统计学第五章平均指标

统计学第五章平均指标第1页，共48页，2023年，2月20日，星期六平均指标按计算方法分类

算术平均数调和平均数几何平均数

数值平均数位置平均数众数中位数二、平均指标的计算与应用第2页，共48页，2023年，2月20日，星期六算术平均数的学习要点算术平均数基本含义两种算术平均数的计算公式两种算术平均数的适用条件加权算术平均数的影响因素分析数学性质第3页，共48页，2023年，2月20日，星期六基本形式：例：※它表明平均每一个单位所分担的标志值是多少。（一）算术平均数第4页，共48页，2023年，2月20日，星期六【例】某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）1011121314计算该企业该日全部工人的平均日产量。日产量（件）工人人数（人）101112131470100380150100合计800情况1情况2第5页，共48页，2023年，2月20日，星期六适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况式中：为算术平均数;为总体单位总数；为第个单位的标志值。A.简单算术平均数第6页，共48页，2023年，2月20日，星期六平均每人日销售额为：简单算术平均数的计算实例某售货小组5个人，某天的销售额分别为520元、600元、480元、750元、440元，则【例】第7页，共48页，2023年，2月20日，星期六【例】某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）工人人数（人）101112131470100380150100合计800计算该企业该日全部工人的平均日产量。加权算术平均数的计算实例第8页，共48页，2023年，2月20日，星期六——适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况式中：为算术平均数;为第组的次数；为组数；为第组的标志值或组中值。B.加权算术平均数第9页，共48页，2023年，2月20日，星期六解：加权算术平均数的实例分析若上述资料为组距数列，则应取各组的组中值作为该组的代表值用于计算；此时求得的算术平均数只是其真值的近似值。说明第10页，共48页，2023年，2月20日，星期六分析：加权算术平均数的影响因素分析各组权数各组变量值第11页，共48页，2023年，2月20日，星期六丙班乙班甲班203911002013960人数（人）f成绩（分）x404040合计思考题:依据下例,分析说明算术平均数的影响因素第12页，共48页，2023年，2月20日，星期六809961平均成绩（分）丙班乙班甲班203911002013960人数（人）f成绩（分）x思考题:依据下例,分析说明算术平均数的影响因素第13页，共48页，2023年，2月20日，星期六表现为次数、频数、单位数；即公式中的表现为频率、比重；即公式中的加权算术平均数的计算方法归纳变量数列中各组标志值出现的次数（频率），反映了各组的标志值对平均数的影响程度。权数绝对权数相对权数第14页，共48页，2023年，2月20日，星期六比重权数丁班f甲班f1/401×239/4039×260思考题:依据下例,分析权数对算术平均数的影响110039人数（人）成绩（分）x100%40×240合计60第15页，共48页，2023年，2月20日，星期六算术平均数的主要数学性质1即：或算术平均数与标志值个数的乘积等于?算术平均数与标志值个数的乘积等于各标志值的总和。第16页，共48页，2023年，2月20日，星期六算术平均数的主要数学性质2变量值与其算术平均数的离差之和恒等于零。即：或第17页，共48页，2023年，2月20日，星期六算术平均数的主要数学性质3变量值与其算术平均数的离差平方和为最小。即：或第18页，共48页，2023年，2月20日，星期六离差的概念12345678-1-1-213第19页，共48页，2023年，2月20日，星期六几何平均数的学习要点几何平均数基本含义及公式适用条件第20页，共48页，2023年，2月20日，星期六是n项变量值连乘积的开n次方根几何平均数用于计算现象的平均比率或平均速度应用：各个比率或速度的连乘积等于总比率或总速度；相乘的各个比率或速度不为零或负值。应用的前提条件：（三）几何平均数第21页，共48页，2023年，2月20日，星期六A.简单几何平均数式中：为几何平均数;为变量值的个数；为第个变量值。几何平均数的计算方法第22页，共48页，2023年，2月20日，星期六【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪，求整个流水生产线产品的平均合格率。分析：设经过第一道工序生产出A个单位，则第一道工序的合格品为A×0.95；第二道工序的合格品为（A×0.95）×0.92；

……第五道工序的合格品为（A×0.95×0.92×0.90×0.85）×0.80；第23页，共48页，2023年，2月20日，星期六因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品，故该流水线总的合格品应为A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；则该流水线产品总的合格率为：即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。第24页，共48页，2023年，2月20日，星期六求解平均合格率第25页，共48页，2023年，2月20日，星期六B.加权几何平均数——适用于各变量值出现的次数不同的情况式中：为几何平均数;为第组的次数；为组数；为第组的标志值或组中值。几何平均数的计算方法第26页，共48页，2023年，2月20日，星期六【例】某金融机构以复利计息。近12年来的年利率前4年为3﹪，下2年为5﹪，下2年为8﹪，下3年为10﹪，最后1年为15﹪。求平均年利率。设本金为V，则至各年末的本利和应为：第1年末的本利和为：第2年末的本利和为：………………第12年末的本利和为：分析：第2年的计息基础第12年的计息基础第27页，共48页，2023年，2月20日，星期六则该笔本金12年总的本利率为：即12年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。解：第28页，共48页，2023年，2月20日，星期六思考若上题中不是按复利而是按单利计息，且各年的利率与上相同，求平均年利率。第29页，共48页，2023年，2月20日，星期六思考若上题中不是按复利而是按单利计息，且各年的利率与上相同，求平均年利率。分析第1年末的应得利息为：第2年末的应得利息为：第12年末的应得利息为：…………设本金为V，则各年末应得利息为：第30页，共48页，2023年，2月20日，星期六则该笔本金12年应得的利息总和为：=V（0.03×4+0.05×2+……+0.15×1）

这里的利息率或本利率不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。因为假定本金为V第31页，共48页，2023年，2月20日，星期六所以，应采用加权算术平均数公式计算平均年利息率，即：解：（比较：按复利计息时的平均年利率为6.85﹪）第32页，共48页，2023年，2月20日，星期六指总体中出现次数最多的变量值，用表示,它不受极端数值的影响，用来说明总体中大多数单位所达到的一般水平。众数（四）众数第33页，共48页，2023年，2月20日，星期六日产量（件）工人人数（人）101112131470100380150100合计800【例A】已知某企业某日工人的日产量资料如下:众数的确定（对品质数列或单项数列）计算该企业该日全部工人日产量的众数。第34页，共48页，2023年，2月20日，星期六众数的确定（等距数列）【例B】某车间50名工人月产量的资料如下：月产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合计50—计算该车间工人月产量的众数。第35页，共48页，2023年，2月20日，星期六众数的不唯一性无众数

一个众数

多于一个众数

第36页，共48页，2023年，2月20日，星期六当数据分布存在明显的集中趋势，且有显著的极端值时，适合使用众数；众数的原理及应用当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，不适合使用众数（前者无众数，后者为双众数或多众数，也等于没有众数）。第37页，共48页，2023年，2月20日，星期六将总体各单位标志值按大小顺序排列后，指处于数列中间位置的标志值，用表示中位数（五）中位数第38页，共48页，2023年，2月20日，星期六中位数的位次为：即第3个单位的标志值就是中位数【例A】某售货小组5个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元，则中位数的确定（未分组资料）第39页，共48页，2023年，2月20日，星期六中位数的位次为：中位数应为第3和第4个单位标志值的算术平均数，即【例B】若上述售货小组为6个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元、760元，则中位数的确定（未分组资料）第40页，共48页，2023年，2月20日，星期六【例C】某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）10111213147010038015010070170550700800合计800—计算该企业该日全部工人日产量的中位数。中位数的位次：中位数的确定（单项数列）第41页，共48页，2023年，2月20日，星期六中位数的确定（组距数列）【例D】某车间50名工人月产量的资料如下：月产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合计50—计算该车间工人月产量的中位数。第42页，共48页，2023年，2月20日，星期六中位数的主要性质1.具有惟一性。同均值一样一组数据只有一个中位数。2.不受极端值影响。当一组数据出现极端值时它适于作为集中趋势的测度指标。第43页，共48页，2023年，2月20日，星期六(六)算术平均数和众数、中位数的关系右偏(正偏)时，算术平均数受极大值的影响，有：左偏(负偏)时，算术平均数受极小值的影响，有：对称钟型分布：非对称钟型分布：三者通常不等，其差别取决于偏斜的方向和程度。第44页，共48页，2023年，2月20日，星期六第45页，共48页，2023年，2月20日，星期六众数、中位数和均值的关系

(图示)左偏分布均值

<中位数<

众数对称分布

均值=中位数=

众数众数右偏分布

<中位数<均值第46页，共48