#【数学】第三章《空间向量与立体几何》测试(1)(新人教A版选修2-1)

第三章空间向量与立体几何一、选择题1.1.下列各组向量中不平行的是（A.——A.——a二(1,2,—2),b=(—2,—4,4)B.—►e=(1,0,0),d=(—3,0,0)C.——e=(2,3,0),f=(0,0,0)D.——g=(-2,3,5),C.——e=(2,3,0),f=(0,0,0)D.——g=(-2,3,5),h=(16,24,40)2.已知点A（—3,1,—4），则点A关于x轴对称的点的坐标为（ ）A.(—3,—1,4) b.(—3,-1,-4) C.(3,1,4)d.(3,-1,-4)3.r r.... .8若向量a=（1,九,2）,b=（2,—1,2），且a与b的夹角余弦为9，则九等于（）A.B.一2C.4.若a(1,—2,1),b(4,2,3),c(6,—1,4)，则4ABC的形状是()A.C.不等边锐角三角形 B.直角三角形钝角三角形D.等边三角形若a(x,5—x,2x—1),b(1,x+2,2—x)，当AB|取最小值时，x的值等于()19A.19A.C.7D.146.空间四边形OABC6.空间四边形OABC中，OB=OC兀/AOB二^AOC二一,3则cos<OA,BC>的值是(A.B.A.B.TC.D.0二、填空题1.若向量1.若向量a:(4,2,—4),b=(6,—3,2),则(2a—3b)#+2b)=2.3.2.3.已知向量a;(2,—1,3),b=(—4,2,X)，若a1b，则x:—►；若a//b则x=rrrrrrr若向量a=2i—j+k,b=4i+9j+k,,则这两个向量的位置关系是..已知向量a=mi+5了一k,b=3i+j+rk,若a//b则实数m=,r=TOC\o"1-5"\h\z> > >.若(a+3b)1(7a一5b)，且(a一4b)1(7万—5b)，则a与b的夹角为 19、….5、 ……5、.若A(0,2,—),B(1,-1,-),C(-2,1,-)是平面a内的三点，设平面a的法向量8 8 8a=(x,y,z),则x:y:z=。—► —►—>—►7.已知空间四边形OABC，点M,N分别为OA,BC的中点，且OA=万,OB=b,OC=c,—► —► —►用a,b,—表示MN，则MN=。8,已知正方体ABCD-ABCD的棱长是1,则直线DA与AC间的距离为1111 1空间向量与立体几何解答题精选(选修2--1)1・已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB//DC,/DAB=90。,PA1底面ABCD，且PA=AD=DC=-,2AB=1,M是PB的中点。(I)证明：面PAD1面PCD；(II)求AC与PB所成的角；(111)求面AMC与面BMC所成二面角的大小。证明：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,2).(I)证明：因AP=(0,0,1),DC=(0,1,0),故AP.DC=0,所以AP1DC.由题设知AD1DC,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC1面PAD.

又DC在面PCD上，故面PAD，面PCD.(II)解：因AC=(1,1,0),PB=(02-1),故IACI=<2,1PB吊、:昆AC•PB=2,所以TOC\o"1-5"\h\z“DdAC•PB<10cos<AC,PB>= = .IACI-IPBI5(III)解：在MC上取一点N(x,y,工)，则存在XeR,使N=XMC,1 16NC—(1—x,1—y,—z),MC—(1,0,——),「.x—1—X,y=1,z二一X..2 21 4要使AN1MC,只需AN^C―。即x--z—0,解得X—-.2 5可知当X-4时,乂点坐标为(Ll2),能使AN•MC=0.^5 ^5^512— 1 2..・ ■此时,AN=(-,1,-),BN=(-,—1,-),有BN•MC=055 5 5由AN•MC=0,BN•MC=0得AN1MC,BN1MC.所以NANS为所求二面角的平面角.30I30IANI=--,IBNI=

5学an/—-4.cos(AN,BN)cos(AN,BN)IANI•IBNI3—一一 2故所求的二面角为arccos(--).^32.如图，在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD1底面ABCD.(I)证明：AB1平面VAD；(11)求面VAD与面DB所成的二面角的大小.证明：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.(I)证明：不防设作A(1,0,0),1v3则B(1,1,0),V(-,0,^-),—— — 1 J3AB=(0,1,0),VA=(-,0,—二)2 2由AB•VA=0,得AB1VA，又AJD，因而AB与平面VAD内两条相交直线VA,

AD都垂直.AB±平面VAD.(II)解：设E为DV中点，则£(4°『,ea=(40一『,eb=(3』,一"dv=(20?由EB•DV=0,得EB±DV,又EA±DV.因此，ZAEB是所求二面角的平面角，cos(EA,EB)=EAEB=0IEAI-IEBI7解得所求二面角的大小为arccos三2173如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA±底面ABCD,AB=<3,BC=1,PA=2,E为PD的中点.(I)求直线AC与PB所成角的余弦值；(II)在侧面PAB内找一点N，使NE±面PAC,并求出点N到AB和AP的距离.解：(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则A,B,C,D,P,E的坐标为A(0,0,0).B(J3,0,0)、C(近1,0)、D(0,1,0)、 1P(0,0,2),E(0,-,1),从而AC=(；3,1,0),PB=(,'3,0,-2).cos0=AC.PBIACI-IPBI2v7143cos0=AC.PBIACI-IPBI2v7143/7・•・AC与PB所成角的余弦值为信(I)因为N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(羽0,z),则 1一NE=(-x,-,1-z)，由NE±面PAC可得，21NE-AP=0,NE-AP=0,■,[NE-AC=0./ 1r、…c、c(-%,-,1-z)-(0,0,2)=0,2 化简得41 L(-%,于1-z)•(V3,1,0)=0.z-1=0,_ 1 ••4-x'3xH—=0.2<3x=——6z=1即N点的坐标为(金,0,1),从而N点到AB和AP的距离分别为1,^36 64.如图所示的多面体是由底面为刖的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4,BC=2,CC=3,BE=1.1(I)求BF的长；(II)求点C到平面AECF的距离.1解：(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),B(2,4,0)A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C(0,4,3)设F(0,0,z).1・・•AECF为平行四边形，1.•・由AECF为平行四边形，1.•.由AF=EC得,(-2,0,z)=(-2,0,2),1・•・z=2.「.F(0,0,2).・•.EF=(-2,-4,2).于是IbF1=2%石，即BF的长为2%；6.(II)设n为平面AECF的法向量，显然〃’不垂直于平面ADF,故可设n=(x,y,1)1由4,AE=0,得n.AF=由4x=x=1,1y=——44y+1=0,「4—2x+2=0,

TOC\o"1-5"\h\z又CC=(0,0,3),设CC与n的夹角为a，贝U1 1 1CC•n 3 4*33cosa= i——= _= ICCI-InI 11 33i1 3x-1+——+116・,.C到平面AECF的距离为14v334<33d=ICCIcosa=3义 = .1 33 115.5.如图，在长方体ABCD—ABCD,中，1111AD=AA=1,AB=2，点E在棱AD上移1动.(1)证明：DE1AD；1 1(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD的距离；1兀(3)AE等于何值时，二面角D-EC-D的大小为了.1 4解：以D为坐标原点，直线DA,DC,DR分别为x,y,工轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A(1,0,1),D(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0)1 1(1)因为DA,DE=(1,0,1),(1,x,—1)=0,所以DA1DE.1 1 1 1(2)因为E为AB的中点，则E(1,1,0)，从而DE=(1,1,—1),AC=(-1,2,0),1. . n-AC=0,AD=(-1,0,1)，设平面ACD的法向量为n=(a,b,c)，则< 1 1 n•AD=0,i1「一a+2b=0 1a=2b也即| 八，得| ,从而n=(2,1,2),所以点E到平面ACD的距离为TOC\o"1-5"\h\z-a+c=0a=c 1I7IDE•nI2+1-2 1h=——1 = =一.InI3 3(3)设平面DEC的法向量n=(a,b,c),.•.CE=(1,x-2,0),DC=(0,2,-1),DD'=(0,0,1),1 1 1

b—c=0令b=1,c=2,a=2—x,a+b(x-2)=0.n=(2—x,1,2).兀依题意cos=兀依题意cos=4In•DDI a/21=nv12InI-IDdI2 ■■(x—2)2+51・•・x1=2+-v3(不合，舍去)，x2:2一、3.・•・AE:2一3时二面角％EC-D的大小为:.E为棱CC上异于C,C的一6.如图，在三棱柱ABC—ABC中，AB1侧面BBCC,点，EA1叫,已知AB=、立，BB「E为棱CC上异于C,C的一（I）异面直线AB与EB的距离;1（血二面角A-EB1-A1的平面角的正切值.解：（I）以B为原点，BB‘、BA分别为j,乙轴建立空间直角坐标系.1AiCi因为，AB=<2,BB=2,BC=1,/BCC=—AiCi1 1 3在三棱柱ABC—ABC中有111B(°,°,0),A(°。⑶BQ2。，C(jA),。奉XJ3设E(二,a,0)，由EA1EB,得EA•EB=0,即TOC\o"1-5"\h\z2 1 10=(————,—a,%：2)•(一———,2-a,0)^2 ^23 /c、c3=—+a(a—2)=a2—2a+—,4 4得(a— ——)=0,即a=—或a=3(舍去),故E(^-,—,0)2 2 2 22BE.EB=(且2,0).(—史・3.0)=—3+3=0,即BE1EB.122 22 44 1又AB1侧面BBCC，故AB1BE.因此BE是异面直线AB,EB的公垂线，

TOC\o"1-5"\h\z，31 _ _则1BE、4+4二1，故异面直线ab,EB1的距离为1.(ii)由已知有EA1EB,ba±EB,故二面角a—EB—a的平面角0的大小为向111 1 11量B1a1与EA的夹角.一，- - - 、:3 1—因BA=BA=(0,0,v2),EA=(——,-—,、2)11 2 2EA•BA21故cos0= =—=,IEAIIBAI”31c<2即tan0=士7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD1底面ABCD,E是AB7.1一点，PF1EC.已知PD=aCD=2,AE=-,求(I)异面直线PD与EC的距离；(II)二面角E-PC-D的大小.解：(I)以D为原点，DA、DC、DP分别为x,J,z轴建立空间直角坐标系.由已知可得D(0,0,0),P(0,0,<2),C(0,2,0)设A(x,0,0)(x>0),则B(x,2,0),TOC\o"1-5"\h\z一，1 1 厂、一二, 3〜E(x,,0),PE=(x,—,-i2),CE=(x,--,0).由PE1CE得PECE=0,2 2 23 3 31v3 3即x2-=0,故x=—.由DE-CE=(—,-,0)•(—,—,0)=0得DE1CE,^4 ^2 ^2^2 ^2 ^2又PD1DE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得IDEI=1,故异面直线PD,CE的距离为1.(II)作DG1PC，可设G(0,y,z).由DG•PC=0得(0,y,z>(0,2,-v2)=0即z=<2y,故可取DG=(0,1,%2),作EF1PC于F，设F(0,m,n),则EF=(-^3,m-2,n).3 1 一—一 .一由EF・PC=0得(--,m-—,n)・(0,2,-t2)=0,即2m-1-*2n=0^2 ^2

又由F在PC上得n=-^―m+"2,故m=1,n=上乙，EF=(一)』,—,^—).^2 ^2 ^2^2^2因EF1PC,dG1PC,故E-PC-D的平面角0的大小为向量EF与DG的夹角.第三章空间向量一、选择题b=-2ana//b;d=-3cnd//c;而零向量与任何向量都平行关于某轴对称，则某坐标不变，其余全部改变—► —►—►—►► —►►-►cos<a,cos<a,b>=6一九3、叫2+5=—,九二-2,或一9 55AB=(3,4,2),AC=(5,1,3),BC=(2,-3,1),AB^C>0，得A为锐角;CAaCB>0，得C为锐角；BA^C>0，得B为锐角；所以为锐角三角形AB虫1-x,2x-3,-3x+3),国=g-x)2+(2x-3)2+(-3x+3)2二<14x2-32x+19，当x6^0寸，AB1取最小值cos<OA,BC>=—OABCOA出OC-OB)_oa||bcOA||OCcos--OAOBcos<OA,BC>=—OABCOA出OC-OB)_oa||bcOA||OCcos--OAOBcos一OABC二、填空题.-2122a-3b=(-10,13,-14),a+2b=(16,-4,0