的关系是关键．16．【分析】先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴是x＝﹣1，开口向下，∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大，∵点A（﹣7，y1），B（﹣8，y2）是二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象上的两点，﹣7＞﹣8，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．17．【分析】根据平方后的结果的规律，从左向右依次是从1开始的连续的自然数再逐渐减小至1，且中间的自然数与底数的1的个数相同，根据此规律写出即可得解．【解答】解：12＝1，112＝121，1112＝12321，…所以，第12个数字是4．故答案为：4．【点评】本题是对数字变化规律的考查，比较简单，观察出平方结果的数字排列顺序是解题的关键．18．【分析】由于从八个小立方体中取走若干个，剩余小立方体保持原位置不动，并使得到的新几何体的三视图都相同，由主视图可知有2层2列，由左视图可知有2层2行，由俯视图可知最少有2个小立方体．【解答】解：由主视图和左视图可得每一层的每一行每一列都要保留一个立方体，故取走的小立方体最多可以是4个．具体可参看图形：故答案为：4．【点评】本题考查了学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力，难度中等．三．解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．【分析】根据特殊三角函数值、乘方运算、零指数幂、负整数指数幂、绝对值的概念计算即可．【解答】解：原式＝（）2﹣1﹣+1＝0．【点评】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是注意掌握有关运算的法则．20．【分析】由方程x2﹣x﹣1＝0的两实根为a、b，根据根与系数的关系即可得a+b＝1，ab＝﹣1，又由＝，即可求得答案．【解答】解：∵方程x2﹣x﹣1＝0的两实根为a、b，∴a+b＝1，ab＝﹣1，∴＝＝﹣1．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系以及分式的加减运算．此题比较简单，注意掌握若二次项系数为1，x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q是解此题的关键．21．【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出AB＝BC，进而得出∠A＝∠C＝30°即可；（2）根据BC＝3，∠ACB＝30°，∠BDC＝90°，得出CD的长，进而求出AE的长度即可．【解答】解：（1）连接BD，∵以BC为直径的⊙O交AC于点D，∴∠BDC＝90°，∵D是AC中点，∴BD是AC的垂直平分线，∴AB＝BC，∴∠A＝∠C，∵∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，即∠ACB＝30°；（2）过点A作AE⊥BC于点E，∵BC＝3，∠ACB＝30°，∠BDC＝90°，∴cos30°＝＝，∴CD＝，∵AD＝CD，∴AC＝3，∵在Rt△AEC中，∠ACE＝30°，∴AE＝×3＝．【点评】此题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，根据已知得出CD的长度是解题关键．22．【分析】（1）把点C坐标代入一次函数的解析式，计算即可得解；（2）联立两函数解析式，解方程组即可得解．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+的图象都经过点C（1，1），∴k+＝1，解得k＝，∴一次函数的表达式为y＝x+；（2）联立，解得，，所以，点A的坐标为（﹣2，﹣）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，联立两函数解析式求交点的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．23．【分析】（1）先由圆的周长公式表示出半径分别为r1和r2的圆的周长，再根据这两个圆的周长之和等于16π厘米列出关系式即可；（2）先由（1）可得r2＝8﹣r1，再根据圆的面积公式即可得到两圆的面积和S表示成r1的函数关系式，然后根据函数的性质即可求出S的最小值．【解答】解：（1）由题意，有2πr1+2πr2＝16π，则r1+r2＝8，∵r1＞0，r2＞0，∴0＜r1＜8．即r1与r2的关系式为r1+r2＝8，r1的取值范围是0＜r1＜8厘米；（2）∵r1+r2＝8，∴r2＝8﹣r1，又∵S＝π+π，∴S＝π+π（8﹣r1）2＝2π﹣16πr1+64π＝2π（r1﹣4）2+32π，∴当r1＝4厘米时，S有最小值32π平方厘米．【点评】本题考查了二次函数的应用及圆的周长与面积公式，难度中等，（2）中用含r1的代数式表示r2是解题的关键，运用配方法求函数的最小值需牢固掌握．24．【分析】（1）由等边△ABC，即可得∠B＝∠BAC＝60°，求得∠KAC＝120°，又由⊙M与BA的延长线AK及边AC均相切，利用切线长定理，即可得∠KAM＝60°，然后根据同位角相等，两直线平行，证得AM∥BC；（2）根据（1），易证得AM∥BC，CM∥AB，继而可证得四边形ABCM是平行四边形．【解答】证明：（1）连接AM，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，∴∠KAC＝180°﹣∠BAC＝120°，∵⊙M与BA的延长线AK及边AC均相切，∴∠KAM＝∠CAM＝∠KAC＝×120°＝60°，∴∠KAM＝∠B＝60°，∴AM∥BC；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠KAC＝180°﹣∠BAC＝120°，∠FCA＝120°，∵⊙M与BA的延长线AK、BC的延长线CF及边AC均相切，∴∠KAM＝∠CAM＝∠KAC＝×120°＝60°，∠FCM＝∠ACM＝∠FCA＝×120°＝60°，∴∠KAM＝∠B＝60°，∠FCM＝∠B＝60°，∴AM∥BC，CM∥AB，∴四边形ABCM是平行四边形．【点评】此题考查了切线长定理、平行线的判定以及等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．25．【分析】（1）首先根据扇形统计图知得80分的占一半，有3人，从而求得总人数，补全统计图；（2）计算平均分后比较平均分即可得到答案；（3）列出树状图后即可得到结果．【解答】解：（1）观察两种统计图知道，甲单位有3人得80分，乙单位有一半得80分，∵得80分的人数相同，∴总人数＝3×2＝6人，∴甲单位得90分的有2人，统计图为：（2）甲单位的平均分为（70+80×3+90×2）÷6＝81.67分；乙单位的平均分为：（70×2+90+80×3）÷6＝78.33分，故甲单位职工对此次科普知识掌握较好．（3）列表得：abABCAAaAbAAABACBBaBbABBBBCCCaCbCACBCCaaaabaAaBaCbbabbbAbBbCP（两人得分不同的概率）＝＝．【点评】本题考查了条形统计图的知识，解题的关键是仔细的读图，并从统计图中得到进一步解题的有关信息．此类考题是中考的高频考点．26．【分析】（1）作PD⊥AC于D，在Rt△CDP中，用三角函数，分别表示出CD，DP；然后表示出AD；在Rt△ADP中，用勾股定理即可求解；（2）令S等与，建立关于t的方程，解答即可；（3）利用（2）中所求，即可得出AP时t的取值．【解答】解：（1）作PD⊥AC于D，CP＝6﹣t，在Rt△CDP中，CD＝（6﹣t），DP＝（6﹣t），则AD＝3﹣（6﹣t）＝t，在Rt△ADP中，S＝．（2）当t在BC上时，∵S＝，∴t2﹣9t+27＝7，解得t1＝4，t2＝5；当p在AB上时，t＝；当p在CA上时，t＝9﹣．当点P在BC上时，由（2）∵S＝开口向上，与S＝交点横坐标为t1＝4，t2＝5；综上所述：t＝4或t＝5或或9﹣；（3）根据（2）可知：0≤t＜；4＜t＜5；9﹣＜t≤9；这三个时间段内S＜．【点评】本题考查了等边三角形的性质、三角函数、勾股定理、一元二次方程与二次函数之间的关系，难度较大，会解一元二次方程是解题的关键．27．【分析】（1）根据对称的性质，分别找出两对称点连线的中点即可；（2）先求出点P的坐标，再根据a的大小分类讨论．当0＜a≤6时，根据S△PAB＝S梯形APP′O﹣S△AOB﹣S△BPP′求得a；当当6＜a＜7时，根据S△PAB＝S梯形APP′O+S△BPP′﹣S△AOB求得a；当a＞7时，S△PAB＝S△AOB﹣S梯形APP′O﹣S△BPP′求得a．【解答】解：（1）由图可知，点C与C′关于点（﹣1，3）对称；点C与C″关于点（2，2）对称；点C与D关于点（﹣1，2）对称；故答案为：（﹣1，3），（2，2），（﹣1，2）；（2）点C关于点（4，2）的对称点P（6，1），过P作x轴垂线交x轴于点P′，（i）如图1，当0＜a≤6时，则S△PAB＝S梯形APP′O﹣S△AOB﹣S△BPP′，5＝×（1+a）×6﹣a2﹣×（6﹣a）×1，解得a1＝2，a2＝5．（ii）如图2，当6＜a＜7时，S△PAB＝S梯形APP′O+S△BPP′﹣S△AOB，5＝+×（a﹣6）×1﹣a2，解得a1＝2（舍），a2＝5（舍），（iii）如图3，当a＞7时，S△PAB＝S△AOB﹣S梯形APP′O﹣S△BPP′，5＝a2﹣×（1+a）×6﹣×（a﹣6）×1，解得a＝或（舍）．综合（i）（ii）（iii）可得，a的值为2或5或．【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣对称，以及坐标与图形的性质，明确两点关于这两点连线的中点对称是解题的关键，（2）中△PAB的面积用