直线与平面的夹角

直线与平面的夹角第1页，共39页，2023年，2月20日，星期六第2页，共39页，2023年，2月20日，星期六3．2.3直线与平面的夹角第3页，共39页，2023年，2月20日，星期六如图在正方体ABCD—A1B1C1D1中．问题1：AC是A1C在平面ABCD内的射影吗？提示：因为AA1⊥平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD内的射影．第4页，共39页，2023年，2月20日，星期六问题3：由问题2你能得到什么结论？提示：斜线与射影的夹角小于斜线与平面内其他直线的夹角．

提示：当θ为锐角时α＋θ＝90°，当θ为钝角时，θ＝90°＋α.问题2：你能比较∠A1CA与∠A1CB的大小吗？第5页，共39页，2023年，2月20日，星期六

1．直线与平面的夹角(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为

；(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为

；(3)斜线和它在平面内的

所成的角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)；(4)直线与平面的夹角的范围是

．0射影第6页，共39页，2023年，2月20日，星期六2．最小角定理(1)线线角、线面角的关系式：如图，OB是OA在平面α内的射影，OM⊂α，θ是OA与OM所成的角，θ1是OA与OB所成的角，θ2是OB与OM所成的角，则cosθ＝

．cosθ1cosθ2第7页，共39页，2023年，2月20日，星期六它在平面内的射影第8页，共39页，2023年，2月20日，星期六1．斜线和它在平面内的射影所成的角是锐角．2．cosθ＝cosθ1·cosθ2中，θ1，θ2，θ分别是斜线与射影，射影与平面内的直线，斜线与平面内的直线所成的角，θ>θ1，θ>θ2.第9页，共39页，2023年，2月20日，星期六第10页，共39页，2023年，2月20日，星期六[例1]

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝5，试求B1D1与面A1BCD1所成角的正弦值．[思路点拨]作出B1点在平面A1BCD1内的射影，从而得到B1D1在平面A1BCD1内的射影．第11页，共39页，2023年，2月20日，星期六[精解详析]

作B1E⊥A1B，垂足为E，又因为A1D1⊥平面ABB1A1，∴A1D1⊥B1E.由B1E⊥A1B及B1E⊥A1D1得B1E⊥面A1BCD1，

所以，D1E就是D1B1在平面A1BCD1内的射影，从而∠B1D1E就是D1B1与面A1BCD1所成的角．第12页，共39页，2023年，2月20日，星期六第13页，共39页，2023年，2月20日，星期六[一点通]作直线与平面夹角的一般方法：在直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，找到要求的角．其中关键是作平面的垂线，此方法简称为“一作，二证，三计算”．第14页，共39页，2023年，2月20日，星期六1.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．(1)求证：PB⊥DM；(2)求BD与平面ADMN所成的角．第15页，共39页，2023年，2月20日，星期六解：(1)证明：∵N是PB的中点，PA＝AB，∴AN⊥PB.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD，又∵∠BAD＝90°，∴AD⊥面PAB，∴AD⊥PB.∴PB⊥平面ADMN.∵DM⊂平面ADMN，∴PB⊥DM.第16页，共39页，2023年，2月20日，星期六第17页，共39页，2023年，2月20日，星期六2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AA1、AB的中点，求EF和平面ACC1A1夹角的大小．第18页，共39页，2023年，2月20日，星期六第19页，共39页，2023年，2月20日，星期六[例2]

∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角．[思路点拨]根据定义或cosθ＝cosθ1·cosθ2求解．第20页，共39页，2023年，2月20日，星期六第21页，共39页，2023年，2月20日，星期六第22页，共39页，2023年，2月20日，星期六第23页，共39页，2023年，2月20日，星期六

[一点通]

求线面角关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角．在本例中，也可以直接作AH⊥BC于H，进而证明AH⊥平面α，从而证明H是点A在平面α内的射影．解法二则灵活应用公式cosθ＝cosθ1·cosθ2求线面角，也是常用的方法．第24页，共39页，2023年，2月20日，星期六答案：C第25页，共39页，2023年，2月20日，星期六4.如图所示，四棱锥P－ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.若∠PBC＝60°，求直线PB与平面ABCD所成的角θ.第26页，共39页，2023年，2月20日，星期六第27页，共39页，2023年，2月20日，星期六第28页，共39页，2023年，2月20日，星期六第29页，共39页，2023年，2月20日，星期六第30页，共39页，2023年，2月20日，星期六第31页，共39页，2023年，2月20日，星期六5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中(如图)，M、N分别是棱B1C1、AD的中点，求直线AD与平面BMD1N所成角的余弦值．第32页，共39页，2023年，2月20日，星期六第33页，共39页，2023年，2月20日，星期六第34页，共39页，2023年，2月20日，星期六6.如图，在棱长为1的正方体ABCD—

A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，

CP＝m，试确定m，使直线AP与平面

BDD1B1所成角的正切值为3.第35页，共39页，2023年，2月20日，星期六第36页，共39页，2023年，2月20日，星期六第37页，共39页，2023年，2月20日，星期六求直线与平面所成角的方法：(1)定义法：找(或作)出直线在平面内的射影，得到线面角，通过解三角形进行计算．