比例线段及相似性质和判定

比例线段与相似性质和判定一、比例的性质．

c

adbc,

这一性质称为比例的基本性质由可推出许多比例形式;．

c

(比定);c．．．．

ccc

bd(更比定)a(比定理)(比定理)d(分比定理)．

cd

m(b(等比定理b二、成比例线段．比例线段c对于四条线段b其中两条线段的它的长度比两线段的比相等（即a:b:么这四条线段ac叫做成比例线段，简称比例线段．．比例的项c在比例式（a::d）中，ad称为比例外项，c称比例内项，d做bc的四比例项．b三条线段（::）中，叫和c的例中项．．黄金分割B如图若段上点C线段AB分两条线段和BC（AC是和BC的例中项（即ACAB）称线段AB被黄分割，点C叫段的金分割点，其中AC

53，BCABAB，AC与AB的叫做黄金比．22三、平行线分线段成比例定理．定理两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例．．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．．推论的逆定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行三角形的第三边．．三角形一边的平线性质平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边应成比例．

如图，CDEF，

BDDFCEDF，，，DFACBDAEBFAEBF

．若将AC称上CE称下，AE称全，上述比例式可以形象地表示为

上上下下上上下下，，，．下下上上全全全全BA

A

BC

D

C

DE

F

E

F当三条平行线退化成两条的情形时，就成“A字型，X”型．则有AEAFAEBCEF，．EBFCACFC考点一：比例的性质考点说明：如果要考查多以选择和填空为主，重点掌握等比性质

F【例1】若

xy5

，则

2yz3x

的值为_【巩固】设

ae1bf4

，则

abf

【拓展】若

acba

，则的为_________【例2】已

::z1:3:5

，求

xx

的值【巩固】已知：

xyxyz．x

考点二：黄金分割☞考点说明：如果要考查可能出现在22题中，需要掌握黄金分割的定义【例3】如所示，乐器上的一根弦

80cm

，两个端点

AB

固定在乐器面板上，支撑是近点B的黄金分割点（即AC是AB与的例中项），支撑点D是近点A的金分割点，则AC________cm，DCcmDC【例4】如所示，在黄金分割矩形ABCD

5

FC中，分出一个正方形ABFE，．CDEDABFC考点三：平行线分线段成比例定理☞考点说明：平行线分线段成比例定理的考查多数以选择或填空的形式展开【例5】如，BC且，

AC

，求的．ADEBC【例6】如，已知DEEFAB则下列比例式中错误的是（）D

FCA．C．

ACADBD

BD．

CFFBEFCFCB

【拓展如图，ABC中DBC边中点延AD至延交的长线于若AD，求证

APAB

．

C【例7】已知如图边长为2的边，BC，S

S

，则EC的为ADB

EC【例8】如图在中∥BE、BDCE若OA，AC，AB的长为________OABDCE【例9】已知如图在平行四边形ABCD，BC任一点，连接DP的长线于Q求证：

BCBQ

DCPAQ

考点四：梅涅劳斯定理考点说明：梅涅劳斯型在选择和填空中考察较多，需要熟练掌握该定理以提高解题速度梅涅劳斯定理：如果一条直线与△ABC的边AB、、或其延长线交于、D、E点那么AFFBEA

．这条直线叫△ABC的

梅氏线，△ABC叫氏三角形．

AG

F

F

E

H

FH

E

H

D

B

证法一：如左图，过C作CG∥DF∵∴

FBECFG，DCAFAFAFFBFGFBDCFBFGAF

．证法二：如中图，过A作AGBD交DF的长线于∴

AGBDBDDC，，BDDCEA三式相乘即得：

AFBDAGBDFBDCAG

．证法三：如右图，分别过则有AHBHCH，

作DE垂线，分别交于HH

．AFBDCEAHBHCH所以．FBEABHCHAH【例1】如，在ABC中M是的点，是上点，且AEBC的延长线于D则CD

，连接EM并长，交BCMC

【例1】如图，在ABC中D为的中点，为AC上的任意一点，交于点.（1当

AO时求的值；A2AE1（2当、时，求的；A3（3试猜想

1AO时的值，并证明你的猜.nAEOBC【巩固】如图，是ABC的中线，点E上F是BE延线与的点.（1如果是的点，求证：

AF1FC2

；（2由）知，当是AD中时，

1FCED

成立，若是上任意一点（E与、不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理AFEBD

C【拓展】在中底边BC上两点E、F把三分，是AC上中线，、AF分别交BM于G、H两，求证：BGGH:M

HF

考点五：相似三角形的性质☞考点说明：利用相似三角形的性质如对应边成比例，求线段的长，或者转化角度。

如图，四边形ABCD是行四边形，为BC上点，BDF。，则BF)

D4:

4:9

FC.4:10

:9

C

已知为梯形ABCD一AB上点且AE，EFBC交CD于F，AD，则长()

DA.C.

B.D.

F

如图，在梯形ABCD中，CD，，CD，E为AD上任意一点，EF∥AB，且EF交于F．⑴若为边AD的中点，则（含有，b的子表示

D

C

⑵若为边AD距点最的n等点（n，且为数则EF______（用含有，，式子表示如图个边长为的等三角形有一条边在同一直线上eq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)DC

EFAB的面积为eq\o\ac(△,，)DC1

的面积为

2

，…，eq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)DC

的面积为，=_______S=____________（用含的式子表n2B

B

2

B

3

B

4

B

5D

1

D

D

D

4A

如图，在ABC中，AB，是AC中点，过点直线交AB边点Q，以、、

Q

为顶点的三角形和以A、B、为点的三角形相似，则

的长为（）A.

B.

C.3或

D.

AQ

PB

C考点四：相似三角形的判定☞考点说明熟练掌握相似三角形的判定方法，

如图，小正方形的边长均为1则下列图形中的三角(阴影部分)与ABC相的()

AB

C

ACD

在ABC中25AD是边的高，且

，则BCA的数为_______AB

D

C

BCD

如图，已知DABEAC，再增加一个条件就能使结论AAD成，则这个条件可以是_______________

ADB

E

C

已知：如图，点P是长为4的正方形ABCD内点，,于B，试在射线上找一点M使得以点,M