水文随机分析五六章

水文随机分析五六章第1页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/221水文水资源学院第一节:单因素方差分析（引例）某农科所为了比较四种不同的肥料对农作物产量的影响，进行了下面试验。他们选择采用一块肥沃程度比较均匀的土地，分成十六块。为了减少土地肥沃程度的影响，作了以上试验安排：A1表示第一种肥料A3表示第三种肥料A2表示第二种肥料A4表示第四种肥料第2页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/222水文水资源学院每种肥均施在由上到下不同层次的土地中，并可得出16块土地农作物产量通过上表，来推断不同肥料对农作物产量有无影响？如果影响显著，施哪一种肥料产量最高，即哪一种肥料最好？第3页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/223水文水资源学院在统计学中，考虑因素称为因子，因子不同状态称为水平，上例中一个因子是肥料，有四个不同水平，A1，A2，A3，A4

。由上表又可知，肥料不同可能产生产量不同。因此，施用不同肥料所得产量不可以当作来自同一总体的样本，而应看作4个不同总体.抽取的样本长度为4的样本。通常假定这里要求假定方差相等，即方差齐性，那么要知道四种不同肥料对农作物产量的影响有无显著差别,这个问题可归结为作检验：第4页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/224水文水资源学院12r总体参数结果因子一、数学模型①将作分解②求第5页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/225水文水资源学院其中反映了水平对试验结果的影响，称作水平的主效应，总结方差分析模型如下：其中,第6页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/226水文水资源学院二、与估计三、统计检验第7页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/227水文水资源学院当固定时，当A不同水平引起变化显著，则较大，此时则较少，反之当A不同水平引起变化不显著时不大时这些就大。因此，可以通过比较与大小来检验不同水平引起的差异是否显著，记当成立时这就是方差分析一般步骤。第8页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/228水文水资源学院第9页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/229水文水资源学院第二节:多因素方差分析（双因素方差分析）一、模型第一节仅考虑一个因子即肥料，在实际中，常考虑多个因子影响问题，故需涉及多因素方差分析，下面仅以2个因素方差分析设两个因子共有假设对不同水平组合独立同分布（这是假定）第10页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2210水文水资源学院记：则有模型：第11页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2211水文水资源学院需解决问题①参数估计②假设检验：第12页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2212水文水资源学院二、参数估计可以证明都是无偏估计Z：统计检验总方差第13页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2213水文水资源学院A因子组间差

B因子组间差

AB联合因子当H01成立当H10成立当H11成立当拒绝原假设定义。第14页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2214水文水资源学院例子纤维弹性大小ABA10A24A38A412B146071，7373，7576，7375，73B252072，7376，7479，7773，72B358075，7378，7774，7570，71B464077，7574，7474，7369，69解：这里拉升倍数收缩率第15页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2215水文水资源学院由表中可知，收缩率A，收缩率A与拉伸倍数B的交互作用非常明显，而拉伸倍数本身对合成纤维的弹性影响并不显著，因此应重点考虑收缩率A,及其收缩率A与拉伸倍数B配合以便产品质量最优。当然，实际方差分析时应增大n值，以便使得结果更具说明力。第16页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2216水文水资源学院第六章聚类分析聚类标准系统聚类法第17页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2217水文水资源学院在实际工作中，常会碰到分类问题，如一批产品要分成一级品、二级品等。在地质勘探中也要对岩石样本进行分类，对一些水质取样样品，常常也需要作分类，另还可能要对水质评价指数作分类等等。以前一般是靠经验和专业知识实现分类。目前比较严格数学分析方法就是聚类分析。第18页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2218水文水资源学院第一节聚类标准在分类学中，通常把某种性质相近的东西归一类，而把性质不相近或差异较大的东西不归为同一类。给定一些指标或样品，我们要从数学上对它们分类，我们希望很相似指标或样品归为一类。通常可用距离或相似系数来表示。一、距离设指标个数m，有n个样品，xij为实数，我们可以定义距离，满足以下三条性质：第19页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2219水文水资源学院①非负值②对称性③三角形性质∴dij可以作为度量样品之间相似程度的一种度量，dij愈小，愈相似.

常见距离①绝对值距离当样品指标仅为1，此时距离，这是我们日常生活中常见距离概念。以上公式只是由一维扩展到m维状况而已。第20页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2220水文水资源学院②欧氏距离dij(2)③明考夫斯基距离（q为常数）④契比雪夫距离一般对样品作聚类分析时使用上述距离作为是否相似的指标，使用较多的常见绝对值距离。第21页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2221水文水资源学院二、相似系数（研究m个不同指标聚类分析时用到）设有m个指标（变量），x1,x2,…,xm，根据这m个指标采集到的n个样本仍记为要考察xi，xj之间相似程度，可定义Cij指标；Cij满足以下三个条件：①②③这样越接近于1，说明之间关系越密切。第22页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2222水文水资源学院常用定量指标Cij(2)事实上就是指标xi，xj在n个样品下相关系数根据相关系数定义（含义），相关系数是反映两个变量线性相关程度大小的一种变量，所以Cij(2)可以用来反映两种指标密切程度的一个量。第23页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2223水文水资源学院第二节:系统聚类法一、样品分类最常用的一种聚类分析方法，其基本思想是先将样品各成一类，然后定义类与类之间距离，将距离最短的两类合并成一个新类，再计算新类与其余类之间的距离，将距离最短的两类再合为一个新类，如此下去直到合并为一个大类为止。一般步骤：（1）计算样品两两之间的距离dij，记D(0)=(dij)；（2）将每一个样本各成一类；（3）将距离最小的两类合并与一新类；第24页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2224水文水资源学院（4）计算新类与当前各类距离，若类的个数等于1，转到第5步，否则回到（3）；（5）画聚类图；（6）决定类的个数及类。注意：样品之间两两距离可用第一节介绍方法，如绝对值距离、欧氏距离等，但类与类之间距离有以下多种方法。第25页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2225水文水资源学院①最短距离法

dij表示样品之间的距离，设G1，G2…表示类Gs与类Gt之间距离用Dst表示（注意Gs,Gt可能分别由若干个样品组成）最短距离法定义类之间距离为Dst=min(dij)表示Dst是代表两类中样品之间距离最近值。②最长距离法与上述相反Dst=max(dij)第26页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2226水文水资源学院设有6个样品，为了简单起见，每个样品仅一个指标。把六个样品仅用6个数字表示：1，2，5，7，9，10，试用最短距离法进行分类；样品之间距离dij采用绝对值距离。①首先计算D(0)（按步骤来）对称的矩阵数G写出一下三角阵即可。②把每个样品当作一类G1，G2，…，G6第27页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2227水文水资源学院③考察哪两个类距离最小，{G1,G2}，{G5,G6}，dij都是1。记新类G7={G1,G2}，G8={G5,G6}④这样新类与其他类有四个：G3，G4，G7，G8。由于还是有4类，回到（3），仍要计算类与类之间距离。

G7G3G4G8D73=min(dij)=3D78=7第28页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2228水文水资源学院这样可知{G3,G4}{G4,G8}类与类之间最短组成新类G9

={G3,G4}G10={G4,G8}G9={G3,G4,G8}={G3,G4,G5,G6}组成新类G9与其余类G7；计算新矩阵D(2)G7G9

此时改变最小类距离为3，组成新类G10={G7,G9}={G1,G2,……,G6}

这时已没有其余类，仅此一类，故聚类第4步结束，进入第五步。第29页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2229水文水资源学院根据聚类分析，其6个样品分成：两类：①{G1,G2}②{G3,G4,G5,G6}四类：①{G1,G2}②G3

③G4

④{G5,G6}下面考虑用最长距离法聚类即考虑Dst=max{dij}

①D(0)与上述一样第30页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2230水文水资源学院②G1G2…,G6③考虑距离最近两类合并成一类G7=(G1,G2)

G8=(G5,G6)与第一种情况一致④计算新类G7G8G3G4类距离（用最长距离法）G7G8G3G4G73=max(dij)第31页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2231水文水资源学院此时选距离最小2,即{G3，G4}合并成一个新类记G9={G3,G4}，与其余类在一起计算距离。

G7G8G9此时最小距离为5，即G10={G8,G9}合并成类。

G10={G3,G4,G5,G6}与其分类G7={G1,G2}计算距离

G7G10合并成类仅一个结束第32页，共38页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2232水文水资源学院此时分类与最短距离相近分成两类①{G1,G2}②{G3,G4,G5,G6}分成三类①{G1,G2}②{G3,G4}③{G5,G6}分成四类①{G1,G2}②G3

③G4④{G5,G6}表示新类与类之间距离计算方法还有重心法、类平均法、