培养学生“数感”体会素养渗透 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选培养学生“数感”体会素养渗透摘要：探究数学复杂问题的求解方法，需挖掘题目已知条件和待求结论中的关键信息，特别注意对条件的解读和分析，结合图形中线段和角度的特殊关系，从而找到解题的突破口。并引导学生用数学的思想、方法去分析、理解、解决生活问题，通过实践活动增强学生对“数感”的体验。关键词：数感，关键条件，信息加工，转化，渗透随着大数据时代的到来，数据分析素养越来越被重视，《义务教育数学课程标准》提到的“数感”、“数据分析观念”，其实一定程度上也体现了数据分析素养。“数感”主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟，是人对数及其运算的一般理解和感受，这种理解和感受可以为人们用灵活的方法解决复杂的问题提供策略。要通过观察生活中具体、有趣的事物培养学生的数感，让学生用数学的眼光去观察、认识周围事物，用数学的概念与语言反映、描述社会和生活实践中的问题，结合生活中的具体实例去教学数学知识，让学生感觉数学就在身边，生活中充满了数学，从而能以积极的心态投入学习，体验数感。初中阶段培养学生“数感”的意识至关重要，但往往被教师和学生所忽视。经常出现这样的情况：在一个含30的直角三角形中，已知任意一条边时，学生都能顺利求解出其他两条边，但当已知一个直角三角形的两条直角边分别为1， 3时，学生却很难想到这是一个含30角的直角三角形；当一条直线的解析式为y=-x+5时，学生往往想不到这条直线与x轴、y轴所夹锐角均为45；当一道几何证明题出现类似AB+ 2CD时，学生往往不知道如何处理这里的 2。其实这些都是日常数学教学中渗透数感的好时机。下面就以一道中考数学试题的求解为例，谈谈如何依托数感进行巧妙关联，从而挖掘题目的本3 32质。问题：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=- 4 x + 2 x+23与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C,顶点为D,对称轴与x轴交于点Q。连接AC，BC，若点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，作PF⊥BC，垂足为F，过点B作BG∥AC交y轴于点G，点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH，HK。当△PEF的周长最大时，求3PH+KH+2KG的最小值及点H的坐标。图112022年安徽省中小学教育教学论文评选解析式的数据解读：观察二次函数解析式y=-3x2+3x+23，数据较为复杂，可能会给42学生心理产生一定影响，但其实仔细分析数据，二次项系数与一次项系数之间存在倍分关系，且常数项也与二者存在倍分关系，因此本题并不复杂，首先可求解二次函数中涉及的重要内容：与x轴、y轴交点坐标，对称轴及顶点坐标。令x=0，得y=2 3,所以C(0,2 3)。令y=0，得x1=-2，x2=4，9 3 9 3所以A(-2,0),B(4,0)。因此对称轴为x=1，将x=1代入函数解析式得y= 4 ,所以D(1, 4 )。关键条件的数据解读：本题涉及的数学知识点较多，看到图形后学生往往直观上感觉这道题很难，其实针对图形复杂的问题要注意逐步分解，自己可以在草稿本上重新画图，一步步添加题目所给的条件，每添加一个条件进行全面分析，这样有助于提炼问题的本质，而不至于受复杂图形或复杂文字表述所困扰。本题中点P，E，F是动点，且是有“从属关系”的动点，但点P一旦确定，E，F也随之确定。探究△PEF的周长最大，即PE+EF+PF最大，看似都在变化的三条线段其实是有关系的，因此解读这一条件的关键是抓住△PEF 的特征。⑴寻找与△PEF有关的已知三角形，因为点P，E，F都在动，所以一定要“跳出”这个三角形，向已知三角形“靠拢”，易知△PEF～△BCO。⑵△BCO的相关数据分析，注意到Rt△BCO中，OC=2 3,OB=4,所以BC=2 7,即△BCO是三边之比为 3：2：7的直角三角形，所以△PEF也是三边之比为 3：2： 7的直角三角形。⑶△PEF周长的转化，因为△PEF的三边之比为 3：2： 7，因此要使PE+EF+PF最大，只需PE最大即可，问题转化3为常见的线段长度最值问题。因为B(4,0),C(0,23),所以直线BC的解析式为y=-2x+23。因为)，点P在直线BC上方的抛物线上，点E在线段BC上，且PE∥y轴，所以设P(m,-3 2m+3m+2342则E(m,-3m+23)，故PE=-3 2m+3m=-43m2+3。所以当m=2时，△PEF周长24最大，此时点P的坐标为(2，23)。33待求结论的数据解读：本题结论是求PH+KH+2KG的最小值，分析数据，这里2KG能否巧妙转化是求解本题的突破口。如何出现一条线段的倍数？平时的经验积累表明：直角三角形中经常涉及三边长度之比为1：1： 2的等腰直角三角形，这就告诉我们，当出现某一线段的 2倍时，可以构造等腰直角三角形将其转化；同理，当出现三边长度之比为1：2： 3时，这是一个含30角的直角三角形，相反地，当出现某一线段的2倍或 3倍时，其实可以构造含30角的直角三角22022年安徽省中小学教育教学论文评选形将其转化。基于此，本题3KG的转化可以通过构造 30角的直角三角形来进行，考虑构造以KG2为斜边的直角三角形。对信息进行深度加工：如何构造以KG为斜边的直角三角形，且该三角形中含有3060的特殊角？分析点K，G的特征，注意到点G其实是已知的，而点K是y轴上的动点。可以先求解点G的坐标，点G是通过“过点B作BG∥AC与y轴相交”得到的，可先求直线AC的解析式为y= 3x+2 3,于是再设直线BG解析式为y= 3x+b,将点B(4,0)代入得b=-4 3,所以G(0，-4 3)。可注意 到Rt△BOG中，BO=4,OG=4 3,基于“数感”，∠OGB=30，这为构造以KG为斜边的含30角的直角三角形提供依据，不难想到过点G作BG的垂线l，因为K是y轴上的动点，通过作KM⊥l，得到所要构造的直角三角形KMG，这里3KG=KM，即将3KG转化为KM，从而PH+KH+3KG的最222小值转化为PH+HK+KM的最小值。至此，经过多角度、多层次的数据分析，将问题转化为常见的三条线段之和最小值问题。当△PEF周长最大时，点P坐标为(2，23)，H是对称轴上的动点，K是y轴上的动点，M是GN上的动点，且KM⊥l，因此只需过点P作PM⊥l，与对称轴交于点H，与y3轴交于点K，垂足为M，如图2，此时点H即为所求，PH+KH+ 2 KG的最小值即为线段PM的长。因为PM∥BG，直线BG解析式为y= 3x-4 3,所以设直线PM解析式为y= 3x+n，将点P(2，3)代入得n=0，所以直线PM解析式为y= 3将x=1代入得y= 3所以H(1, 3)。将x=0代入得y=0，所以点K与原点重合，PM=PO+OM=4+6=10。综上，当△PEF的周长最大3时，PH+KH+2KG的最小值为10，点H的坐标(1,3)。图2在初中数学课堂教学中，通过设计一些情境教学活动，让学生体验数学的价值和意义，继而确立应用数学的信心，这是形成良好数感的重要条件。鉴于此，教师应打破从概念到概念，从课堂到课堂的数学应用僵局，引导学生用数学的思想、方法去分析、理解、解决生活问题，通过实践活动增强学生对数感的体验。本题中关于“动点P，E，F组成的△PEF周长最大”的数感的渗透就是利用了数学中的转化思想：⑴把“动态的未知图形△PEF”向“静态的已知图形△BCO”转化；⑵借助△PEF～△BCO，将OC=23,OB=4,BC=27转化为Rt△PEF三边之比为3：2：7；⑶把“Rt△PEF周长最大问题”转化为“斜边PE最大问题”，从而找到问题的突破口。基于初中数学核心素养的教学要32022年安徽省中小学教育教学论文评选求，我们要把握内容的数学本质，创设合适的教学情境，提出相关的数学问题，让学生在掌握知识技能的同时积累数学活动经验，感悟数学思想方法，发展具有数学基本特征的思维品质和关键能力。 3

本题中对于“PH+KH+ 2 KG最小值”的处理就体现了数感的功能----巧妙转化。先是根据“在含30

角的直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半，较长直角边是较短直角边的 3倍”这一 3 3

数感，把 2 KG转化为线段KM，把“PH+KH+ 2 KG最小值”转化为“PH+HK+KM的最小值”问题，从而进一步转化为“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”这一数学本质。数感是学生应具备的一种基本数学素养，它是体现数学交流能力的一个方面。而数学交流能力就是要让学生“理解数学课本，进行数学的口头表达和数学报告”，让他们会“充分描述简单的数学事实，能识别和选择简单数学课本中的信息和数据，从而抓住问题的本质，找到解决问题的途径”。数感的建立是循序渐进的，是在学生学习过程中逐步体验和建立起来的。所以教师在数学教学过程中可