特征值与特征向量二次型

特征值与特征向量二次型第1页，共18页，2023年，2月20日，星期六特征值定义相似求法实对称阵隐含的信息性质特征值定义特征多项式特征向量不同特征值的特征向量线性无关k重特征值至多有k个线性无关的特征向量概念矩阵对角化应用第2页，共18页，2023年，2月20日，星期六显然，如果矩阵A可逆，则A的特征值不等于0.一、特征值与特征向量第3页，共18页，2023年，2月20日，星期六4.对角阵5.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．第4页，共18页，2023年，2月20日，星期六一、矩阵的相似3、

若阶方阵A与对角阵相似，第5页，共18页，2023年，2月20日，星期六三、方阵对角化3、如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似．4、如果A的特征方程有r重根λ，而λ没有r个线性无关的特征向量，则矩阵A不能对角化.5、实对称阵一定能对角化.第6页，共18页，2023年，2月20日，星期六一、正交矩阵定义14、A为正交矩阵的充要条件是A的行、列向量组都是两两正交的单位向量．第7页，共18页，2023年，2月20日，星期六二、向量的内积定义1内积定义2正交正交向量组：非零向量组中的向量两两正交。第8页，共18页，2023年，2月20日，星期六（1）正交化，取，三、Schmidt正交化规范化过程第9页，共18页，2023年，2月20日，星期六（2）单位化，取施密特正交化过程第10页，共18页，2023年，2月20日，星期六（2）n阶实对称矩阵有n个线性无关的特征向量.四、实对称矩阵隐含的信息（3）实对称矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交.（4）n阶实对称矩阵有n个两两正交的单位特征向量.（5）对于n阶实对称矩阵A，一定有正交阵T，对角阵D，使得其中对角阵D对角线上的元素是T的各列所对应的特征值。第11页，共18页，2023年，2月20日，星期六

根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.构造正交阵T.5.第12页，共18页，2023年，2月20日，星期六二次型与它的矩阵是一一对应的．n元二次型

A与B合同：，其中C可逆。A与B合同.二次型X´AX可经非退化线性替换化为二次型Y´BY定理第13页，共18页，2023年，2月20日，星期六

正交变换法化二次型为标准形第一步写出f的矩阵A第二步求A的特征值第三步并将属于λi的特征向量正交化第四步将特征向量单位化第五步得到正交变换X=TY第14页，共18页，2023年，2月20日，星期六定义正定二次型第15页，共18页，2023年，2月20日，星期六正定性的相关结论1)实二次型正定

3）非退化线性替换不改变二次型的正定性.

秩＝n＝（的正惯性指数）.2）(定理2)

n元实二次型

正定规范形为4）正定二次型的标准形为

等价描述：实对称矩阵A正定

A与单位矩阵E合同.第16页，共18页，2023年，2月20日，星期六5）实二次型X´AX正定的充分必要条件是实对称阵A的特征值都是正数。6）正定矩阵A的行列式大于0.7）

二次型

是正定的充分必要条件是实对称矩阵的各阶顺序主子式都大于0。8）

二次型

是负定的充分必要条件是实对称矩阵