期权定价原理及其应用概述

期权定价原理及其应用概述演示文稿现在是1页\一共有80页\编辑于星期六期权定价原理及其应用概述现在是2页\一共有80页\编辑于星期六5.1期权定价原理现在是3页\一共有80页\编辑于星期六期权期权赋予期权持有人在到期日、以执行价格（从期权出售方）买入或卖出相关资产的权利（但不是义务）。现在是4页\一共有80页\编辑于星期六看涨期权合约中指定：——相关资产、执行价格(X)、到期日(T)●欧式看涨期权赋予期权持有人只能在到期日T、以执行价格X（从看涨期权出售方）买入（“看涨”）相关资产的权利（但不是义务）。●美式看涨期权赋予期权持有人在到期日T前或到期日、以执行价格X（从看涨期权出售方）买入（“看涨”）相关资产的权利（但不是义务）。现在是5页\一共有80页\编辑于星期六到期日看涨期权的价值ST

＝到期日T相关资产或股票的价值或价格。CT

＝在到期日执行价格为X的看涨期权的价值是ST的函数如果ST>X，则成为“实值期权”。如果ST<X，则成为“虚值期权”。如果ST=X，则成为“两平期权”。现在是6页\一共有80页\编辑于星期六看跌期权指定：——相关资产——执行价格(X)——到期日(T)欧式看跌期权赋予期权持有人只能在到期日T、以执行价格X（向看跌期权出售方）卖出（“看跌”）相关资产的权利（但不是义务）。美式看跌期权赋予期权持有人在到期日T前或到期日、以执行价格X（向看跌期权出售方）卖出（“看跌”）相关资产的权利（但不是义务）。现在是7页\一共有80页\编辑于星期六到期日看跌期权的价值ST＝到期日T时，相关资产或股票的价值或价格。PT＝在到期日、执行价格为X的看跌期权的价值是ST的函数如果ST<X，则成为“实值期权”。如果ST>X，则成为“虚值期权”。如果ST=X，则成为“两平期权”。现在是8页\一共有80页\编辑于星期六Black-Scholes公式欧式看涨期权的公式计算是：这儿：S＝相关资产或股票的现价T-t＝剩余到期时间r＝连续无风险收益率e≈2.71828＝相关资产或股票连续复利报酬率的标准差（即波动）N(y)＝均值为0、方差为1的标准正态分布随机变量小于y的概率现在是9页\一共有80页\编辑于星期六期权定价基本原理问题：一只股票目前价格100元，未来可能上涨到120元，也可能下跌至80元；如果现在你为了规避股票下跌的风险，买入一份看涨期权（执行价格为110元）那么，你应该支付多少钱得到这份看涨期权（对方需要多少钱才会愿意承担此风险）？现在是10页\一共有80页\编辑于星期六期权的支付现在是11页\一共有80页\编辑于星期六无套利原理如果不同的资产在未来带来相同的现金流，那么资产（当前）的价格应该相等，否则就会存在套利的机会；横向套利：不同市场纵向套利：不同期限现在是12页\一共有80页\编辑于星期六二叉树期权定价二叉树期权定价（BinomialoptionPricingModel）由Cox,Ross,Rubinstein等人提出为期权定价模型为B-S模型提供一种比较简单和直观的方法13现在是13页\一共有80页\编辑于星期六例：远期汇率与即期汇率抛补利率平价现在是14页\一共有80页\编辑于星期六抛补利率平价公式(1+美元利率)=(1+英镑利率)x(美元/英镑远期汇率)/(美元/英镑即期汇率)所以存在平价关系：即期汇率=远期汇率x(1+外币利率)/(1+本币利率)现在是15页\一共有80页\编辑于星期六例：人民币抛补利率平价例：2010年4月利率:中国是2.25%美国：最高1.5%汇率即期汇率是6.823远期汇率是6.647现在是16页\一共有80页\编辑于星期六投资策略：ⅰ在纽约的银行存1美元，一年以后得到1.015美元ⅱ将1美元换成RMB6.823,存入中国的银行可以获得:6.823x1.0225=RMB6.9765

用远期汇率换成美元，可获得：6.9765/6.647=$1.0495策略ⅱ可获得有无风险的利润现在是17页\一共有80页\编辑于星期六期权定价的基础就是无套利原理构建一种资产组合，其未来的现金流支付等于期权的支付，那么期权的价格就应该等于该资产组合的价格现在是18页\一共有80页\编辑于星期六二叉树定价模型：Astockpriceiscurrently$20Inthreemonthsitwillbeeither$22or$1819StockPrice=$22StockPrice=$18Stockprice=$20现在是19页\一共有80页\编辑于星期六

A3-monthcalloptiononthestockhasastrikepriceof21.20StockPrice=$22OptionPrice=$1StockPrice=$18OptionPrice=$0Stockprice=$20OptionPrice=?现在是20页\一共有80页\编辑于星期六构建无风险组合ConsiderthePortfolio: longDshares short1calloption Portfolioisrisklesswhen22D–1=18DorD=0.252122D–118D股股票－1份期权=无风险证券→1份期权=D股股票-无风险证券现在是21页\一共有80页\编辑于星期六单期二叉树期权定价模型考虑一个买权在当前时刻t，下期t=T到期，中间只有1期，τ=T-t假设该买权的标的股票是1个服从二项分布的随机变量。当前股票价格为st=S是已知的，到期股票价格为sT，且满足22其中，u为上涨因子，d为下跌因子现在是22页\一共有80页\编辑于星期六23sT=su=uSsT=sd=dSstq1-q问题：如何确定该期权在当前时刻t的价值ct？设想：构造如下投资组合，以无风险利率r借入资金B（相当于无风险债券空头），并且在股票市场上购入N股股票（股票多头）。目的：在买权到期日，上述投资组合的价值特征与买权完全相同。现在是23页\一共有80页\编辑于星期六在当前时刻t，已知股票的价格为s，构造上述组合的成本为24在到期时刻T，若希望该组合的价值v与买权的价值完全相同则必须满足由上两式得到现在是24页\一共有80页\编辑于星期六由此得到的组合称为合成期权（syntheticoption），由无套利定价原则，在当前时刻t买权的价值为现在是25页\一共有80页\编辑于星期六例子假设有1个股票买权合约，到期日为1年，执行价格为112美元，股票当前的价格为100美元，无风险利率为8％（连续复利折算为单利）。在到期日股票的价格有两种可能：180美元或者60美元，求期权的价值？26sT=su=us＝180sT=sd=ds=60stq1-qct？cT=cu=max(0,Su-112)=68cT=cd=max(0,Sd-112)=0现在是26页\一共有80页\编辑于星期六27现在是27页\一共有80页\编辑于星期六Dicussion:Risk-neutralprobabilitypisRisk-neutralprobabilityforallsecurities。stock’sexpectedrelativereturnis28Option’sexpectedrelativereturnisSo，pisavariablewhichmakeriskfulstockandcalloption’sexpectedreturnarebothonlyrisklessinterestrate.Fortheabovereason,Wecallp“riskneutralprobability”.现在是28页\一共有80页\编辑于星期六Dicussion:Risk-neutralprobability在风险中性世界中，主观概率q没有出现。虽然个人对q的信念是不同的，但是在期权的定价过程中并没有涉及到q，也就是人们对q认识的分歧并不影响对期权的定价结果。投资者最终都一致风险中性概率p，它只取决于r，u，d这三个客观因子。29现在是29页\一共有80页\编辑于星期六Dicussion:Risk-neutralprobability风险中性世界，不必考虑风险，这等价于假设投资者是风险中性的。若在期初构造如下组合：以S的价格买入N股股票，同时以c的价格卖出1个期权，则该组合的投资成本为NS－c必然等于B。若sT＝su30若sT＝Sd现在是30页\一共有80页\编辑于星期六投资者虽然投资于有风险的股票和期权，但是由二者构成的组合NS－c，即相当于投资1个无风险的证券。组合贴现率的贴现率只能是无风险利率由于是无风险证券，对于理性投资者，不论其偏好如何，其风险态度对于这样的组合是无关紧要。只要考虑收益的大小即可，由此大大简化资产的定价。基于上述的理由，只要以上述方式构建投资组合来对期权定价，就等价于假设投资者是风险中性的，既然是风险中性的，则对这样的组合定价就不必考虑风险问题。31现在是31页\一共有80页\编辑于星期六

两阶段二叉树定价模型由于标的资产市场价格是1个连续（接近连续）的随机变量，不可能只有2种情形，因此可以考虑将时间T-t分为多段处理，首先介绍两阶段模型。32两阶段模型（Two-stepbinomialtree)若把从定价日t至到期日T的时间区间T-t，划分为2个阶段，在每1个阶段，仍然假设标的资产价格只可能取2种状态，上涨和下跌，且上涨和下跌的幅度相等，则第2阶段结束时候（t=T），标的资产价格的取值为3个，并且令h为每个阶段的时间长度现在是32页\一共有80页\编辑于星期六两阶段模型示意图33stctsu,cuuduuddsd,cdsuu,cuusud,cudsdd,cdd其中，u＝1/d现在是33页\一共有80页\编辑于星期六两阶段模型第2期本来有4种状态，为简化分析，不妨规定u=1/d，则第2、3两种状态为同一结果，故将其合并。期权到期日价值的所有可能值为34现在是34页\一共有80页\编辑于星期六由1阶段模型可知，在风险中性条件下35注意：风险中性概率p只与r，h，u，d有关，当上述值确定下来后，两个阶段的p就完全相同，这也正是阶段平分的优点。现在是35页\一共有80页\编辑于星期六36当前时刻t，期权的价值为现在是36页\一共有80页\编辑于星期六定价思路：倒推定价法首先得到2期节点的股票价格，从而得到该期的期权价格。采用风险中性定价，通过贴现得到1期节点的股票价格和期权价格。由1期的股票价格得到期权价格，得到当前期权的价格。风险中性定价下，每一期的风险中性概率都是相同的。37现在是37页\一共有80页\编辑于星期六5.4n阶段二叉树定价模型将定价日t到到期日T的时间进一步等分为n个阶段，每个阶段的长度为h38标的资产在到期日的状态可能取值为n＋1个.若n→∞，即每个阶段所对应的长度无穷小，则完全有理由用二叉树来近似表示标的资产价格的连续变化过程。数学意义：根据中心极限定理，若n充分大，则二项分布收敛于正态分布思路：推导出n期的二项式模型，然后令n趋于无穷。现在是38页\一共有80页\编辑于星期六标的股票当前价格为St=S，而在以后任意一期，股价的变化有上升和下降两个可能。这样经过n期后（到期日T），若该股票上涨j次，下跌n-j次，到期日T股价ST为39由概率论可知，sT服从二项分布（binomialdistribution)，所以，具有j次上涨，n-j次下降的股票价格sT的概率为现在是39页\一共有80页\编辑于星期六recall：binomialdistribution假设在一个不透明的袋子中有N个球，其中M个是白色的，其余N-M个球是黑色的，则每次取球取到白球的概率是p=M/N。若有放回地取球n次，称之为n重贝努里试验。在贝努里试验中刚好取到j次白球的概率记为b(j;n,p)40现在是40页\一共有80页\编辑于星期六recall：binomialdistribution由于b(j;n,p)刚好是二项式41例如第j项就是故上述分布又称为二项式分布，并且成立现在是41页\一共有80页\编辑于星期六recall：binomialdistribution由于二项式分布计算复杂，为简化计算。当n→∞，可以用正态分布逼近（定理：独立同分布下的中心极限定理）。设随机变量Yn~b(j;n,p)，则随机变量42现在是42页\一共有80页\编辑于星期六43参照2阶段模型的思路，从最后的n期（T时刻）开始逐期向前推导，则期权在当前时刻t的价格为公式意义：在风险中性世界里，将期权到期时所有的可能值对当前时刻贴现，并以风险中性概率加权，得到的是期权现值的期望值。此期望值是期权的真实值吗？现在是43页\一共有80页\编辑于星期六Forexample:two-stepbinomialtrees44现在是44页\一共有80页\编辑于星期六CRRmodel:n-stepbinomialtrees45现在是45页\一共有80页\编辑于星期六46现在是46页\一共有80页\编辑于星期六47现在是47页\一共有80页\编辑于星期六Howtocomputeuord?现在是48页\一共有80页\编辑于星期六ChoosinguanddOnewayofmatchingthevolatilityistoset49wheresisthevolatilityandhisthelengthofthetimestep.ThisistheapproachusedbyCox,Ross,andRubinstein.Neutral-riskprobabilityis现在是49页\一共有80页\编辑于星期六Simplifyfirstterm50=1现在是50页\一共有80页\编辑于星期六51Binomialequation现在是51页\一共有80页\编辑于星期六52现在是52页\一共有80页\编辑于星期六Simplifysecondterm53现在是53页\一共有80页\编辑于星期六Simplifyallterms54Nextstep,wemustdeduced1andd2whenn→∞现在是54页\一共有80页\编辑于星期六deducingd1andd2(form)55现在是55页\一共有80页\编辑于星期六deducingd1andd2(forp)56现在是56页\一共有80页\编辑于星期六57现在是57页\一共有80页\编辑于星期六58现在是58页\一共有80页\编辑于星期六deducingd259现在是59页\一共有80页\编辑于星期六Result:Black-Scholesformula60现在是60页\一共有80页\编辑于星期六HowtochooseuanddBlack-scholesmodelassumethemotionofstockpricesatisfiestheGeometryBrownmotionorlogarithmnormaldistribution61现在是61页\一共有80页\编辑于星期六Howtochooseuandd62Inbinomialmodel,weassumeqisprobabilityofstockpriceupinrealworlds.现在是62页\一共有80页\编辑于星期六Howtochooseuandd63现在是63页\一共有80页\编辑于星期六64现在是64页\一共有80页\编辑于星期六65So,wefindonesolveoftheequationInrisk-neutralworld,thereturnofsecuritiesmustber,whichmeans现在是65页\一共有80页\编辑于星期六Disscusion:ChoosinguanddWehaveknowneutralprobabilitypforanystep66ud1p1-p现在是66页\一共有80页\编辑于星期六Wecanget67Prove:inrisk-neutralworldVarianofastock’sreturnin

AccordingtoGeometryBrownmotion现在是67页\一共有80页\编辑于星期六68ud1p1-p现在是68页\一共有80页\编辑于星期六69Substitutingforuandd,thetermsofhigherthan2powerareignored.FromCox，RossandRubinstein(1979)现在是69页\一共有80页\编辑于星期六美式期权可以提前执行，提前执行从表面上看是一个非常微小的变化，但是欧式期权与美式期权（尤其是看跌期权）价值有很大的不同。WeknowthevalueoftheoptionatthefinalnodesWeworkbackthroughthetreeusingrisk-neutralvaluationtocalculatethevalueoftheoptionateachnode,testingforearlyexercisewhenappropriate美式期权没有解析解，故采用二叉树方法来逼近。705.7Application:Americanoptionpricing现在是70页\一共有80页\编辑于星期六Americanoptionpricing71现在是71页\一共有80页\编辑于星期六以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权有效期划分成N个长度为h的小区间，令表示在时间时第j个结点处的美式看跌期权的价值，同时用表示结点处的证券价格，可得：后，假定期权不被提前执行，则在风险中性条件下：

72现在是72页\一共有80页\编辑于星期六Example:AmericanPutOption

(SeeExample16.1,page391)S=50;X=50;r=10%;s=40%; T=5months=0.4167(year);

h=1month=0.0833(year);Theparametersimply u=1.1224;d=0.8909;

=1.0084;p=0.507673现在是73页\一共有80页\编辑于星期六为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于0.0833年）。可以算出：74现在是74页\一共有80页\编辑于星期六Example75X＝50现在是75页\一共有80页\编辑于星期六二叉树模型的程序example：PriceanAmericancalloptionusingabinomialmodel.Again,theassetpriceis$100.00,theexercisepriceis$95.00,therisk-freeinterestrateis10%,andthetimetomaturityis0.25years.Itcomputesthetreeinincrementsof0.01years,sothereare0.25/0.01=25periodsintheexample.Thevolatilityis0.50,thisisacall(flag=1),thedividendrateis0,anditpaysdividendof$5.00afterthreeperiods(anex-dividenddate).Executingthetoolboxfunction76现在是76页\一共有80页\编辑于星期六MATLABfinancialtoolbox[AssetPrice,OptionPrice]=binprice(Price,Strike,Rate,Time,Increment,Volatility,Flag,DividendRate,Dividend,ExDiv)[StockPrice,OptionPrice]=binprice(100,95,0.10,0.25,0.05,0.50,1,0,5.0,3);77现在是77页\一共有80页\编辑于星期六StockPrice=Columns1through4100.0000111.2713123.873213