有限单元法基础

有限单元法基础第1页，共14页，2023年，2月20日，星期六2．单元特性分析

1)选择位移模式在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量称为位移法；选择节点力作为基本未知量称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以在有限单元法中位移法应用范围最广。当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元中的一些物理量如位移、应变和应力等由节点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。通常，有限元法中我们就将位移表示为坐标变量的简单函数。这种函数称为位移模式或位移函数，如ψi

，其中αi是待定系数，ψi是与坐标有关的某种函数。第2页，共14页，2023年，2月20日，星期六

2)分析单元的力学性质根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。

3)计算等效节点力物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边界传速到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到节点上去，也就是用等效的节点力来替代所有作用在单元上的力。第3页，共14页，2023年，2月20日，星期六

3．单元组集利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新联接起来，形成整体的有限元方程

kδ=f(2—1)式中，k是整体结构的刚度矩阵；δ是节点位移列阵；f是载荷列阵。

4．求解未知节点位移解有限元方程式(2—1)得出位移。这里，可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。通过上述分析，可以看出，有限单元法的基本思想是“一分一合”，分是为了进行单元分析，合则是为了对整体结构进行综合分析。第4页，共14页，2023年，2月20日，星期六2.2结构静力分析的有限单元法

2.2.1单元特性的导出方法进行有限元分析的基本步骤之一就是要找出所划分的单元的刚度矩阵和质量矩阵，一般来说，建立刚度阵的方法有：(1)直接方法；(2)虚功原理法；(3)能量变分原理方法；(4)迦辽金法。下面主要叙述直接方法、虚功原理法及能量变分原理法。

1．直接方法直接方法是直接应用物理概念来建立单元的有限元方程和分析单元特性的一种方法。这种方法仅能用于简单形状的单元，如梁单元。但它可以帮助理解有限元法的物理概念。图2—2所示是XOY平面中的平面桁架简图，E为杆的弹性模量，A为截面积。现在，以它为例用直接方法建立单元的刚度矩阵。第5页，共14页，2023年，2月20日，星期六第6页，共14页，2023年，2月20日，星期六简例是一平面杆系问题由二个单元组成；三个节点；每个节点上有二个位移（u1,v1,u2,v2,u3,v3）、二个外力(fx1,fy1,fx2,fy2,fx3,fy3);先来看单元一：单元一有二个节点（1和2）；节点上各有二个节点力分量（fx11,fy11,fx21,fy21）、各有二个位移分量(u11,v11,u21,v21).这里的下标是节点号；上标是单元号。列出单元一的力与位移的关系式：式（1－1）

fx11＝k11u11+k12v11+k13u21+k14v21fy11＝k21u11+k22v11+k23u21+k24v21(1-1)fx21＝k31u11+k32v11+k33u21+k34v21fy21＝k41u11+k42v11+k43u21+k44v21第7页，共14页，2023年，2月20日，星期六

式（1－1）可写成矩阵形式：式（1－2）还可简写成：{f}1=[k]1{δ}1

（1－3）

{f}1单元1节点力列阵;[k]1

单元1刚度矩阵;{δ}1单元1节点位移列阵。上面的式中，{f}1是已知的；{δ}1是要求的未知量；[k]1

是单元刚度矩阵；k11、k12

、k13

、k14……

这些刚度系数是有物理意义的:

令式(1-1)中u11=1,v11=u21=v21=0;

式(1-1)就变成：

fx11＝k11fy11＝k21fx21＝k31fy21＝k41

这些式子表示：当节点1在x方向产生一个单位位移，而同时约束单元1的其他的节点位移，各节点施加于单元1上的力。第8页，共14页，2023年，2月20日，星期六

看图1－2：当位移u11=1，其余的节点位移都＝0，杆缩短了cosθ；杆有一任意的角度θ。在节点1上要作用多大的力，才能产生这样的位移呢？根据材料力学的杆的拉伸和压缩可知道：力＝EAcosθ/L1。L1是单元1的长度。那么，这个力在x,y方向的分量：

k11=EA/L1cos2θk21=EA/L1cosθsinθ在节点2上作用的力，与节点1上的力大小相等，方向相反：

k31

＝－EA/L1cos2θk41＝－EA/L1cosθsinθ

用同样的方法，可以得到[k]1中的其他各列的系数，汇总起来得到式（1－4）

第9页，共14页，2023年，2月20日，星期六=同样的方法可求得单元2的刚度矩阵:第10页，共14页，2023年，2月20日，星期六下面的问题是：是将单元1和单元2的刚度矩阵集合起来。如何集合这是很关键的问题！是否简单地将式（1－4）和式（1－5）相加？因为刚度矩阵中的每一系数都有其特定的物理意义。每一系数都与单元的位移分量有关联的。所以要根据各节点的位移协调关系进行集合。这个例子中：

u1=u11v1=v11u2=u21=u22v2=v21=v22u3=u32v3=v32根据位移协调关系可得到:第11页，共14页，2023年，2月20日，星期六简化为结构的有限元基本方程式：{F}=[K]{δ}第12页，共14页，2023年，2月20日，星期六根据位移协调关系可得到结构的整体刚度矩阵[K]:[k]=EA

[k]=EA第13页，共14页，2023年，2月20日，星期六整体刚度矩阵的主要特性如下：1.对称性2.对角线上主元素是正的3.