热力学统计物理

热力学统计物理第1页，共124页，2023年，2月20日，星期六8.1热力学量的统计表达式8.2弱简并理想玻色气体和费米气体8.3玻色－爱因斯坦凝聚8.4光子气体8.5金属中的自由电子气8.6白矮星第2页，共124页，2023年，2月20日，星期六第七章根据玻尔兹曼分布讨论了定域系统（固体）和满足经典极限条件的玻色和费米系统（气体）。经典极限条件也称非简并条件，可表达为：满足上述条件的气体称为非简并气体，无论由玻色子构成（玻色系统）还是费米子构成（费米系统），都可以用玻尔兹曼分布来处理；不满足上述条件的气体称为简并气体，需要分别用玻色分布和费米分布来处理。弱简并气体强简并气体若第3页，共124页，2023年，2月20日，星期六玻尔兹曼分布玻色分布费米分布定域系统和非简并气体由玻色子构成的简并气体由费米子构成的简并气体适用范围第4页，共124页，2023年，2月20日，星期六一、玻色系统8.1热力学量的统计表达式引入巨配分函数则系统平均总粒子数第5页，共124页，2023年，2月20日，星期六内能广义力（物态方程）对简单系统第6页，共124页，2023年，2月20日，星期六注意到是的函数，有

熵和α、β的确定：根据开系的热力学基本方程表明是的积分因子。第7页，共124页，2023年，2月20日，星期六所以

表明是的积分因子。第8页，共124页，2023年，2月20日，星期六

比较上两式，可得前面得到：积分得第9页，共124页，2023年，2月20日，星期六由玻色分布第10页，共124页，2023年，2月20日，星期六与（6.7.4）比较，可得玻耳兹曼关系：第11页，共124页，2023年，2月20日，星期六因为是（简单系统即）的函数，以为自然变量的特性函数是巨热力学势：巨热力学势第12页，共124页，2023年，2月20日，星期六则费米系统热力学量的统计表达式与玻色系统热力学量的统计表达式完全相同。二、费米系统引入费米系统的巨配分函数第13页，共124页，2023年，2月20日，星期六平均总分子数

总内能

广义力熵玻耳兹曼关系巨热力学势第14页，共124页，2023年，2月20日，星期六首先通过量子力学的理论计算，或者分析有关实验的光谱数据，获取热力学系统的能级表达式和能级简并度，由此计算配分函数，最后用热力学量的统计表达式通过配分函数计算热力学量，从而确定系统的全部平衡性质。三、量子统计物理学处理热力学系统的一般方法第15页，共124页，2023年，2月20日，星期六8.2弱简并理想玻色气体和费米气体弱简并气体：或虽小但不可忽略的玻色和费米气体。以下推导过程的公式中，上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体。并且不考虑分子的内部结构，即分子只有平动自由度，其能量表达为非简并条件或第16页，共124页，2023年，2月20日，星期六其中g是由于粒子可能具有自旋而引进的简并度。系统的内能为考虑到平动自由度的能级是连续的，求和可以用积分来近似，于是系统的总分子数为习题6－1第17页，共124页，2023年，2月20日，星期六在弱简并的情形下，较小，较小，可取级数的一级近似（零级近似相当于玻尔兹曼分布）：引入变量，将上两式改写为：

其中第18页，共124页，2023年，2月20日，星期六求积分由分部积分因为所以第19页，共124页，2023年，2月20日，星期六

可得第20页，共124页，2023年，2月20日，星期六第21页，共124页，2023年，2月20日，星期六

两式相除，再取近似其中由于较小，用零级近似，即玻尔兹曼分布的结果带入：第22页，共124页，2023年，2月20日，星期六

可得由非相对论粒子的性质（习题7.1）得物态方程第23页，共124页，2023年，2月20日，星期六

第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能和压强，第二项是由微观粒子全同性原理引起的量子统计关联所导致的附加内能和附加压强。费米气体的附加内能（压强）为正而玻色气体的附加内能为负。可以认为，量子统计关联使费米子间出现等效的排斥作用，玻色粒子间则出现等效的吸引作用。

总结：第24页，共124页，2023年，2月20日，星期六上节讨论了弱简并理想玻色（费米）气体的性质，初步看到由微观粒子全同性带来的量子统计关联对系统宏观性质的影响，在弱简并的情形下

8.3玻色－爱因斯坦凝聚(BEC)小，影响是微弱的。上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体第25页，共124页，2023年，2月20日，星期六由于玻色子的特性，当理想玻色气体满足时，玻色子将向基态能级转移，出现独特的玻色－爱因斯坦凝聚现象。

1924年印度物理学家玻色提出黑体辐射是光子理想气体的观点，他研究了“光子在各能级上的分布”问题，以不同于普朗克的方式推导出普朗克黑体辐射公式。他将这一结果寄给爱因斯坦。爱因斯坦意识到玻色工作的重要性，立即着手这一问题的研究。他于1924和1925年发表两篇文章，将玻色对光子的统计方法推广到某类原子，并预言当这类原子的温度足够低时，所有的原子就会突然聚集在一种尽可能低的能量状态，这就是我们所说的玻色－爱因斯坦凝聚。在很长一段时间里，没有任何物理系统被认为与玻色－爱因斯坦凝聚现象有关。1938年，伦敦提出低温下液氦的超流现象可能是氦原子玻色凝聚的体现，玻色－爱因斯坦凝聚才真正引起物理学界的重视。

第26页，共124页，2023年，2月20日，星期六以表示粒子的最低能级，则要求：由于，这就要求所有能级均有一、临界温度考虑由N个全同近独立玻色子组成的系统，假设粒子的自旋为0（g=1），温度为T，体积为V。据玻色分布，处在能级的粒子数为：第27页，共124页，2023年，2月20日，星期六即理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。若取最低能级为能量的零点，即，则

化学势μ由粒子数守恒公式确定：可知化学势μ为温度T及粒子数密度n的函数。由于和都与温度无关，因此若给定n，则温度T愈低，因为，要求越大。将上式的求和用积分代替，利用第28页，共124页，2023年，2月20日，星期六化学势随温度的降低而升高，当温度降至某一临界温度时，μ将趋于－0。这时趋于1。

则临界温度由下式给出：令第29页，共124页，2023年，2月20日，星期六求积分因为第30页，共124页，2023年，2月20日，星期六即时，。因此，对于给定的粒子数密度n，临界温度为：

利用第31页，共124页，2023年，2月20日，星期六对，例：第32页，共124页，2023年，2月20日，星期六温度低于时有何现象出现？前面的讨论指出，温度愈低时μ值愈高，但在任何温度下μ必取负值。由此可知，时，μ仍趋于－0，所以有

的粒子到哪去了呢？因为中含有项，所以上式的积分中没有的粒子的贡献。高温时粒子都处在激发态，可以不用考虑的粒子数密度但时，必须考虑的贡献。

二、玻色－爱因斯坦凝聚现象第33页，共124页，2023年，2月20日，星期六第一项是处在能级ε=0的粒子数密度在，μ趋于－0时，有第二项是处在激发态能级ε>0的粒子数密度其中第34页，共124页，2023年，2月20日，星期六利用可得若，温度为T时处在最低能级ε＝0的粒子数密度为：第35页，共124页，2023年，2月20日，星期六可见在TC以下n0与n具有相同的量级。以下是n0随温度的变化：第36页，共124页，2023年，2月20日，星期六在绝对零度以下粒子将尽可能占据能量最低的状态。对于玻色粒子，一个量子态所能容纳的粒子数目不受限制，因此绝对零度下玻色粒子将全部处在ε＝0的最低能级。但上式表明，在时就有宏观量级的粒子在能级ε＝0凝聚。这一现象称为玻色－爱因斯坦凝聚，简称玻色凝聚。为凝聚温度。凝聚在的粒子集合称为玻色凝聚体。凝聚体不但能量、动量为零，由于凝聚体的微观状态完全确定，熵也为零。凝聚体中粒子的动量既然为零，对压强没有贡献。第37页，共124页，2023年，2月20日，星期六在时，理想玻色气体的内能是处在能级ε>0的粒子能量的统计平均值：三、BEC系统的内能和热容量

定容热容第38页，共124页，2023年，2月20日，星期六上式指出，在时，理想玻色气体的与成正比，到时，达到极值：高温时应趋于经典值：随温度的变化如图：第39页，共124页，2023年，2月20日，星期六发生相变，称为相变。四、相变原子是玻色子，大气压下的沸点是4.2K。正常液态，称为HeⅠ。超流动性，称为HeⅡ.比较第40页，共124页，2023年，2月20日，星期六

满足上式时原子的热波长与原子平均间距具有相同的量级，量子统计关联起决定作用。理想玻色气体出现凝聚体的条件为：由此可见，可通过降低温度和增加气体粒子数密度的方法来实现玻色凝聚。80年代以来，激光冷却、激光陷阱和蒸发冷却技术有了突破性的进展，终于在1995年实现了碱金属，，蒸气的玻色－爱因斯坦凝聚。第41页，共124页，2023年，2月20日，星期六物质临界温度凝聚体原子数目（个）凝聚体原子密度碱金属蒸汽的玻色凝聚第42页，共124页，2023年，2月20日，星期六

玻色－爱因斯坦凝聚的实现有着十分重要的科学意义和潜在的应用价值。玻色－爱因斯坦凝聚体所具有的奇特性质，使它不仅对基础研究有重要意义，而且在芯片技术、精密测量和纳米技术等领域都让人看到了非常美好的应用前景。凝聚体中的原子几乎不动，可以用来设计精确度更高的原子钟，以应用于太空航行和精确定位等。凝聚体具有很好相干性，可以用于研制高精度的原子干涉仪，测量各种势场，测量重力场加速度和加速度的变化等。原子激光也可能用于集成电路的制造，大大提高集成电路的密度，因此将大大提高电脑芯片的运算速度。凝聚体还被建议用于量子信息的处理，为量子计算机的研究提供另外一种选择。第43页，共124页，2023年，2月20日，星期六1995年6月，维曼和康奈尔的研究组在铷（87Rb）原子蒸气中第一次直接观测到玻色－爱因斯坦凝聚。几个月后，麻省理工学院的沃尔夫冈·克特勒研究组在钠（23Na）原子蒸气中实现了玻色－爱因斯坦凝聚。此后，这个领域经历了爆发性的发展。目前世界上已有近30个研究组在稀薄原子气中实现了玻色－爱因斯坦凝聚。

瑞典皇家科学院2001年10月9日宣布，将2001年诺贝尔物理学奖联合授予美国科学家埃里克·康奈尔、卡尔·维曼和德国科学家沃尔夫冈·克特勒。

第44页，共124页，2023年，2月20日，星期六1、受热物体或空窖可以辐射电磁波。辐射能量密度和能量密度随频率的依赖关系与温度及辐射体的性质有关。8.4光子气体一、辐射场的一般热力学性质2、如果辐射体对电磁波的吸收和辐射达到平衡，则辐射能量密度和能量密度随频率的依赖关系将只取决于温度，与辐射体的其它性质无关，称为平衡辐射。空窖内的辐射就是平衡辐射。平衡辐射能量密度是各向同性的、非偏振的和均匀的。黑体辐射=空窖辐射=平衡辐射第45页，共124页，2023年，2月20日，星期六辐射能量密度

辐射压强

辐射场的熵

辐射通量密度（斯特藩——玻耳兹曼定律）3、平衡辐射场（空窖辐射）的热力学结果辐射场的吉布斯函数第46页，共124页，2023年，2月20日，星期六辐射场可以分解为无穷多个单色平面波的叠加。具有一定圆频率、波矢量和偏振的单色平面波可以看作辐射场的一个振动自由度，根据能均分定理，一个振动自由度具有平均能量。在体积内，在的圆频率范围内，辐射场的振动自由度数为（由驻波条件）：

二、用统计物理方法处理辐射场1、用经典统计从波动观点处理辐射场所以在体积V内，在范围内平衡辐射的内能为第47页，共124页，2023年，2月20日，星期六瑞利－金斯公式

结论：在低频范围与实验结果符合，但在高频范围与实验结果不符；在有限温度下平衡辐射场的内能和定容热容量均发散。或第48页，共124页，2023年，2月20日，星期六具有一定波矢量和圆频率的单色平面波与具有一定动量和一定能量的光子相对应。它们之间服从德布罗意关系2、用量子统计理论从粒子观点处理辐射场可得光子的能量动量关系（1）光子气体模型：或第49页，共124页，2023年，2月20日，星期六将空窖内的电磁辐射看成一个光子气体系统。由于不同频率的电磁波之间是线性无关，相互独立的，所以光子与光子之间不存在相互作用（近独立）；又光子的自旋量子数为1，所以光子气体可以看成理想玻色气体。光子气体的平衡是通过窖壁不断发射和吸收光子达到的，所以光子气体系统的光子数不守恒。在导出玻色分布时，只有能量守恒的条件，只引入一个拉氏乘子，所以光子气体的统计分布为：因为意味着平衡状态下光子气体的化学势为零。第50页，共124页，2023年，2月20日，星期六在体积为的辐射场内，在到的频率范围内，光子可能的量子状态数，因为光子自旋量子数为1，自旋在动量方向的投影可取两个可能值，相当于左右圆偏振。所以在体积为的辐射场内，在到的动量范围内，光子可能的量子状态数：（2）普朗克公式由第51页，共124页，2023年，2月20日，星期六因此在上述范围内辐射场的内能为则在体积为的辐射场内，在到的频率范围内的光子数为即辐射场内能按频率的分布，与实验结果完全相符，如图。普朗克公式第52页，共124页，2023年，2月20日，星期六普朗克公式（辐射场内能按频率的分布）：第53页，共124页，2023年，2月20日，星期六当时，，考虑低频近似：瑞利－金斯公式的一级近似。第54页，共124页，2023年，2月20日，星期六当时，，考虑近似高频近似：维恩公式第55页，共124页，2023年，2月20日，星期六辐射场的内能其中用到积分第56页，共124页，2023年，2月20日，星期六即斯特藩—玻耳兹曼定律，其中斯特藩常量：由第57页，共124页，2023年，2月20日，星期六根据普朗克公式，内能随频率的分布有一个极大值，与该极大值对应的频率用来表示，（3）维恩位移定律解最后的超越方程，得令取极大的x满足：第58页，共124页，2023年，2月20日，星期六求的解：第59页，共124页，2023年，2月20日，星期六因为使辐射场的内能密度取极大的是一定的，即与温度成正比，称为维恩位移定律。第60页，共124页，2023年，2月20日，星期六用波长表示的普朗克公式：利用习题8－8第61页，共124页，2023年，2月20日，星期六第62页，共124页，2023年，2月20日，星期六使取极大的波长由下式确定：令第63页，共124页，2023年，2月20日，星期六解最后的超越方程，两条曲线相交点在习题8－9第64页，共124页，2023年，2月20日，星期六第65页，共124页，2023年，2月20日，星期六太阳人体宇宙微波背景辐射第66页，共124页，2023年，2月20日，星期六光子气体的巨配分函数引入变量（4）通过配分函数求光子气体的热力学函数上式可以表示为其中第67页，共124页，2023年，2月20日，星期六应用分步积分：于是配分函数为因为积分第68页，共124页，2023年，2月20日，星期六光子气体的内能光子气体的压强比较这两个式子可以得斯特藩——玻耳兹曼定律第69页，共124页，2023年，2月20日，星期六光子气体的熵

光子气体的热容量由此可知，光子气体的熵随温度而趋于零，符合热力学第三定律的要求，同时熵也满足广延量的要求。第70页，共124页，2023年，2月20日，星期六由于具有一定圆频率、波矢和偏振的平面波与具有一定能量、动量和自旋投影的光子状态相应，当辐射场某一平面波处在量子数为n的状态时，相当于存在相应的圆频率、波矢和偏振相同的n个光子。玻色分布给出在温度为T的平衡状态下n的平均值3、关于用经典统计处理辐射场所得结论的解释首先从波动观点来理解普朗克公式的物理图像。根据量子理论，一个振动自由度(一个平面波)的能量可能值为：第71页，共124页，2023年，2月20日，星期六从粒子观点看，是平均光子数。从波动观点看，是量子数n的平均值。这样波动和粒子的图像便统一起来了。对于的低频自由度，其能量可看作是准连续的，经典统计关于一个振动自由度具有平均能量kT的结论是适用的。反之满足的高频自由度则被冻结在n＝0的基态（无法从热运动中吸收能量）。这样经典统计研究平衡辐射问题出现的困难便得到解决。第72页，共124页，2023年，2月20日，星期六1、通过维恩位移定律由辐射体的颜色定性判断辐射体的温度相对高低。三、应用人眼观测辐射体时，只能感受辐射能量密度较强的频段。根据维恩位移定律，辐射体温度与峰值频率成正比，因此，辐射体温度越高，峰值频率值越大，表观上呈蓝或紫色。反之，辐射体温度越低，峰值频率越小，表观上呈红色。第73页，共124页，2023年，2月20日，星期六第74页，共124页，2023年，2月20日，星期六第75页，共124页，2023年，2月20日，星期六光谱型恒星表面温度恒星颜色O40000～25000K蓝色星B25000～12000K蓝白色星A11500～7700K白色星F7600～6100K黄白色星G6000～5000K黄色星K4900～3700K红橙色星M3600～2600K红色星恒星光谱分类第76页，共124页，2023年，2月20日，星期六大爆炸宇宙学：宇宙诞生于一次大爆炸，从高温、高密度状态开始膨胀，温度和密度不断下降，最终演化为今天的宇宙。2、宇宙微波背景辐射大爆炸宇宙学的三个观测证据：（1）一切化学元素的年龄都是有限的，都不大于150亿年；（2）氦平均丰度：观测发现在不同天体上，氢含量和氦含量之比近似相同，质量之比为3：1。根据宇宙膨胀速度和热辐射温度的测量，计算出宇宙早期产生的氦丰度恰好是30%。第77页，共124页，2023年，2月20日，星期六早期宇宙是由高温辐射（高能光子）、夸克与基本粒子（质子、中子、电子、中微子）组成的“羹汤”。（3）宇宙微波背景辐射；大爆炸后的宇宙逐渐冷却，现在温度为绝对温度2.7K，宇宙微波背景辐射就是大爆炸的“余温”，它均匀分布在整个宇宙空间中。

第78页，共124页，2023年，2月20日，星期六本节以金属中的自由电子气体为例，讨论强简并情形下（）费米气体的特点。8.5金属中的自由电子气体在金属中，一些活泼元素最外层价电子摆脱了原子核的束缚在金属中运动，称为公有电子。这些公有电子受到离子和其它电子的库仑作用，在初步近似下可以认为这些相互作用相互抵消，只有在金属表面由于没有外界离子的引力来抵消内部离子的作用，所以电子在金属内部离子的吸引下而被束缚在里面。因此可以把这些公有电子看作是封闭在金属内部的自由粒子，称之为自由电子气体。自由电子气体模型第79页，共124页，2023年，2月20日，星期六金属的高导电率和高热导率说明金属中自由电子的存在。但如果将经典统计的能均分定理应用于自由电子，一个自由电子对金属热容量将有的贡献，这是与实际不符的。实验发现，除在极低温度情况外，金属中自由电子的热容量与离子振动的热容量相比较可以忽略。1928年索末菲根据费米分布成功地解决了这个问题。经典统计理论在处理金属中自由电子的热容量时碰到的困难：第80页，共124页，2023年，2月20日，星期六将电子质量和其它物理常数带入计算出：一、金属中自由电子气体是强简并的以铜为例，在常温下，其密度为，铜的原子量为63，假设一个铜原子贡献一个自由电子，则有

说明在常温下金属中的自由电子形成强简并的费米气体，其它金属情况也相似。第81页，共124页，2023年，2月20日，星期六二、温度T=0情况下费米系统的性质考虑到电子自旋在动量方向有两个可能值，故在体积V内，能量范围内，电子可能的微观状态数（习题6.1（非相对论情形）），即简并度为：1、T=0情况下的费米分布及费米能级根据费米分布，温度为T时处在能量为的一个量子态上的平均电子数为：第82页，共124页，2023年，2月20日，星期六于是在体积V内，能量范围内，平均电子数为：在给定电子数N、温度Ｔ和体积V时，化学势由下面的守恒条件确定：所以化学势是温度T和电子数密度n的函数。第83页，共124页，2023年，2月20日，星期六若以表示温度T=0K时的化学势，由可知T＝0K时费米气体的分布为：在时，在的每一个量子态上平均电子数为1，在的每一个量子态上平均电子数为零。这是由于在0k时电子将尽可能占据能量最低的状态，但泡利不相容原理限制每一个量子态最多只能容纳一个电子，因此电子从状态起依次填充到止。第84页，共124页，2023年，2月20日，星期六是0K时电子的最大能量，称作费米能级。解出费米能级定义费米动量定义费米速度由T＝0K时的守恒条件定义费米温度第85页，共124页，2023年，2月20日，星期六利用前面铜的数据，计算铜的费米能级、费米动量、费米速度及费米温度：在通常所考虑的温度下第86页，共124页，2023年，2月20日，星期六T＝0K时电子气体的内能：所以0K时电子气体的平均内能为0K时电子气体的压强为

电子气体的压强常称为简并压强，这是一种与热运动无关的压强，为费米系统所特有。第87页，共124页，2023年，2月20日，星期六

这是一个极大的数值。它是泡利不相容原理和电子气体具有高密度的结果。这巨大的简并压在金属中被电子与离子的静电吸力所补偿，在白矮星中则被强大的引力所补偿。利用前面铜的数据，计算铜的电子气体压强：第88页，共124页，2023年，2月20日，星期六元素电子密度简并条件费米能量费米温度费米压强LiNaKRbCsCu6800AgAu第89页，共124页，2023年，2月20日，星期六

理想玻色气体在绝对零度下的能量、动量、速度、压强和熵为零。

理想费米气体在绝对零度下的费米能量、费米动量、费米速度和费米压强均不为零，只有熵为零。2、绝对零度下理想费米气体和玻色气体性质的比较第90页，共124页，2023年，2月20日，星期六三、温度T>0情况下费米系统的性质1、T>0情况下费米分布及热容量由注意到函数按指数规律随变化，实际上只在附近数量级为的范围内，电子的分布与0K时分布有差异。第91页，共124页，2023年，2月20日，星期六在绝对零度时电子占据了从０到的每一个量子态，温度升高时由于热激发，电子可能跃迁到能量较高的未被占据的状态去。但是处在低能态的电子要跃迁到没有被占据的状态，必须吸收很大的热运动能量，这是极小可能的。所以绝大多数状态的占据情况实际上并不改变，只是在附近数量级为的能量范围内占据情况发生改变。这种分布的性质可以解释为：在的情况下，电子气体的分布与绝对零度时的分布差异不大，与非常接近，有第92页，共124页，2023年，2月20日，星期六可见温度T越高，化学势越小。第93页，共124页，2023年，2月20日，星期六在，即的情形下恒有因此费米气体的强简并条件等价于

。由此可见，只有能量在

附近，数量级为范围内的电子对热容量有贡献。由此可以粗略估计电子气体的热容量。以

表示能量在附近范围内对热容量有贡献的有效电子数第94页，共124页，2023年，2月20日，星期六将能均分定理用于有效电子，每一个有效电子对热容量的贡献为在室温范围，对于铜：与离子振动的热容量相比，电子的热容量可以忽略不计。那么金属中自由电子对热容量的贡献为第95页，共124页，2023年，2月20日，星期六2、自由电子气体的热容量定量计算总电子数总内能

由此可确定出化学势。上述积分可化为：其中第96页，共124页，2023年，2月20日，星期六令则第97页，共124页，2023年，2月20日，星期六因为第98页，共124页，2023年，2月20日，星期六第99页，共124页，2023年，2月20日，星期六解出第100页，共124页，2023年，2月20日，星期六

由在常温范围电子的热容量远小于离子振动的热容量，但在低温范围，离子振动的热熔量按随温度而减少（9.7）；电子热容量与T成正比，减少比较缓慢。所以，在足够低的温度下电子热容量将大于离子振动的热容量而成为对金属热容量的主要贡献。得电子气体的定容热容量为第101页，共124页，2023年，2月20日，星期六理论上将金属的公有电子近似看作在金属内部作自由运动的近独立粒子。由于离子在空间排列的周期性，离子在金属中产生一个周期性势场，实际上电子在这周期场中运动，离子的热振动对电子的运动也产生影响，电子之间又存在着库仑相互作用。更深入的描述金属中电子的运动相当复杂。我们只对电子间库仑作用的影响作一个粗略地介绍。

计及电子和离子振动的热容量，低温下金属的热容量可以表示为3、计及电子和离子振动的金属热容量第102页，共124页，2023年，2月20日，星期六第103页，共124页，2023年，2月20日，星期六为了分析电子间库仑作用的影响，我们将金属中的正离子用均匀的正电荷背景代替，以保持金属的电中性。由于每一个电子都要排斥其他电子，在每一个电子周围将出现等效的正电荷，对于电子产生屏蔽作用，使电子间的库仑长程作用力变为短程的屏蔽作用力。因此可以将电子近似看作近独立粒子，遵守费米分布。不过这时所说的电子已经不是通常意义下的裸电子，而是为正电荷云围绕的一种准粒子，简称准电子。准电子与电子存在一一对应关系。不过它的质量不再是裸电子的质量而是有效质量。周期场和离子振动对电子运动的影响也可以归结为改变电子的质量。与电子质量成正比，将质量改正为考虑上述各种影响后的有效质量，可以解释和的差异。第104页，共124页，2023年，2月20日，星期六宇宙中的恒星要经历早年期、中年期和老年期三个阶段。中年期的恒星，其内部进行着氢聚变成氦的热核反应。热核反应所产生的向外辐射压力与恒星向内的引力相抗衡，使恒星处于一个相对稳定的阶段，比如今天的太阳就处在这样一个时期，但是这种稳定只是相对的，一旦核聚变结束，那么恒星便开始衰亡。8.6白矮星、中子星和黑洞

恒星演化晚期因能源耗尽而引力坍缩从而形成高密度天体，主要有白矮星、中子星和黑洞三类。一、恒星演化的一般规律第105页，共124页，2023年，2月20日，星期六第106页，共124页，2023年，2月20日，星期六大质量恒星的一生第107页，共124页，2023年，2月20日，星期六小质量恒星的一生第108页，共124页，2023年，2月20日，星期六由于恒星核心的温度要比外层高得多，核心的氢首先燃烧完形成氦的核心，氦核不断扩大，当质量扩大到整个恒星质量的10%～15%时，靠氢聚变成氦所产生的辐射压力已抵挡不住引力，于是氦核在引力作用下开始塌缩，形成高密度的致密星体，星体的不同质量范围将形成白矮星、中子星和黑洞。它们是恒星演化末期的不同结局。第109页，共124页，2023年，2月20日，星期六下面是白矮星的一组典型数据质量：二、白矮星在巨大的引力作用下，恒星密度急剧上升，温度很高，远远大于氦原子电离所需要的能量，因此实际上全部氦是以完全电离的状态存在的，由于密度极高，电子气体的费米能量非常大：第110页，共124页，2023年，2月20日，星期六将白矮星看作是含有N个电子和N/2个氦核的系统。以表示电子的质量，表示质子（中子）的质量，白矮星的质量为电子的密度电子的费米能量电子的费米温度第111页，共124页，2023年，2月20日，星期六由于电子的费米温度远远高于白矮星的温度。因此白矮星上的电子气体是高度简并的，可以近似看作处在绝对零度的理想费米气体。白矮星的力学模型

白矮星的质量和维系星体的引力主要来自氦核。在氦核的背景上存在高度简并的电子气体，白矮星的存在是电子气体的简并压和引力达到平衡的结果。忽略氦核产生的压强和星体辐射的能量损失，我们分别讨论非相对论情形和相对论情形。第112页，共124页，2023年，2月20日，星期六如果把白矮星上的电子气体看作非相对论性的，则电子气体的简并压为：